以问题驱动化生类专业高等数学课程教学

刘春梅

（湖南科技学院 数学与计算科学系，湖南 永州 425199）

以问题驱动化生类专业高等数学课程教学

刘春梅

（湖南科技学院 数学与计算科学系，湖南 永州 425199）

问题驱动原理是大学数学课程教学所应遵循的重要教学原则之一。文章首先结合化生类专业特点，指出了以问题驱动化生类专业高等数学课程教学的意义；其次阐述了实施问题驱动教学过程的六个阶段；最后给出了一个关于一元函数的极值与最值的教学实施案例。

问题驱动；高等数学；化生类专业；数学教学

引 言

数学作为一门技术学科，它为化学和生物学提供了描述现象与规律的语言与工具；反过来，化学和生物现象和规律也能够在很多方面为数学知识理论体系的建立、健全提供原形和实践支持。高等数学课程作为化生类专业的专业基础课，能够起到培养大学生计算能力、推理能力、应用数学解决和研究实际问题能力的作用。因此，在化生类专业的本科教学中，如何根据化学学科和生物学科的特点，采取适当方法进行高等数学适对性教学，就成为了化生类专业高等数学任课教师一直关注的问题。

1 以问题驱动高等数学教学相关理论和结合化生类专业教学的意义

1994年张奠宙等人在文[1]中指出了当代中国数学教育上的众多误区，并分析了成因，提出了要以问题驱动数学教学的新概念观点——把数学教学用一系列的问题组织起来，在问题驱动下呈现数学。所谓问题驱动，意味着必须正面地向学生明确提出与教学内容相关的问题，让学生在思考、解决问题过程中展现数学内容．所提出的问题通常可以进行分解成一系列小问题，同时，学生在思考问题、解决问题过程中，又会有不断的新问题出现，从而教师又会引导学生投入到新问题的思考和解决上去。这样把教学转化由“问题—思考—解决—新问题—再思考—再解决”这样一个循环的过程，直至把所有问题全部解决。因此，一个又一个的问题是推动教学进程，发挥学生主观能动性，发展思维，进行积极创新的动力源泉。

根据化生类专业的特点，结合专业问题进行问题驱动数学教学对于培养高素质化生类人才具有十分重要的意义。

1.1 有利于发挥学生的主观能动性

由问题驱动教学，就可以改变传统的大学数学教学方式“定义—定理—例题—习题”，避免按照书本进行平铺直叙和依样画葫芦那样的进行计算。能够把平铺直叙的教材内容这般“冰冷的美丽”的数学，还原为对数学“火热的思考”[2]。这样就激发了学生学习兴趣，挖掘了学生学习潜力，让学生投入更多的精力到数学的学习当中去。

1.2 有利于培养创新意识

创新来自于提出问题和解决问题。由问题驱动教学充分展现了数学的发现、创造过程，再现了数学知识的来龙去脉，同时也给学生留出了更多的思考空间，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中培养了创新意识。

1.3 有利于充分体现数学思想和方法

问题驱动下，学生要将一个又一个的实际问题或现象进行抽象化，用数学语言、概念和符号将其描述为数学问题；接着，运用归纳、猜测、联想、分类、类比等方法来分析数学问题；通过学习相关数学理论，进行演绎、推理、证明、求解来解决问题，获得数学结论、结果；最后还要将这些结论、结果进行检验，作用于实践或其他相关问题。因此，问题驱动的整个过程，充分展示了学习和研究数学所用到的数学思想和方法，学生能够在此过程中抓住数学的本质。

1.4 有利于对于化生类专业后继课程的学习

高等数学课程是学生学习化生类专业后继课程的基础，在以问题为驱动的高等数学教学下，可以使学生接受良好的数学训练，能够迅速进入后继课程的学习，能将问题驱动模式的学习方法带入到这些课程的学习中去。同时，又能与数学联系在一起，运用数学方法去解决化生类专业问题。

1.5 有利于对学生进行科学研究训练

任何一门学科的发展都离不开问题，也只有在提出问题和解决问题两者相互促进中不断的前进。由问题驱动教学使学生能主动掌握科学的数学思维和方法的同时，也锻炼学生如何能不畏艰辛、百折不挠的科学意志品质，提高了勤于思考、善于思考，善于动手解决问题的能力，具备了良好的科学素养，达到科学研究训练的目的。

2 问题驱动教学在化生类专业高等数学课程的实施过程

问题驱动教学在实施过程中可以大致分为五个阶段，即启动教学、推进教学、实施教学、检验教学、完善教学阶段。当然，这不仅是每堂课可以这样划分，每个章节，每个小问题都可以这样来进行划分。

2.1 设定情境，引出问题，激发学生兴趣，启动教学

美国数学家哈尔莫斯(P．R．Halmos)认为：“问题是数学的心脏”。好的问题能够激发学生探究数学的欲望和兴趣，其问题的妥善解决也能使学生从中掌握数学技巧，学习到数学思想和方法，达到对数学的高度认同。因此，课堂上，一个好的问题的提出在一定程度上决定了这堂课教学质量。在课堂教学开始后，教师首先就应当根据化生类专业特点，创设情境，提出学生感兴趣的问题来。

2.2 归纳、抽象建立数学模型，推进教学

问题提出来以后，教师就应当引导学生，在相关的专业知识下对问题进行数学描述，使之完全转化为数学问题。我们可以使用数学的概念、定理和符号，将问题进行归纳、抽象，采用函数、方程、不等式等数学表达式对问题进行数学模型化，并确定模型的目标。这种对问题的提炼，其实质就是透过现象，抓住本质，找准解决问题的切入口。

2.3 分析思考问题，讲授与课程内容相关数学理论，实施教学

分析数学模型，如果发现现有的数学知识，无法解决模型问题，那么学习新的相关数学理论就理所当然的了。对于需用到的已知理论部分，教师引导学生共同复习，而对于未知的，则引导学生回归教材，并由教师讲授必要的数学理论。通常，这些数学理论应当能直接作用于解决模型上。通过这一过程，能使学生带着解决问题的目的进行有效学习，大大地激发了他们的求知欲，并且发挥他们的主观能动性。当然，这一阶段，教师的讲授可以采取教师讲授和学生自我学习相结合的方式，达到教学目的，使学生储备了解决问题的数学理论知识。

2.4 运用数学理论解决模型，

在前面的阶段，教师的传授和学生的学习已经具备了解决问题的必要理论和条件，做到了“万事俱备，只欠东风”。在解决问题阶段，教师就理应放开双手，让学生自己去摸索、运用数学进行判断、求解，教师则在一旁对于出现的谬误和混淆之处稍加点拨。通过这一过程，学生就能够自觉的去认知体会解决问题过程中最为本原的一面，为今后的问题解决积累经验。

2.5 应用所学解决其他问题，检验教学

学习数学最主要的目的是为了要去用好数学。为此，在课程教学引导学生解决某个问题后，不能认为教学就结束了，而应当要求学生能做到触类旁通，举一反三，解决其他的类似的问题，以达到对数学知识的理解与运用的融会贯通。例如，教师可以尝试给出一些相类似的问题，让学生课堂内或课后进行解决，以起到检测学生的学习效果，巩固知识的作用，也能让学生在自主解决问题中培养创新精神。

2.6 进行教学总结和反思，完善教学

解决问题并不是课程教学的唯一目标，教师还应当引导学生对分析、解决问题中所遇到各种艰难险阻进行总结和反思，做的好的地方在哪，不好的地方在哪，如果再做一次的话，我会怎样去做。通过这样的总结和反思过程，使学生能准确找准自己的定位，为下一次解决问题提供经验支持。善于总结、分析，特别是对失败的反思，才是锻炼学生思维，最终能够解决问题重要途径。

3 问题驱动教学在化生类专业高等数学课程的一个教学案例

为了更好的说明整个过程，我们选定以利用导数求函数极值、最值这一内容为例，来阐述问题驱动教学的实施过程。

3.1 启动教学阶段

教师在课堂中的导言中可以叙述如下事实，萃取是化生类专业实验的一项非常基础的操作，它是指利用物质在两种互不相溶（或微溶）的溶剂中溶解度或分配系数的不同，使物质从一种溶剂内转移到另外一种溶剂中。实际上，要把所需要的化合物从溶液中完全萃取出来，通常萃取一次是不够的，必须重复萃取数次。那么，接下来问题就出现了——在萃取操作中，当萃取剂剂量一定时，如何进行操作，使得萃取效果最好？[3]

这个问题形式简单，但由于萃取在化生类专业实验操作中具有的重要地位，因此，该问题能紧密的与化生类专业相联系，且该问题的解决具有很强的实用性。为了使问题更加明确，教师进而可以简化问题为：当萃取剂剂量一定时，分别进行两次操作，如何分配萃取剂量使得萃取效果最好？

3.2 推进教学阶段

在这个阶段主要就是将萃取问题进行符号化，用数学表达式给出，明确问题的数学目标是什么。引导学生做出合理假设，根据分配定律，找出萃取前、后有关化合物的数量关系，然后计算出萃取后化合物的剩余量。

设共有萃取剂 b毫升，第一次用量为b1，第二次用量为b2，设a为萃取的溶液体积，x0是被萃取物的初始浓度，x为第一次萃取后的萃液浓度，则=。

根据分配定律，知溶质A在有机相和水相中的分配的平衡尝试之比为分配系数，即

因此，经过上面的分析，引导学生得到了这样一个二次萃取后的萃液浓度的函数。由问题际意义，萃取效果取好，就意味着萃余液浓度最小，即讨论函数y在b1取何值时取最小值。通过这样一个抽象过程，将问题转化为求一元函数最小值问题。

3.3 实施阶段

为能够解决转化后的数学问题，这就要求了必须进行相关数学理论的传授。此时，学生的学习兴趣已经被调动起来，因此，教师要做的工作主要是讲授和引导学生学习函数极值、最值 的相关理论，明确极值、最值的概念，极值的必要条件和极值的两个充分条件和最值的存在性和求解过程。经过这个阶段后，学生做好了有关求一元函数的最值问题的相关知识储备。

3.4 解决阶段

在解决问题这一阶段，相对来说就比较简单。学生只需应用刚刚学会的利用导数计算一元函数最值的理论求解即可，其过程如下。

这表明分两次操作，萃取剂等分情况下，萃取效果最好。

3.5 检验阶段

在教学过程中，教师需要清楚明确地知道学生的学习效果，同时，学生也希望能够对自己新学的方法和理论进行实践。此时，教师可以提出一些新的问题，供学生进行深入研究，以检验学习效果。如，教师可以将先前所提的问题进行推广，得到问题：假设萃取分三次，如何用量萃取效果？如果分为n次呢？进而还可以提出问题，分n次和分n+1次，哪种情况会萃取效果更好？这样不但为学生提供了思考的空间，同时也更加加深了学生对优化萃取问题的理解。

3.6 总结阶段

总结和反思是问题驱动教学中必不可少的，只有进行了总结和反思，才能使学生在今后学习中进行自我探究过程中少走弯路，进而积累丰富的经验，培养解决问题的直觉，也能使学生充分意识到数学作为工具学科的实用性，领会到数学的实质，更能让学生主动投身于数学学习中去。

有一点还需说明的是，问题在整个过程中是不断产生的，并不单单只有求解萃取优问题一个的。事实上，在讲极值的必要条件时，会产生为什么函数在一阶可导且取到极值时，则该点的一阶导数必须为0这一问题。极值点一阶导在图像上具有何种形态等等一系列问题。由于篇幅所限，我们只从主体结构出发，就不再深入到每个细节上去讨论了。

4 结束语

以问题驱动教学是实现大学数学教学的基本原理之一，能够在教学中体现创新精神和发挥学生的学习主动性。结合化生类专业特点，以专业实际问题驱动高等数学课程适对性教学，不但能使化生类专业大学生的数学素质得到大幅提升，同时也为他们的化学科研素质和创新精神的培养起到积极推进作用。

[1]张奠宙,张荫南.新概念:用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究,2004,7(3):8-10.

[2]张奠宙,柴俊.关于大学数学教学的一些基本原理[J].高等数学研究,2012,15(3):37-38,41.

[3]上海师范大学数学系,中山大学数学系力学系,上海师范学院数学系.高等数学(化、生、地类专业）[M].北京:高等教育出版社,1978.

O13

A

1673-2219（2014）05-0019-03

2014－01－09

湖南省普通高校教学改革研究项目（湘教通[2011]315号）；湖南科技学院教学改革研究项目（湘科院教字[2013]6号）。

刘春梅（1981－），女，山西五台人，湖南科技学院数学与计算科学系，讲师，博士，研究方向为偏微分方程数值解和数学教学。

(责任编校：何俊华)