关于点、直线的对称问题

2015-11-11 03:06牟建英
新教育时代电子杂志(学生版) 2015年30期
关键词:礼县设点对称点

牟建英

(甘肃省礼县职业中等专业学校甘肃礼县742200)

关于点、直线的对称问题

牟建英

(甘肃省礼县职业中等专业学校甘肃礼县742200)

几何图形的对称是美观的,又是基本的、常见的、重要的。下面是解析几何中点与直线的四种对称问题及其解法。

关于点直线对称

一、点关于点的对称

若求点A关于点B的对称点C,即可根据点B是A、C两点的中点,利用中点坐标公式求出。

例1求出点A(1,3)关于点B(-3,2)的对称点C

解设点A关于点B的对称点为C(x0,y0),由中点坐标公式,得

故对称点C的坐标为(-7,1)

二、点关于直线的对称

求点关于直线的对称点的坐标时,用垂直、平分两条件列方程组求解较简单。

设点P1(x1,y1)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点为P2(x2,y2),P1P2的中点P0(x0,y0),根据中点坐标公式可用x,y表示x0,y0,又P0在直线l上,可得到关于x,y的一个方程,再根据直线P1P2的斜率与直线l的斜率存在互为负倒数关系,得到另一个方程,联立方程组可以求出P2坐标。

由此可得P2坐标。

例2已知直线l:3x-y+3=0,求点P(4,5)关于直线l的对称点。

解设点P(4,5)关于直线l的对称点为P′(x′,y′),则PP′⊥l且PP′的中点在直线l上。

故P′(-2,7)为所求的点。

三、直线关于点的对称

(1)设动点,运用“轨迹法”求解。

设直线Ax+By+C=0上的任意一点P1(x1,y1)关于点P0(x0,y0)的对称点为P2(x2,y2),则由中点坐标公式可得出x2,y2与x1,y1的关系式,进而用x2,y2表示出x1,y1,再将x1,y1代入直线Ax+By+C=0,即可得P2所在直线方程。

(2)利用线线平行及点到两直线距离相等求解。

例3求直线l1:2x-y+1=0关于点P(2,1)的对称直线l2的方程。

解法1设直线l2上任意一点为P1(x1,y1),则它关于P(2,1)的对称点为P2(x2,y2)。

从而有P2的坐标为(4-x1,2-y1)

又因P2在直线l1:2x-y+1=0上,可得2(4-x1)-(2-y1)+1=0

化简可得l2:2x-y-7=0

解法2因l1与l2关于点P(2,1)对称,所以l1∥l2故设直线l2的方程为:

解得C=-7或C=-1(舍去)

故所求的直线l1的方程为:2x-y-7=0

四、直线关于直线的对称

直线关于直线的对称有以下三种解法,都运用了几何性质。

1.利用P与P′是一对“相关点”的性质求出动点的轨迹,这是求曲线关于关于直线对称方程的常用方法。

若求直线l1关于直线l2对称的直线方程l,先设出l1上任一点P(x0,y0),点P关于l2的对称点Q(x,y),再由PQ中点在l2上得到关于x,y的一个方程,由PQ斜率与l2斜率互为负倒数得到第二个方程,联立方程组,解出x0,y0代入直线l1方程,整理可得直线l方程。

2.利用转化求解,即线关于线对称转化为点关于线对称。

3.利用点到直线的距离求解,

例4求直线l1:x-y-2=0关于直线l:x+2y=1=0对称的直线l2的方程。

解法1设直线l2上的动点P(x,y)关于直线l的对称点P′(x′,y′)

因点P′(x′,y′)在直线l1上

化简得直线l2的方程为:7x-y-8=0

解法2在直线l1上取一点(2,0),运用例2介绍的方法,可求得关于l的对称点

直线l2过点P′与Q,有两点式并化简可得直线l2的方程为:7x-y-8=0

解法3先求出直线l1与l2的交点Q(1,-1),再设直线l2的方程为:

y+1=k(x-1)即kx-y-1=0

由对称关系可知直线l上的点到直线l1与l2的距离相等解得k=7或k=1(舍去)

故所求直线l2的方程为:7x-y-8=0

总之,以上主要讲解了点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称的问题。而点关于点、点关于直线的对称是最基本的对称问题,是解决其它对称问题的基础。

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