电介质复介电常数的教学和实验

刘宏伟，尹丽娟

(华北电力大学电气与电子工程学院，北京102206)

0 引言

在“工程电磁场”的时谐电磁场部分教学中，利用复数形式的麦克斯韦尔方程，通过推导得到了电介质复介电常数和介质损耗角等物理概念。但绝大多数学生很难理解复介电常数的物理意义，而在教材中由于篇幅所限也没有对这方面的内容做详细地阐述。

本文从时谐电磁场情况下电介质的电极化物理过程出发，通过理论推导，建立了介质损耗与复介电常数的关系。在此基础上，以电容器为例，得到了时谐场情况下的等效电路，进一步得到电介质的复介电常数实部和虚部与频率的关系，并指导本科生测量了电介质的介质损耗角正切，得到了复介电常数的频率特性。实践表明，学生通过该过程的理论学习和实验，能够较好地理解复介电常数这一重要的物理概念，同时为加强工程电磁场实验教学内容作了一次尝试。

1 理论推导

介电常数，又称电容率，是电位移矢量D与电场强度E之比，其单位为F/m。在静电场下测得的介电常数称为静态介电常数。在交变电场作用下，因为电介质的极化强度是电子位移极化、离子位移极化和固有偶极矩取向极化三种极化机制的和。当电介质开始受静电场作用时，要经过一段时间后，极化强度才能达到相应的数值，这个现象称为极化弛豫，所经过的这段时间称为弛豫时间[1]。电子位移极化和离子位移极化的弛豫时间很短(电子位移极化的弛豫时间比离子位移极化的还要短)，取向极化的弛豫时间较长，所以极化弛豫主要是取向极化造成的。当电介质受到交变电场的作用时，由于电场不断在变化，所以电介质中的极化强度也要跟着不断变化，即极化强度和电位移均随时间作周期性的变化。如果交变电场的频率足够低，取向极化能跟得上外加电场的变化，这时电介质的极化过程与静电场作用下的极化过程没有多大的区别。由于电场不断变化，电矩随之不断变化而互相碰撞、摩擦引起损耗。如果交变电场的频率足够高，电介质的极化就会跟不上外电场的变化而出现滞后，即弛豫现象，那么D与E之间就会存在相位差，导致介电常数为一个复数。

所谓介质损耗，就是在某一频率下供给介质的电能，其中有一部分因强迫固有偶极矩的转动而使介质变热，即一部分电能以热的形式而消耗。下面从电磁场理论角度做进一步推导。

若作用在电介质上的交变电场为

由于极化弛豫，电极化强度矢量P和D都将落后与电场E，设滞后角为δ，则D可写为

其中，D1=D0cosδ，D2=D0sinδ

复数形式的电场强度和电位移矢量为

由式(4)可见，介电常数是一个复数。实部和虚部都与滞后的角度有关。在不同的频率下，滞后的角度也不相同，因而复介电常数是角度的函数，因而也是频率的函数。对于大多数电介质材料，D和E成正比，不过比例系数不是常数，而是与频率有关。并有

为了反映这个情况，引入两个与频率有关的介电常数:

当频率趋近于零时，极化不出现滞后，这时相角δ=0°。由此可见，当频率接近于零时，ε1(ω)就接近于静态介电常数。下面证明在介质中以热的形式所消耗的能量与ε2(ω)有关。以电容器为例，因为电容器中的电流强度为

其中，σ为电容器板上的自由电荷面密度。在单位体积内电介质所消耗的平均功率为

可见，能量损失与sinδ成正比。因此，sinδ称为损耗因子;因为当δ很小时，sinδ≈tanδ，所以有时也称tanδ为损耗因子。

因为介质损耗与电场强度的频率、温度以及极化机制等都有关系，是一个比较复杂的问题。介质损耗大的材料，做成元件质量也差，有时甚至不能使用。所以介质损耗的大小是判断材料性能的重要参数之一。但要注意在某一频率范围的介质损耗小，并不等于在所有频率范围内的介质损耗都小。

2 电容器在时谐电场中的等效电路

本文以电容器为例，建立电容器在时谐电场中的等效电路来研究复介电常数与介质损耗的关系。对于真空中电容量为C0的理想电容器，如图1的理想电容器上加角频率为ω的正弦波交变电压时，流过的电流为=jωC0。而理想电容器只是一种假设，实际的电容器中通常充满电介质，且电介质会存在泄漏电流，则有[2]，

图1 理想电容器图

图2 充满电介质的电容器

并联等效电路描述了由电介质的漏电流和复介电常数虚部引起的损耗。当频率不太高时，介质的微弱电导产生的漏电流在损耗中占主要地位。在一般情况下，两种损耗机制都起作用，如图3所示。电导率等效的介电常数虚部σ/ω，随频率增大而下降，说明高频时，电介质极化产生的介质损耗逐渐占主导地位，与图3左部趋势一致。在图3右部中，低频时虚部趋于零，在某一频率达最大，该曲线对应极化损耗，其最大点一般对应某些偶极子微观运动的谐振频点。从实验中所测出的复介电常数的频率关系可以看出哪一种损耗机制是起主要作用的。

图3 ε1和ε2与频率的关系

3 实验验证

在理论推导的基础上，我们指导本科生测量了平板电容器的电容和介质损耗角正切，进一步得出电介质的复介电常数实部和虚部与频率的关系。由于介质的各种极化机制在不同的频率范围有不同的响应，且不同频率下产生不同的电导率，所以介质的介电常数和介电损耗都是随频率的变化而变化的。

实验采用的电容器极板为圆形，直径为A，取20cm，极板间距d为3.4mm。则相对介电常数可由下式求出

采用TH2816宽频LCR数字电桥测量电容器的电容和介质损耗角正切，该仪器的测量范围可达107Hz，电容器用可以容易获得的打印纸作为电介质，相对介电常数为2.5(静态值)。实验中可以直接得到C和tanδ，由式(15)求得复介电常数的实部，由εr2=εr1×tanδ进一步可求得虚部。实验结果如图4所示，由图可见εr1为2.5，且随着频率几乎不变，这从一方面验证了该介质的静态相对介电常数为2.5;另一方面随着频率增加，略微偏离2.5的实验结果说明介质损耗角比较小。图中εr2随着频率的增加而下降，说明由电导率引起的介电常数虚部起的作用逐步减小，而主要是与介质极化对应的虚部起作用。实验结果和曲线趋势与理论基本吻合。

图4 相对复介电常数与频率的关系

4 结语

本文针对复介电常数的物理概念，以及介质损耗与复介电常数的关系，通过理论推导和实验研究得出了复介电常数的实部、虚部与频率的关系。实践表明，以上工作不仅加强了学生对复介电常数的理解，达到了教学研究的目的。而且关于电介质复介电常数的测量可以作为工程电磁场课程实验教学的一个新内容。

[1]殷之文，《电介质物理学(第二版)》[M]，北京:科学出版社，2003

[2]倪光正，《工程电磁场原理(第二版)》[M]，北京:高等教育出版社，2009

[3]张三慧，《电磁学(第二版)》[M]，北京:清华大学出版社，1999