数形结合解答应用题

华 丽

《数学课程标准》在总体目标中指出：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”“数形结合”是一种重要的数学方法，是通过“数”与“形”的相互转化和利用来解决数学问题的一种重要思想方法。著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”图形题的解答离不开“数形结合”。

一、借助“简易图”理解抽象数学内容

适用题型：平面图形、立体图形应用题。

例1：一根长3米粗细均匀的木头，截成两段表面积增加了8平方分米，求原来这根木头的体积。

1.读题，圈关键词。“长3米”，“表面积增加8平方分米”，求“体积”。读时注意单位不一致。

2.作图

从图中体会表面积增加了两个面，一个面的面积就是木头的横截面。

3.解答：3米=30分米

8÷2=4（平方分米）

4×30=120（平方分米）

练习：

1.一块长方形菜地，一面靠墙，三面围篱笆，篱笆长25米，菜地的宽8米，求菜地的面积。

2.一个长30厘米，宽25厘米的长方形，把它剪成边长是4厘米的小正方形，最多可以剪几个？

3.一个正方体棱长为5厘米，在它上面截去一个棱长为1厘米的小正方体，表面积会发生什么变化？（思考：有几种截法？）

4.一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上次剩下的一半，小明喝了四次后，剩下的牛奶占这杯牛奶的几分之几？

二、借助“线段图”形象地理解数量关系

适用题型：分数应用题、行程问题、和差问题、和（差）倍问题等。

画线段图步骤：

（1）读懂题目中的已知条件和问题，所画的线段图要和题目一致；

（2）图中线段的长短要和题目基本一致；

（3）在图中标明条件和所求问题；

（4）解答题目。

例2：甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行。甲速度为每小时3千米，乙速度为每小时4千米，若乙先出发2小时，甲才出发，则甲经过几小时后与乙相遇？

1.读题，本题为相遇问题的变形题。

2.画线段图：

3.解答

4×2=8（千米）……乙先出发2小时的路程

36-8=28（千米）……甲乙同时出发共走的路程

28÷（3+4）=4（千米）……相遇时间

练习：

1.甲、乙两车同时从相距480千米的两地相对而行，甲车每小时行45千米，途中因汽车故障甲车停了1小时，5小时后两车相遇。乙车每小时行多少千米？

2.一辆面包车和一辆小轿车同时从相距300千米的两地相向而行，面包车每小时行45千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车第一次相距100千米？再过多少时间两车再次相距100千米？

3.一件上衣比一条裤子贵160元，其中裤子的价格是上衣的3/5，一条裤子多少元?

4.果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵。梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵。求梨树、桃树及核桃树各有多少棵？

三、借助符号或图形表示题中数量关系

适用题型：鸡兔同笼、周期问题等。

例3：鸡兔同笼，头8只，脚20只，问鸡兔分别多少只？

分析：本题可以用特殊符合表示鸡和兔的头、脚，寻找解答的办法。下面用○表示头，| 表示脚，表示出题中的数量关系。

先画出8个头：

如果都是鸡，表示出脚，2×8=16（只）

实际有20只脚，20-16=4（只）

把4只脚画在图中。

从图中很容易看出兔有2只，鸡有6只。

4÷（4-2）=2（只）……兔的只数

8-2=6（只）……鸡的只数

想一想：如果假设都是兔，怎样画图呢？

练习：

1.笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？

2.一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子。车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个。问自行车几辆，三轮车几辆？

3.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿。现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿。问蛐蛐几只，蜘蛛几只？

4.今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分。问每种各几张？

例4：红珠、蓝珠一共182个串成一串，1红2蓝。请问：最后一个珠子是什么颜色？这182个珠子中，红色、蓝色珠子各有多少个？

分析：本题属于周期问题，可以画图先表示几组，然后找规律归纳方法。

画图如下：

观察上图，发现珠子是按每组3个、1红2蓝的顺序排列的，求最后一个珠子的颜色，就看它是第几组第几个。

182÷（1+2）=60（组）……2（个）第182个珠子在第61组的第2个，所以是蓝色。

因为共有60组，余2个，所以：

红色的珠子有：60×1+1=61(个)

蓝色的珠子有：60×2+1=121（个）

练习：

1.流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白……继续下去第1993个小珠的是什么颜色？

2.把珠子一个一个地按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中，第1992粒珠子投在哪个袋中？

3.一个循环小数 0.1428571428571428……小数点后第 1000 位的数字是几？

4.今天是星期四，再过 90 天是星期几？