π-整环上形式幂级数的容度准则

尹华玉, 陈幼华

（四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066）

1 引言及预备知识

本文恒设R是具有单位元的交换整环但不是域,K是R的商域.设A是K的R-子模,若存在非零元素a∈R,使得aA⊆R,这等价于存在非零元素c∈K,及R的非零理想I,使得A＝cI,则A称为R的分式理想.从分式理想的定义可以看出,每个非零分式理想等价于一个非零理想,因此在关于整环的讨论中,有时候用非零分式理想与非零理想互换,其等价刻画的结论依然成立.以下用F（R）表示R的所有非零分式理想的集合,而所谓整环R上的星型算子,指的是从F（R）到自身上的一个映射*:A→A*,对∀A,B∈F（R）,a∈K-0,满足以下条件:

1） （a）*＝（a）,（aA）*＝aA*；

2） 若A⊆B,则A*⊆B*；

3） A⊆A*,且（A*）*＝A*.

对A∈F（R）,若A*＝A,则A称为R的*-分式理想.若A是R的理想且A*＝A,则A称为R的*-理想.若∃B∈F（R）,使得（AB）*＝R,则 A称为*-可逆的.若存在可数生成分式理想B,使得A*＝B*,则A称为*-可数型的.对整环R,若其*-理想的乘积仍是*-理想,等价于说,对R的任何非零理想I和J,有（IJ）*＝I*J*,则称R是*-乘法封闭的.令 A-1＝｛x∈K｜xA⊆R｝,有如下4类常见的星型算子:

1） Ad＝A；

2） Av＝（A-1）-1；

3）At＝∪｛Bv｜B取遍A的一切有限生成子分式理想｝；

4） Aw＝｛x∈K｜∃J∈GV（R）,使 Jx⊆A｝,

其中,GV（R）＝｛J｜J是R的有限生成理想,且J-1＝R｝.关于星型算子的知识和文中的名词术语及相关符号可参见文献［1-20］.

设R是整环,称其为Krull整环,如果它满足如下条件:

1）R＝∩Rp,其中p取遍R的高度为1的素理想；

2）对R的任何高度为1的素理想p,Rp是离散赋值环；

3）R具有有限特征,即R中的每个非零元素只在有限多个赋值扩环中是非单位的.

众所周知,Krull整环是一类非常经典的整环,其研究结果相当成熟.特别地,随着20世纪80年代星型算子工具的引入,其研究显得更加活跃.利用星型算子理论,Krull整环得到了更简明的等价刻画.例如,J.L.Mott等［21］证明了 R 是 Krull整环当且仅当R的每个非零理想是t-可逆的,F.G.Wang等［22］证明了R是Krull整环当且仅当R的每个非零理想是w-可逆的.另一方面,由Krull整环派生出与其性质相似的整环类也成为众多环论学者关注的研究对象,例如π-整环、pre-Krull整环、semi-Krull整环［23-25］等.所谓的 π-整环,是指整环R满足每个真主理想能表示为有限多个素理想的乘积.本文将通过可数理想、w-可数型理想与t-可数型理想,分别对Krull整环与π-整环进行研究,从而进一步导出π-整环上形式幂级数的一些容度准则.

2 π-整环上形式幂级数的容度准则

用K［［X］］*表示形式幂级数环 K［［X］］中非零形式幂级数的集合.设 f∈K［［X］］,用 c（f）表示K中由f的系数生成的R-子模,称之为f的容度［2］.在讨论π-整环上形式幂级数的容度准则之前,首先给出Krull整环与π-整环的一些预备结论.

引理1［21-22］对整环R,以下各条等价:

1）R是Krull整环；

2）R的每个非零理想是w-可逆的；

3）R的每个非零理想是t-可逆的；

4）R的每个非零分式理想是w-可逆的；

5）R的每个非零分式理想是t-可逆的.

引理2［19］对整环R,以下各条等价:

1）R是π-整环；

2）R是w-乘法封闭的Krull整环；

3）R是t-乘法封闭的Krull整环；

4）R是v-乘法封闭的Krull整环；

5）R是w-乘法封闭的完全整闭整环,且每一非零w-理想是v-理想.

定理3对整环R,以下各条等价:

1）R是Krull整环；

2）R的每个非零可数生成理想是w-可逆的；

3）R的每个非零可数生成理想是t-可逆的.

证明1）⇒2） 由引理1易知.

2）⇒3） 显然.

3）⇒1） 设I是R的非零理想.假若对I的任意有限生成子理想J,都有It≠Jt,则存在It的无限子理想升链

这是一个矛盾.因此,存在I的某个有限生成子理想J,使得It＝Jt.显然,J是t-可逆的,即存在分式理想 B,使得（JB）t＝R.故

（IB）t＝（ItB）t＝（JtB）t＝（JB）t＝R,

从而I也是t-可逆的.由引理1,R是Krull整环.

推论4对整环R,以下各条等价:

1）R是Krull整环；

2）R的每个非零可数生成分式理想是w-可逆的；

3）R的每个非零可数生成分式理想是t-可逆的.

定理5对整环R,以下各条等价:

1）R是π-整环；

2）R的每个非零w-理想是可逆的；

3）R的每个非零t-理想是可逆的；

4）R的每个非零w-可数型的w-理想是可逆的；

5）R的每个非零t-可数型的t-理想是可逆的.

证明1）⇔3） 由文献［26］中定理4.4即知.

1）+3）⇒2） 由引理2可得.

2）⇒4）⇒5） 显然.

5）⇒3） 设I是R的非零t-理想.假若对I的任意有限生成子理想J,都有I≠Jt,则存在I的无限子理想升链

这是一个矛盾.因此,存在I的某个有限生成子理想J,使得I＝Jt,从而I是可逆的.

推论6对整环R,以下各条等价:

1）R是π-整环；

2）R的每个非零w-分式理想是可逆的；

3）R的每个非零t-分式理想是可逆的；

4）R的每个非零w-可数型的w-分式理想是可逆的；

5）R的每个非零t-可数型的t-分式理想是可逆的.

命题7对整环R,以下各条等价:

1）R是π-整环；

（2）对∀A,B∈F（R）,都∃C∈F（R）,使得Aw＝BwCw；

3）对∀A,B∈F（R）,都∃C∈F（R）,使得At＝BtCt；

4）对R的任意非零可数生成分式理想A、B,都∃C∈F（R）,使得Aw＝BwCw；

5）对R的任意非零可数生成分式理想A、B,都∃C∈F（R）,使得At＝BtCt.

证明1）⇒2） 设R是π-整环,A,B∈F（R）.由引理1与引理2,R是w-乘法封闭的,且B是w-可逆的.于是（BB-1）w＝R,从而Aw＝（（BB-1）A）w＝（B（B-1A））w＝Bw（B-1A）w.令C＝B-1A,则C∈F（R）,且有Aw＝BwCw.

2）⇒4） 显然.

4）⇒1） 设I是R的非零w-可数型的w-分式理想,则存在可数生成理想B,使得I＝Bw.显然,又∃C∈F（R）,使得Rw＝BwCw,即ICw＝R.于是I是可逆的,故由定理5,R是π-整环.

1）⇔3）⇔（5） 类似于1）⇔2）⇔4）的证明可得.

定理8对整环R,以下各条等价:

1）R是π-整环；

2）对∀f,g∈R［［X］］*,都∃h∈K［X］*,使得c（f）w＝c（g）wc（h）w；

3）对∀f,g∈R［［X］］*,都∃h∈K［X］*,使得c（f）t＝c（g）tc（h）t；

4）对∀f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都∃h∈K［X］*,使得c（f）w＝c（g）wc（h）w；

5）对∀f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都∃h∈K［X］*,使得c（f）t＝c（g）tc（h）t.

证明1）⇒2） 设f,g∈R［［X］］*,则c（f）,c（g）∈F（R）.由命题7,∃C∈F（R）,使得c（f）w＝c（g）wCw.由推论6,Cw是可逆的,从而是有限生成的.不妨设Cw＝Rc1+…+Rcn,其中,c1,c2,…,cn∈K-0,则令h＝c1X+c1X2…+cnXn即可满足要求.

2）⇒4） 显然.

4）⇒1） 设I＝（Ra1+…+Ran+…）w是R的非零w-可数型的w-理想.令

f＝X, g＝a1X+…+anXn+…

则∃h∈K［X］*,使得c（g）wc（h）w＝c（f）w.于是Ic（h）w＝R,即I是可逆的.故由定理5,R是π-整环.

1）⇔3）⇔5） 类似于1）⇔2）⇔4）的证明可得.

推论9设R是π-整环,则有:

1）对∀f,g∈R［［X］］*,都∃h∈K［X］*,使得c（f）v＝c（g）vc（h）v；

2）对∀f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都∃h∈K［X］*,使得c（f）v＝c（g）vc（h）v.

证明由引理2与定理8可得.

［1］王芳贵.交换环与星型算子理论［M］.北京:科学出版社,2006.

［2］Gilmer R.Multiplicative Ideal Theory［M］.New York:Marcel Dekker,1972.

［3］Anderson D D,Matijevic J.Graded π-rings［J］.Canad J Math,1979,31:449-457.

［4］Anderson D D.Globalization of some local properties in Krull domains［J］.Proc Am Math Soc,1982,85:141-145.

［5］Anderson D D,Anderson D F,Markanda R.The rings R（X）and R〈X〉［J］.J Algebra,1985,95:96-115.

［6］Malik S,Mott J L,Zafrullah M.On t-invertibility［J］.Commun Algebra,1988,16:149-170.

［7］Houston E G,Zafrullah M.On t-invertibility II［J］.Commun Algebra,1989,17:1955-1969.

［8］Anderson D D,Zafrullah M.On t-invertibility III［J］.Commun Algebra,1993,21:1189-1201.

［9］Anderson D D,Kang B G.Content formulas for polynomials and power series and complete integral closure［J］.J Algebra,1996,181:82-94.

［10］Fontana M,Huckaba J A,Papick I J.Prüfer Domains［M］.New York:Marcel Dekker,1997.

［11］Wang F G.w-dimension of domains［J］.Commun Algebra,1999,27:2267-2276.

［12］Anderson D D.GCD domains,Gauss'lemma,and contents of polynomials［C］//Chapman S T,Glaz S.Non-Noetherian Commutative Ring Theory.Mathematics and Its Applications.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,2000:1-31.

［13］Anderson D D,Cook S J.Two star-operations and their induced lattices［J］.Commun Algebra,2000,28:2461-2475.

［14］Wang F G.w-dimension of domains II［J］.Commun Algebra,2001,29:2419-2428.

［15］李庆,王芳贵.UMV整环的一些性质［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2007,30（5）:548-550.

［16］王芳贵.星型算子理论的发展及其应用［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2009,32（2）:249-259.

［17］王芳贵.有限表现型模和w-凝聚环［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2010,33（1）:1-9.

［18］张俊,王芳贵.有零因子的交换环上w-理想的升链条件［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2010,33（2）:146-151.

［19］陈幼华,尹华玉.两类整环在w-算子下的刻画［J］.数学学报,2010,53（4）:685-690.

［20］赵松泉,王芳贵,陈翰林.交换环上的平坦模是w-模［J］.四川师范大学学报:自然科学版,2012,35（3）:364-366.

［21］Mott J L,Zafrullah M.On Krull domains［J］.Arch Math,1991,56:559-568.

［22］Wang F G,McCasland R L.On w-modules over strong Mori domains［J］.Commun Algebra,1997,25:1285-1306.

［23］Anderson D D.π-domains,overrings,and divisorial ideals［J］.Glasgow Math J,1978,19:199-203.

［24］Zafrullah M.Ascending chain conditions and star operations［J］.Commun Algebra,1989,17:1523-1533.

［25］Barucci V,Gabelli S,Roitman M.On semi-Krull domains［J］.J Algebra,1992,145:306-328.

［26］Kang B G.On the converse of a well-known fact about Krull domains［J］.J Algebra,1989,124:284-299.