＊利用局部性质刻画三角环上的导子

王彩莲，侯晋川（太原理工大学数学学院，太原030024）



＊利用局部性质刻画三角环上的导子

王彩莲，侯晋川
（太原理工大学数学学院，太原030024）

摘 要：证明了当三角环U满足某些条件时，三角环中的每个元都是可加拟Jordan全可导点。作为推论，有非平凡可补元的Banach空间套所对应的套代数中的每个算子都是可加拟Jordan全可导点。

关键词：导子；拟Jordan全可导点；三角环；套代数

令R是一个环（代数）。可加（线性）映射Φ：R →R被称为是可加（线性）导子，如果Φ（xy）＝Φ（x）y＋xΦ（y）对所有的x，y∈R都成立。线性导子通常简称为导子。记x°y＝xy＋yx为x，y的Jordan积。可加映射Φ：R→R被称为可加Jordan导子，如果Φ（x°y）＝Φ（x）°y＋x°Φ（y）对所有x，y∈R均成立。线性Jordan导子也可以类似的定义。显然，（可加）导子一定是（可加）Jordan导子，另一方面，在特征不是2的半素环上每个Jordan导子都是导

子［1－2］。

近年来，许多学者通过映射的局部特征来刻画导子和Jordan导子。令g∈R．称可加映射Φ：R→R 在g点可导，如果Φ（xy）＝Φ（x）y＋xΦ（y）对所有R中满足xy＝g的x，y都成立。类似地，称可加映射Φ：R→R在g点Jordan可导，如果Φ（x°y）＝Φ（x）°y＋x°Φ（y）对所有R中满足x°y＝g的x，y均成立。g被称为R的一个全可导点，如果每个在g点可导的可加映射都是可加导子。同样地，g被称为R的一个Jordan全可导点，如果每个在g点Jordan可导的可加映射都是可加Jordan导子。已有的研究成果表明，对任意环来说，0既不是全可导点，也不是Jordan全可导点［3－4］。但是，对某些环或者代数来说，存在许多非零的全可导点。但对于Jordan全可导的例子，知道的很少。在文献［4］中证明了单位元I是包含非平凡幂等元的素Banach代数，因子von Neumann代数及某些三角环和套代数上的一个Jordan全可导点。

三角环（代数）概念在文献［5］中第一次提出，随后，许多学者进行了深入研究。令A和B是两个单位元分别为IA和IB的环（代数），M是一个忠实的左A－模，同时也是忠实的右B－模；记

于是在通常的矩阵加法和乘法运算之下U是一个环（代数），称之为由A，M，B构造的三角环（代数）。注意三角环（代数）既不是素的也不是半单的。

除讨论在某点可导或Jordan可导的映射结构以及与导子或Jordan导子的关联问题，许多学者还讨论具有如下局部可导行为的映射。设Φ：R→R为可加映射。对于给定的元g∈R，如果

Φ（x°y）＝Φ（x）°y＋x°Φ（y）．（1）

对所有满足xy＝g的x，y∈R都成立，则称Φ在g点是拟Jordan可导的。g∈R被称为是R中的拟Jordan全可导点，如果每个在g点拟Jordan可导的可加映射都是导子。注意Φ在g可导并不能推出Φ 在g点是拟Jordan可导的，在某一点拟Jordan可导以及拟Jordan全可导点也被称为在某点Jordan

可导及Jordan全可导点［7－11］。这有时会引起与引言部分中第二段所述的Jordan可导点和Jordan全可导点的标准概念相混淆。

以下列举与本文相关的一些结果。2009年，文

（Tel）15536888410

通讯联系人：侯晋川，教授，博导，（E－mail）jinchuanhou＠aliyun．com献［9］证明了单位算子是B（H）上的拟Jordan全可导点。2010年，文献［10］证明了上三角矩阵中的每一个元都是拟Jordan全可导点。

笔者在比较弱的条件下，证明三角环（代数）上的每一个元都是拟Jordan全可导点。作为应用得到：含有非平凡可补元的Banach空间套所对应的套代数中的每个点都是该套代数的可加拟Jordan全可导点。以下是本文的主要结论。

定理 令U＝Tri（A，M，B）是一个三角环，其中A和B是两个单位元分别为IA和IB的环，M是一个忠实的左A－模，同时也是忠实的右B－模；如果

a）2IA和3IA在A（2IB和3IB在B）中可逆；

b）对每个A∈A（B∈B），存在正整数nA（nB）使得nAIA－A（nBIB－B）在A（B）中可逆；

c）对A∈A及B∈B，若AM＝MB对每个M∈M都成立，则或者A＝0或者A可逆且是IA的倍数。

那么，U中的每个元都是拟Jordan全可导点。

1　主要结果的证明

以下给出定理的证明。

令G∈U．假设Φ：U→U是在G点拟Jordan可导的可加映射。往证Φ是可加导子。

因为Φ是可加的，所以存在可加映射fR：R→A，gR：R→B以及hR：R→M，（其中R＝A，M，B），使得

0 0是如下定义的内导子：Ψ（X）＝［X，T0］＝XT0－T0X对所有X∈U都成立。如果必要，用Φ＋Ψ代替Φ，则下面可以假设hB（IB）＝0。

因为Φ：U→U是可加的并且在G点拟Jordan可导，故有．

这表明

以及

断言1 fA和gB分别在A0和B0拟Jordan可导。

为证明fA在A0点拟Jordan可导，需要证明对任意A中满足XY＝A0的X，Y，fA（X°Y）＝fA（X）°Y＋X°fA（Y）。

先给出一个事实。

事实如果A，B，C∈A（或者A，B，C∈M）对所有满足rIA在A中可逆的正整数r都有r2A＋rB＋C＝0成立，则A＝B＝C＝0。

实际上，由定理假设（a），可以取r＝1，2，3，于是有

由前2个方程，可得B＝－3A，C＝2A．代入第3个方程立得C＝2A＝0，从而A＝（2IA）－12A＝（2IA）－10＝0以及B＝－3A＝0．

在下面的论证中，该事实会被多次用到。

假设X，Y∈A满足XY＝A0．对任意满足rIA可逆的正整数r，取A1＝r－1X＝（rIA）－1X，M1＝M0，B1＝B0，A2＝rY，M2＝0，B2＝IB，由式（3）有

等价地有，

因此由前面的事实，有

取X＝IA，Y＝A0并代入最后一个关系式，得fB（IB）＝0．再令Y＝IA，X＝A0，有fM（M0）＋2fB（B0）＝0．所以，fA（X°Y）＝fA（X）°Y＋X°fA（Y）．因此，fA在A0点拟Jordan可导。

同理可证：gB在B0拟Jordan可导。

断言2 fM＝0，fB＝0，gA＝0以及gM＝0．

只要证明对任意的A∈A，B∈B和M∈M都有

fM（M）＝0＝fB（B），gA（A）＝0＝gM（M）．由断言1，当XY＝A0时，有fA（X°Y）＝fA（X）°Y ＋X°fA（Y）．所以，式（3）变为

对任意的M∈M，取A1＝rIA，M1＝M0－rM，B1＝B0，A2＝r－1A0，M2＝M，B2＝IB并将其代入式（6），其中r是任意满足rIA可逆的正整数，从而有

这就表明2fM（M）＝0．注意到，由假设a），2IA在A中可逆，因此必有fM（M）＝0．

对任意可逆元B∈B，取A1＝IA，M1＝0，B1＝rB0B－1，A2＝A0，M2＝M0，B2＝r－1B并将其代入式

（6），其中r是任意满足rIB可逆的正整数。从而可以得到

fB（B0B－1°B）＝rfB（B°B－1）°A0＋2r－1fB（B）．这就说明2fB（B）＝0，因此fB（B）＝0对于所有可逆元B∈B都成立。现在设B∈B为任意元。由假设b），存在正整数n使得nIB－B是B的可逆元。所以，由刚刚证明的结论，有fB（nIB－B）＝0．又fB（nIB）＝nfB（IB）＝0，所以有fB（B）＝0对任意B∈B都成立。同样，由式（3）和式（4）可以得到gA（A）＝0＝gM（M）对所有A∈A以及M∈M都成立。

断言3 hA＝0，hB＝0．

需要证明，对任意的A∈A和B∈B都有hA

（A）＝0＝hB（B）．

注意到已经假设了hB（IB）＝0．对任意可逆的A∈A以及任意使得rIA和rIB可逆的正整数r，取A1＝A，M1＝rM0（＝（rIA）M0＝M0（rIB）），B1＝rB0，A2＝A－1A0，M2＝0，B2＝r－1IB并将其代入式（4）．则可以得到

由前面的事实易知hA（A）＝0．因此，证明了hA在所有可逆元上都为0．考虑任意的A∈A．由定理假设b），存在正整数n使得nIA－A是可逆的。于是hA（nIA－A）＝0且有hA（nIA）＝nhA（IA）＝0．这就表明hA（A）＝0对所有A∈A都成立。同理，利用式（4）也可以得到hB（B）＝0对所有B∈B都成立。

断言4 对任意A∈A，M∈M以及B∈B，都有

hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M）－AMgB（IB），hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）－fA（IA）MB．

（7）

对任意可逆元B∈B，任意的M∈M以及任意的使得rIB在B中可逆的正整数r，取A1＝IA，M1＝M，B1＝r－1B0B－1，A2＝A0，M2＝M0－rMB，B2

＝rB并将其代入式（4）可得

利用与上面相同的方法易证对所有M∈M以及B中可逆的B都成立。令

则F∶B→M是一个可加映射，并且F（B）＝0对所有可逆的B∈B都成立。由假设b），对任意的B∈B，存在正整数n使得nIB－B是可逆的。所以，由前面的论述，有F（nIB－B）＝0．因为F是可加的，F （nIB）＝nF（IB）＝0，所以，对任意的B∈B，都有F （B）＝0．于是

hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）－fA（IA）MB对所有M∈M及B∈B都成立。同理，对任意可逆元A∈A，任意的M∈M，以及任意满足rIA在A中可逆的正整数r，在式（4）中取A1＝rA，M1＝M0－rAM，B1＝B0，A2＝r－1A－1A0，M2＝M，B2＝IA，则

有，hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M）－AMgB（IB），对所有M∈M及可逆的A∈A都成立。用与上面相同的论证，可以得到对所有的M∈M以及A∈A都成立。

断言5 对任意A∈A，M∈M以及B∈B都有

先假设G≠0．由断言4的论证，只需要证明fA（IA）＝0以及gB（IB）＝0．将A＝IA代入式（7），得到fA（IA）M＝MgB（IB）对所有M∈M均成立。由假设c），对A∈A及B∈B，AM＝MB对所有M∈M都成立，则或者A＝0或者A可逆，且是IA的倍数，不妨设A＝αIA．显然，由A＝0可以得到B＝0；由A＝αIA可以得到B＝αIB．因此，如果允许α＝0，则fA（IA）＝αIA以及gB（IB）＝αIB．所以，

因为Φ在G点拟Jordan导，所以，

因此，Φ（IU）°G＝0，从而2αG＝0．如果α≠0，则αIU是可逆的，从而G＝0，与G≠0矛盾。所以必有α＝0，即fA（IA）＝0且gB（IB）＝0．

现假设G＝0．对任意的M∈M，A∈A，取A1＝0，M1＝M，B1＝0，A2＝A，M2＝0，B2＝0．将其代入式（4）．因为Φ在G＝0点拟Jordan可导，容易验证

hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M）

仍然成立。类似可得

hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）

对所有M∈M和B∈B都成立。

断言6 fA和gB都是可加导子。

应用断言5，有

对所有A1，A2∈A，M∈M都成立。另一方面，

对所有A1，A2∈A，M∈M都成立。因为M是忠实的左A－模，从上述两个关系式可推得

对所有A1，A2∈A都成立。因此，fA是可加导子。类似可以验证gB也是可加导子。

断言7 Φ是可加导子。

需要证明Φ（XY）＝Φ（X）Y＋XΦ（Y）对所有XY∈U都成立。

由断言1－6，有

其中fA和gB都是可加导子，并且

hM（AM）＝fA（A）M＋AhM（M），

hM（MB）＝hM（M）B＋MgB（B）．

对所有A∈A，M∈M及B∈B都成立。对任意X＝A1M10 B

烄烆

烌烎1以及Y＝A2M20 B

烄烆

烌烎2

，

而）．

所以Φ是一个可加导子。证毕。

作为应用，考虑Banach空间套代数的情形。用B（X）表示Banach空间X上有界线性算子全体。

推论 设N是一个在实或复Banach空间X上的非平凡套，令AlgN是与之相应的套代数。假设存在N∈N＼｛0，X｝使得N在X中可补。令Φ：AlgN →AlgN是可加映射，且G∈AlgN．若Φ（X°Y）＝Φ （X）°Y＋X°Φ（Y）对所有满足XY＝G的X，Y∈AlgN都成立，则Φ是一个可加导子；进而，当dim X＝∞时，存在算子T∈B（X）使得Φ（A）＝AT－TA对所有A∈AlgN都成立。

证明 因为存在非平凡的元N∈N可补，所以存在幂等元E∈AlgN使得E的值域是N．从而N1＝E（N）和N2＝（I－E）（N）分别是N和ker E上的套。此外，AlgN1＝EAlgNE，AlgN2＝（I－E）AlgN （I－E）并且AlgN可以看做是一个三角代数。

其中A＝AlgN1，B＝AlgN2，M＝EAlgN（I－E）＝B （ker E，N），即ker E到N的有界线性算子全体。显然AlgN满足定理的条件a）－b）。为证明它满足条件c）假设A∈A和B∈B使得AM＝MB对所有M ∈M＝B（ker E，N）都成立。特别的，Axf＝xfB＝xB＊f对所有秩一算子xf都成立，其中，x∈N且f∈（ker E）＊＝N⊥，N⊥为N的零化子。从而，存在数λx使得Ax＝λxx对每个x∈N都成立。而此蕴涵存在常数λ使得A＝λIN＝λIA．显然也有B＝λIB．现在，由于Φ在G点拟Jordan可导，由定理，Φ是一个可加导子。另外，如果dimX＝∞，则AlgN上的每个可加导子都是线性的，从而是内的［12］。从而存在T∈B（X）使得Φ（A）＝AT－TA对所有A∈AlgN都成立。证毕。

参考文献：

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（编辑：刘笑达）

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Characterizing Derivations on Triangular Rings by Local Properties

WANG Cailian，HOU Jinchuan
（College of Mathematics，Taiyuan University of Technology，Taiyuan030024，China）

Abstract：Under some mild conditions on triangular ring U，every element of Uis an additive quasi Jordan all－derivable point．As a corollary，for Banach space nest with nontrivial complement elements，every operator of the corresponding nest algebras is also an additive quasi Jordan all－derivable point．

Key words：derivations；quasi Jordan all－derivable points；triangular rings；nest algebras

作者简介：王彩莲（1989－），女，山西吕梁人，硕士生，主要从事算子理论与算子代数研究，（E－mail）wangcailian1224＠163．com，

基金项目：国家自然科学基金资助项目：算子空间上一般保持问题及在量子信息理论中应用研究（11171249）。

收稿日期：＊2014－10－15

DOI：10．16355／j．cnki．issn1007－9432tyut．2015．03．023

文献标识码：A

中图分类号：O177．1

文章编号：1007－9432（2015）03－0361－05