Nekrasov矩阵行列式界的估计

郭爱丽，聂祥荣，武玲玲

（1.贵州工程应用技术学院 理学院，贵州 毕节551700；2.贵州工程应用技术学院 机械工程学院，贵州 毕节551700）

Nekrasov矩阵是一类特殊的矩阵类，因其在计算数学、数学物理及控制论中的广泛应用引起人们极大的研究兴趣，并给出一系列Nekrasov矩阵及广义Nekrasov矩阵的性质、判定及其应用［1－12］.用数学归纳法得出Nekrasov矩阵顺序主子阵的Schur补仍为Nerasov矩阵［1］、用数值实例说明由Bailey和Crabtree［13］给出的关于Nekrasov矩阵的行列式界的结果是错误的［8］，但却没有给出正确的Nekrasov矩阵行列式的界.作者在文［1］的基础上，利用矩阵Schur补的定义，结合不等式的放缩技巧和数学归纳法给出Nekrasov矩阵行列式界的估计，并用相应的数值实例说明了所得结果的有效性.

1 符号、定义及引理

用Cn×n表示n阶复方阵集合，〈n〉＝｛1，2，…，n｝.设A＝（aij）∈Cn×n.记

定义1 若∀i∈〈n〉，都有｜aii｜≥Ri（A），则称A为弱Nekrasov矩阵，记作A∈N0；若不等式严格成立，则称A为Nekrasov矩阵，记作A∈N.

定义2 设

其中：A（α）为A的对应于α的非奇异主子矩阵，α为集合〈n〉的真子集，α′为α在集合〈n〉下的余集.

定义A（α）在A中的Schur补为

用A／A（α）表示，简记为A／α.

引理1［13］Nekrasov矩阵是非奇异矩阵.

引理2［14］设M、A、A11是非奇异方阵，且

则A／A11是M／A11的非奇异主子矩阵，且

引理3［14］设矩阵其中A是m阶非奇异矩阵，则

2 Nekrasov矩阵行列式的界

根据矩阵Schur补的定义，结合不等式的放缩技巧和数学归纳法，给出若干不等式及Nekrasov矩阵行列式界的估计.

定理1 设A是Nekrasov矩阵，对任意的k∈〈n〉，1≤k＜n，记A／〈k〉＝（a（k）ij），则

证明 不等式（1）在文［1］中已证明，下面用数学归纳法证明不等式（2）.

记A／〈1〉＝（a（1）ij），则

假设1≤i＜u时，有

从而，当i＝u时，有

由引理1、2知

假设

则有

综上所述得证，对任意的k∈〈n〉，1≤k＜n，都有

推论1 设A是Nekrasov矩阵，则

从而

引理4 设A是Nekrasov矩阵，对任意的k∈〈n〉，都有

证明 由矩阵Schur补的定义知

由矩阵的代数运算、乘法运算及矩阵的相等，易知∀k∈〈n〉，都有

注：由引理4易知

定理2 设A是Nekrasov矩阵，则

证明 对∀k∈〈n〉，由于〈k－1〉⊂〈k〉，且〈k〉－〈k－1〉＝｛k｝，由引理4及（3）式得，对∀k∈〈n〉，有

所以，由引理3［14］知

3 数值实例

用数值实例说明由Bailey和Crabtree［13］给出的关于Nekrasov矩阵的行列式界的结果是错误的，而由论文定理2可得出Nekrasov矩阵行列式界的正确估计.

例 设矩阵

易知A为Nekrasov矩阵，且detA＝－120，由文［8］知由Bailey和Crabtree给出的估计是不对的，但由于所以，由定理2可得

［1］郭爱丽.Nekrasov矩阵的Schur补［J］.毕节学院学报：自然科学版，2013，31（8）：41－43.

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