确定参数范围的金钥匙

刘俊莲

【摘要】确定参数的范围历来是各级各类测试及高考命题的热点.由于此类问题综合性强，且确定参数取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难.运用数形结合的方法是确定参数范围的一把金钥匙.

【关键词】 参数;取值范围;数形结合

确定参数的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点.由于此类问题综合性强，且确定参数取值范围的不等量关系也较为隐蔽，因而给解题带来了诸多困难.

如何突破这个难点？运用数形结合的方法是确定参数范围的一把金钥匙.

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与几何图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意两点：第一要弄清所涉及的概念和运算的几何意义以及图形的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是需要设参数时，要恰当设参，注意参数的范围，合理用参，建立联系，由数思形，以形想数，做好数形转化.

一、已知函数的单调区间，确定参数范围

例1 若函数f（x）=13x3-12ax2+（a-1）x+1在区间（1，4）内是减函数，在区间（6，+∞）内是增函数，试求实数a的取值范围.

分析 这是利用导数研究函数单调性问题.我们可以把函数增减性问题转化为研究函数的导数的正负问题.

首先求出f′（x）=x2-ax+（a-1），问题就转化为求二次函数在区间（1，4）内是负数，在区间（6，+∞）内是正数的充要条件，可以借助于一元二次函数的图像来解决.由x2-ax+（a-1）=0x=1或者x=a-1.由于參数a的存在，要对a进行分类讨论.

图 1因为导函数的图形开口向上，所以

当a-1≤1时，与x轴交点的横坐标a-1在1的左侧，

导函数的图像如图1所示，观察发现导函数在

区间（1，4）内是正数.说明原函数是增函数，

这与题意不符.

同理，当1

当4≤a-1≤6时，

与x轴另一个交点的横坐标a-1在4与6之间，导函数在区间（1，4）内是恒小于0的.而在区间（6，+∞）内恒是正数.这说明原函数在区间（1，4）内是减函数，在区间（6，+∞）内是增函数，符合题意.

当a-1>6时，导函数的图像与x轴另一个交点的横坐标a-1在6的右侧，导函数在区间（1，4）内是恒小于0的，但是在区间（6，+∞）内并不是恒大于0的.这说明原函数在区间（6，+∞）内不一定是增函数.这与题意不符.

综上讨论，原函数只有当4≤a-1≤6时符合题意.

解得实数a的范围为[5，7].

二、已知两条曲线的位置关系确定参数范围

图 2例2 曲线y=1+4-x2 （-2≤x≤2）与直线y=k（x-2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是.

解析 方程y=1+4-x2的曲线为半圆，

y=k（x-2）+4为过定点M（2，4）的直线.如图2

所示.观察图像，直线y=k（x-2）+4位于切线MT

和割线MA之间区域内时，符合题意.由半圆圆心（0，1）到直线y=k（x-2）+4的距离等于

半径2得：k0-2-1+4k2+1=22k-3k2+1=2

k=512.A-2，1代入方程 y=k（x-2）+4中

得：k=34.故实数k的取值范围为（512，34].

这道题如果不借助于图像，根本无法解答.

三、已知不等式在某个区间内恒成立确定参数范围

图 3例3 当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

分析 若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图像是抛物线，右边为对数函数，故可以通过图像求解.

解 设y1=（x-1）2，y2=logax，则y1的图像为图3所示的抛物线，要使对一切x∈（1，2），y11，并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.

故loga2>1，a>1，∴1

从以上几个例子可以看到，如果不借助于函数的图像，就没有办法确定所求参数的范围.数形结合的方法在确定参数范围时起到了不可估量的作用.所以确定参数范围的金钥匙就是数形结合法.