平底Ⅰ型马蹄形断面临界水深的简化计算公式

文 辉，李风玲，赵 洁，林超慧，唐壮丽

(惠州学院建筑与土木工程系，广东惠州 516007)

在输水工程设计中，主要有圆形、城门洞形和马蹄形等几种过水断面形式，它们都具有力学条件好、水流平顺等特点。目前国内外学者对圆形、城门洞形和马蹄形断面的正常水深、临界水深等水力计算问题进行了较为深入的分析研究，得到许多简捷的计算公式，解决了不少常规算法中存在的工程实际问题［1-9］。平底Ⅰ型马蹄形断面由标准Ⅰ型马蹄形断面演化而来，即将底拱改为平底，它对于基底压力不大的地质情况或断面尺寸较小的Ⅰ型马蹄形隧洞较为适合，且施工尺寸容易控制，受力条件好，因而应用广泛［10］。文辉等［11］给出了这种断面形式的临界水深的直接计算公式，但该公式为分段函数，需要根据水深的具体情况来判别，选择相应的计算公式，不便应用。为此，本文从平底Ⅰ型马蹄形断面临界水深基本方程出发，依据给水排水工程规范及水利工程规范等要求，考虑工程实际应用情况，确定公式的适用范围，对无量纲临界水深和无量纲参数之间的关系进一步分析研究，应用拟合优化方法，得到平底Ⅰ型马蹄形断面临界水深的简化计算公式。

1 临界水深基本方程及水力要素

1．1 临界水深的基本方程

明渠水流中存在缓流、临界流和急流3种流态。临界水深是相应于明渠水流断面单位能量最小的水深，在明渠水力计算中是很重要的，它必须满足临界流方程:

式中:Q为流量，m3/s;α为动能修正系数，本文取1.0;g为重力加速度，m/s2;A为相应于临界水深时的过水断面面积，m2;B为相应于临界水深时的水面宽度，m。

1．2 断面的构成

平底Ⅰ型马蹄形断面将标准I型马蹄形断面的底拱改为平底，如图1所示(图中r为顶拱半径，它是构成平底Ⅰ型马蹄形断面最基本的几何参数;θ为底拱的弦所对应的圆心角的一半，亦为两侧拱对应的圆心角;γ为过水断面侧拱对应的圆心角;φ为过水断面顶拱对应的圆心角;hd为平底Ⅰ型马蹄形的特征高度)。

图1 平底Ⅰ型马蹄形断面

1．3 断面的水力要素

根据平底Ⅰ型马蹄形断面的几何特点，2种水力条件下断面的临界水深h和其他水力要素的计算公式如下:

a．当0＜h≤hd或0≤γ≤θ时，有

式中:c为常数，取1.667322。

1．4 临界水深的隐函数表达式

设无量纲临界水深为临界水深与断面顶拱半径之比，即

那么2个未知的圆心角就可用无量纲临界水深 X来表示:

将式(2)～(5)代入式(1)并整理，可得平底I型马蹄形断面临界水深带反三角函数的高次隐函数表达式:

2 临界水深计算公式的适用范围

根据DL/T 5195—2004《水工隧洞设计规范》［12］，为了保证在水位变化情况下无压隧洞仍能保持无压流状态，要求通过最大流量时隧洞过水断面面积不大于隧洞断面总面积的85%，即

式中:A*、A0分别为通过最大流量时隧洞的过水断面面积和总面积。

根据水力要素计算公式可知:

将式(8)和式(9)代入式(7)，得到三角函数超越方程，即

经试算解得 φ=1.9134，X=1.447。为了提高公式的适用性，适当外延h的上限取值，即h上=1.60r;考虑到大多数工程实际应用情况，过小水深没有太大的实际意义，h的下限取值h下=0.05r，所以无量纲临界水深计算公式的工程适用范围为0.05≤X≤1.60。

3 临界水深的简化计算公式

为了方便研究，将式(6)左侧的已知量设为无量纲参数，即

本文以幂函数形式构造计算公式，通过进行大量试算，并采用编程逐步拟合优化的方法，得到无量纲临界水深的简化计算公式:

4 误差分析

表1 简化公式误差分析

从表1可以看出，在工程适用范围内，临界水深计算值的最大相对误差绝对值为0.485%，最小仅为0.020%，且绝大多数小于0.400%，可见式(12)具有较高的精度，可极大地方便工程设计人员在平底Ⅰ型马蹄形断面隧洞工程设计中直接使用。

5 算例

某水库输水隧洞采用平底Ⅰ型马蹄形断面，初设顶拱半径r=2.5 m，计算通过流量Q=100 m3/s时对应的临界水深h。

6 结论

a．对平底Ⅰ型马蹄形断面的临界水深基本方程进行数学变换，以幂函数形式构造公式，采用优化拟合方法得到临界水深的简化计算公式。

b．该简化计算公式不是分段函数，无论水深位于隧洞下部扇形还是上部半圆形内，都可以直接计算临界水深，计算简捷方便，通用性强，适用范围广。

c．在工程适用范围内，简化公式最大相对误差的绝对值为0.485%，计算结果精度较高，可为平底马蹄形断面隧洞工程设计提供参考。

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