常见功能关系例说

李树祥

功是一个过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；能是一个状态量，它与一个时刻相对应。因此，既不能说功是能，也不能说功变成了能。但做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现，功是能的转化的量度，其含义是：“做了多少功就有多少能量发生转化。反之，转化了多少能量就说明做了多少功。”那么，常见的功与哪些能量的转化有关系呢？

一、动能定理

合外力做的功等于物体动能的变化，这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力。表达式为W=△E_k，这就是动能定理。

二、力做功与势能的变化关系

重力做的功等于重力势能的减少量，重力做多少正功，重力势能就减少多少，重力做多少负功，重力势能就增加多少，表达式为W=-△E_p=E_p1-E_p2。与此类似，我们用弹力做功来量度弹性势能的减少量，用分子力做功来量度分子势能的减少量，用电场力做功来量度电势能的减少量。因此，上述表达式对所有的势能都成立。

例2 一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台由静止下落，至最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，则下列说法中正确的是（）。

A. 运动员到达最低点前重力势能始终减小

B.运动员在蹦极绳张紧后的下落过程中，蹦极绳的弹性势能一直增加

C.运动员从开始下落到运动至最低点的过程中，重力势能的减少量等于弹性势能的增加量

D.蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关

解析：运动员在下落过程中重力一直做正功，站重力势能一直减少，选项A正确。蹦极绳张紧后，弹力做负功，弹性势能增加，选项B正确。因为运动员的初速度为零，到最低点时的速度也为零，所以由动能定理可知，重力做的正功和弹力做的负功相等，重力势能的减少量与弹性势能的增加量相等，选项C正确。因为重力势能的改变量等于重力做的功，而重力做功与重力势能零点的选取无关，所以选项D错误。答案为ABC。

三、机械能守恒定律

对单一物体，除重力外的其他力做的功等于物体机械能的增量；对两个及两个以上物体组成的系统，除重力和系统内力外，其他力做的功等于系统机械能的增量。当其他力做功为零时，物体的机械能增加量为零，即机械能守恒。

例3 在考虑空气阻力的情况下，将一物体由地面竖直上抛，当它上升至距地面h1高度时，其动能与重力势能相等，当它下降至离地面h2高度时，其动能又恰好与重力势能相等。已知该物体在抛出后能够上升的最大高度为H，则（）。

四、摩擦力做功与机械能的变化

一对互为作用力与反作用力的摩擦力做的总功，等于该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能或产生的热量（摩擦生热）。表达式为Q=f_s相（_s相为这两个物体间相对移动的路程）。

五、安培力做功与能量的转化

安培力做正功，电能转化为其他形式的能，克服安培力做功，其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少负功，就有多少电能产生，表达式为E_电=W_磁。如果电路是纯电阻电路，则电能全部转化为内能。

跟踪训练

1.将质量为2 kg的小钢球从离地面2m高处由静止开始释放，落入沙中5 cm深处，不计空气阻力，求沙子对钢球的平均阻力。（取g=10 m/s2）

2.一质量分布均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在水平天花板上，如图4所示。今在绳的最低点C施加一竖直向下的力将绳绷直，在此过程中，绳索的重心位置（）。

A.逐渐升高

B.逐渐降低

C.先降低后升高

D.始终不变

3.质量为m的物体，从静止开始以2 g的加速度竖直向下运动h高度，那么（）。

A.物体的重力势能减少2 ngh

B.物体的动能增加2 mgh

C.物体的机械能保持不变

D.物体的机械能增加 mgh

4.如图5所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，到挡板P的距离为s₀，以初速度v₀沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程。