简谐运动与音乐的联系及其可视化

徐富清

（扬州市邗江区公道中学 江苏 扬州 2251 19 ）

两年前，讲完简谐运动一章后，无意中向学生展示了几幅李萨如图形，告诉他们简谐运动与音乐有深深的联系，且这里的李萨如图形是由两个简谐运动合成的结果．顿时学生纷纷提出问题，为什么几个简谐运动就会合成一个个漂亮的图形？这种图形还有哪些表现？音乐怎样通过简谐运动表现出来……

事后查阅了大量资料，发现有两种典型的谐振仪，分别是横向式谐振仪和转动式谐振仪，可以将几个简谐运动合成李萨如图形，然后，使用MATLAB工具就可将音乐与李萨如图形的关系以可视化的方式表现出来．

首先，通过振动了解音乐，了解单摆的频率与音程之间的关系．

1 泛音与音程

1．1 弹拨琴弦

仔细聆听，你听到的不只是基础音（主调音），还会听到多重和声，也就是泛音．如图1呈现了前5个泛音，蓝、绿点是琴弦振动的波节．

图1

1．2 琴弦上各音程的位置

根据振动的知识，当音的频率比呈简单整数关系时，就会产生悦耳的和声．图2是一根琴弦上各音程的位置．以“第二音程，五度 ——3∶2”为例，当琴弦振动时，用手按住A点（图2），A点右侧部分的弦长占整个弦长的，那么就形成“第二音程，五度”．

图2 一根琴弦各音程的位置

2 音程与单摆的频率

由于不同音乐家演唱的声音频率是不同的，但他们每个人在整首曲子中声音的音阶比是不变的，那么，表现乐音的最佳方法就是将乐音的频率降低10 ～100 倍，这样，通过单摆的振动，以肉眼就能“看到”音乐了．

简单的谐振仪使用两个摆来代表和声，其中一个摆锤放到最低位置，另一个摆锤的位置则依特定的比率设置．表1给出了单摆的频率与音程之间的关系．

表1 单摆的频率与音程的关系

3 两种谐振仪和MATLAB工具

3．1 横向式谐振仪

如图3所示，这种谐振仪有2个摆，分别经由洞孔悬于台面下方，它们的摆动方向彼此垂直．两个摆的柄都突出台面，其中一个摆锤的柄上装了个平台，上面夹着一张纸，另一个摆的柄上则装了一支带笔的笔杆．

图3 横向谐振仪

两个摆锤摆动时，笔就会描绘出两者合成运动的结果．刚开始时两摆长度相等，接着缩短其中一摆的长度，如此就可以依次呈现出各种和声的频率比．

3．2 转动式谐振仪

如图4所示，这种谐振仪有3个摆，由于两侧的两个摆的摆动方向彼此垂直且振幅相等，二者的合运动是一个圆周，而中间摆做的是圆周运动，因此三者的合运动是2个圆周运动的结合．

图4 转动式谐振仪

3．3 MATLAB工具描述

MATLAB是一款功能非常强大的软件，在其具有的众多优点中比较突出的，是以可视化的方式将计算结果快速、准确地用图形的方式形象、直观地描绘出来．本文就使用MATLAB软件将两个单摆的复合运动以可视化方式表达音乐．

4 简谐运动与音乐的可视化

4．1 横向式谐振仪中的音乐可视化

（1）横向八度 ——2∶1

若一摆的频率是另一个的2倍，并且两者的摆动方向呈直角，这时的八度就会绘出数字8的形状，且相位差不同时得到的结果也不同，如图5，图6．如果让两摆不断反复，振幅随着摆动的减弱而减小，得到的结果如图7所示．

图5 相位差是

图6 相位差是

图7 振幅减小，相位差是

（2）横向四度 ——4∶3

若两单摆振动的频率之比是4∶3，并且两者的摆动方向呈直角，相位差不同时得到的结果也不同，如图8～10 所示．

图8 相位差是

图9 相位差是

图10 相位差是

（3）横向大三度 ——5∶4

若两单摆振动的频率之比是5∶4，并且两者的摆动方向呈直角，相位差不同时得到的结果也不同，如图11 ～13 所示．

图11 相位差是

图12 相位差是

图13 相位差是

显然，合成运动的图形不仅与振动频率有关，而且相位差不同时，结果也不相同．横向式谐振仪表现图形相对简单、单调．但是转动式谐振仪表现出的图形就雅致而令人惊奇．

4．2 转动式谐振仪中的音乐可视化

（1）旋转八度 ——2∶1

这时两摆的运动情形是两个圆周运动的结合，其中一个摆的速率刚好是另一个的2倍．笔者发现当两摆振幅相等，且同相位或相位差为π时，分别呈现出心形、三叶草形状，如图14 ，15 所示；当两摆振幅不相等且相位差为π时，呈现为三角形，如图16 所示．

图14 心形，同相位

图15 三叶草，相位差π

图16 三角形，振幅不相等，相位差π

（2）旋转五度 ——3∶2

若两摆圆周运动的速率之比是3∶2，当两圆周运动振幅相等，相位差为π，不断反复且振幅随着摆动的减弱而减小时，呈现出五叶草形，如图18 所示；两圆周运动振幅不相等，相位差为π，振幅随着摆动的减弱而减小时，呈现出五角星，如图19 所示．

图17 同相位

图18 五叶草，振幅减小，相位差是π

图19 五角星，振幅不相等，相位差是π

（3）旋转大三度 ——5∶4

若两摆圆周运动同相位，速率之比分别是5∶4和5∶1，合成运动的结果分别如图20 和图22 所示，它们表现出奇异而与众不同的特质．

图20 同相位

图21 振幅不相等，相位差π

图22 频率5∶1，同相位

5 小结

如果将MATLAB程序中的参数略微改变一些，比如，改变简谐振动的频率、相位、振幅等，笔者发现很多有趣的图形，有时令人感到有些不可思议，比如下面2例．

（1）略微改变频率，产生“拍”的现象．如图23 所示，这个形状就是从天王星上观察到的海王星运行轨迹，这是因为这两颗行星都是同向绕日运行，天王星的周期为84 年，海王星则为165 年，大致相当于一个八度．

图23 不同频率

（2）就旋转图形而言，振幅比“相位”更重要，相位仅仅影响到页面整个构图的放置方向．如图24 和图25 所示，这两图都是音阶十一度（频率8∶3），图24 两个单摆的振幅是相同的，图25 两单摆的振幅是不同的，且在运动过程中它们的振幅逐渐减小．

图24 振幅相同

图25 振幅不同

6 结束语

上学期，笔者将所发现的音乐与李萨如图形之间的关系一一展示给学生欣赏，目的是培养学生的科学素养，激发他们的想象，知道物理学不是单调枯燥的，关键是以怎样的方式表达．这要求教师在教学过程中要以一种超前的战略眼光，培养学生勇于探索的科学精神，以开放的思维、大胆的设想提出自己的见解．在课堂教学中提倡以一种活泼而灵动的、寓教于乐的方式传输知识，某个时候，师生的关系会在某个点上能够产生“共鸣”．

1 （英）安东尼·艾希顿著．谐振仪——音乐数学原理的可视化向导．贺俊杰译．长沙：湖南科学技术出版社，2012

2 钟季康，鲍鸿吉．大学物理习题计算机解法——MATLAB编程应用．北京：机械工业出版社，2008

3 彭芳麟．数学物理方程的MA TA L B解法与可视化．北京：清华大学出版社，2004