集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角

■淮北师范大学数学学院　张　昆■江苏省扬州中学　张乃达



集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角

■淮北师范大学数学学院张昆
■江苏省扬州中学张乃达

“集中条件”是获得解题思路的不二途径，是数学解题过程的根本性任务.任何数学解题思路的来源，都是解题主体通过运用自己的意识能动性与创造性，设法沟通问题所提供的条件，建立条件间的关系（简称为“集中条件”），实现条件向结论的转化，才能达到现实的解题目的.因此，教师在数学解题教学设计时，必须要处理好组成问题解决的逻辑通路的关键环节，在这种关节点上将逻辑过程转化为学生发现问题思路的心理过程，突出学生从解题活动中生成组织外在客观信息（主要是集中条件）的体验，以此，通过长时间的教学熏染与濡化，提高学生分析问题与解决问题的能力，从解题思维活动过程中获得应对新问题情境的经验.本文以高考解题教学为例，探究集中条件的几种具体途径.

一、利用直观方式集中条件

在数学问题题设出现的某些条件具有相似结构形式时，解题主体可以首先考虑通过直观观察的手段集中条件.于是，在教学设计时，教师可以充分利用问题结构的可观察性，引导学生使用直观的方式达到集中条件的目的.这虽然是一种直接的方式集中条件，但是，我们通过听了许多高三教师的复习解题教学，却发现许多教师没有做好有效的教学设计，从而使学生没有深深地体会与认识到这一点，结果造成了教学的损失.

（Ⅰ）对每个n∈N*，存在唯一的满足fn（x）=0；

（Ⅱ）对任意的p∈N*，由（Ⅰ）中xn构成的数列{xn}满足xn-xn+p＞0.

问题（Ⅰ）的结论证明过程略，直接承认它正确.

生1：要证明的结论xn-xn+p＞0一定包含于①、②、③这三个条件中，我还预感到，这一结论主要与条件①、②关系密切，条件③可能只是在某一个环节上加以应用（猜想与评估，思维监控系统的应用），可惜，我目前还不知道通过何种途径来构建条件①、②之间的确切关系.

师：建立条件①、②之间的关系，就是将这两者构成“你中有我，我只有你”的某种形式结果，如何构建呢？（教师通过从比较抽象的一般观念上启发学生萌生两个条件间的联系，它是一种“问题的一般性解决”的提示，绝非向学生下达具体操作活动的指令，那样，就失去了学生的数学探究活动）

生2：可以直观地构建条件①、②之间的某些关系形式.例如，构建fn+p（xn）或fn（xn+p）（运用了解题主体萌生的条件①、②之间的形式上的联系，建立了一条从“问题的一般性解决”过渡到“问题的功能性解决”的途径）.下一步我还没有想好.

生3：试着写出函数fn+p（xn）的表达式，即fn+p（xn）=fn（xn）知fn+p（xn）＞fn（xn）④，由②、④知fn+p（xn）＞fn+p（xn+p） =0⑤，于是，由③、⑤知xn＞xn+p，即xn-xn+p＞0.（由“问题的功能性解决”过渡到“问题的具体解决”）

评析：建立条件①、②之间的关系途径，在于利用条件①、②的直观形式特征，构造出了具体的函数形式fn+p（xn）或fn（xn+p），这看似轻描淡写，却正是意识能动性与创造性的体现.解题主体只有现场即兴地依条件特点建立关系，才能达到解题目的.但是，由于问题各具特点，其集中条件的方式各异，它需要灵活应对，方可实现.由此可以启导学生萌生“在不知道如何办时需要动用的东西”，［1］这正是开发智力、形成智慧、实现创新的关节点.因此，数学解题教学设计应该在这些独特的建立条件之间关系的关键环节上狠下功夫，是实现诸多教学目标的策源地，通过它才能达到促使学生萌生体验，培养学生的探索、发现与创新能力，形成深度数学经验的目的.

二、利用猜想方式集中条件

对于数学高考中的较难题目而言，直观方式建立题设条件之间的联系毕竟为数不多，当有些数学问题的题设条件不具有相似结构形式时，直观方式集中条件就很难达到目的了，于是，集中条件就必须要采用其他的手段，解题者只有通过细心地观察各个条件结构形式的细微处，猜想条件的可能性结构形式往往起着重要的作用.以猜想的一种结构形式作为起点，就有可能揭示其他条件蕴含的本质特征，为集中条件提供了新支点.

例2（2012年高考江苏卷）已知各项均为正数的数列{an}与{bn}满足其中，n∈N*，且{an}是等比数列.求a1，b1的值.

师：建立①、②条件间的关系是解题关键，但两者很难形成像样的配合，怎么办？

师：生1的思考结果对问题解答有帮助吗？

生2：可以将此猜想的结论（{bn}是等比数列）作为出发点.由于an是常数，它启发我考虑确定an的取值范围，于是，促使我们考查条件①的数式结构，它可以使我想到条件①隐含着一个基本不等式，即+b2n），于是，所以（余下的解题只是技术性手段了，可得结论，具体解答略）

评析：这个例子中的条件①、②很难找到它们的有效沟通途径，从而形成两者之间的关系，因此，从试探的角度来说，首先变形条件②，看看是否可以获得具有某种启发的结构形式，结果发现了条件③，这是两个数列之间的和谐性，它促使我们猜测，数列{bn}应该是等比数列，由此，获得了另一个猜想，an是常数，令我们想到确定常数an的取值范围，又使我们意识到条件①为确定这一范围提供了基础，条件①、②的各自功能及其关系显现了出来，如此，问题思路的端倪已经跃然心底.

三、利用直觉方式集中条件

当直观方式与猜想方式都难于提供形成题设条件之间的关系时，就需要解题者调用更加深层次的意识能力要素（直觉思维方式）作用那些条件元素，才有可能发现、沟通条件之间的关系.俗话说：眉头一皱计上心来，说的正是直觉思维的创造性.相对于逻辑表达的教学价值来说，在发现数学解题思路的活动中，直觉思维与形象思维却起着支点性的作用，因为，直接取得逻辑表达的关键环节，是在探究问题所提供的外在信息的过程中，获得关键性暗示，进而检验暗示，如果获得成功，则暗示正确，否则，重新生成暗示，由此构成暗示—检验—再暗示—再检验的过程，而这种暗示的取得，正是猜测、形象思维与直觉思维的用武之地.［2］

例3（1998年高考全国卷）设数列{an}的通项an=①（a＞0，a≠1），数列{bn}的通项bn=3n-2②，Sn是{an}的前n项和，比较3Sn③与logabn+1④的大小.

师：由要实现的问题结论，我们猜想，③式与④式存在不等关系的可能性非常大.那么，与其对立的命题是：③式与④式可以变得相等吗？（教学起点的生成问题情境的方式，乃是模拟学生的原始想法，是由“放缩法”观念所产生的一种提示，是形成“问题的一般性解决”［3］活动的一种途径）

生1：不可能.不等的数量，怎么可能变成相等呢？（对教师提出的问题，大多数学生可能都出现了如此想法，从而否定了“放缩法”的解题方向或途径，造成了损失.教学中，教学应力求鼓励学生对一些暗示或观念进行估计与检验，形成培养直觉思维的萌芽）

生2：可以.将③式的数量值放大或缩小得到④式，从理论上说这种目的是可以实现的.（生2经由评估，认为教师的暗示有价值，它就自然地转入检验行动，获得了从“问题的一般性解决”转化为“问题的功能性解决”的一种途径）

师：老师同意生2的想法，“不等”与“相等”这两者之间是相对的，为了获得不等关系的结论，我们可以通过相等的途径来达到.（辩证思维，世界上的许多事物既矛盾，又统一，可以互相转化，辩证思维的发展对直觉思维成果及其转化为检验行动，具有很好的教育价值）

师：那么，如何放缩才能将③式转化为④式？（转入构想检验暗示途径程序，启动构造检验的方法，从而促进学生萌生从“问题的功能性解决”转化为“问题的具体解决”的指令）

生3：许多同学都想方设法对③式中的Sn的构成要素）进行放缩，但不能转化成④式，……因为，③式太复杂，而④式太简单，因此，找不到沟通两者的途径，……（在“问题的功能性解决”中，逻辑过程出现了中断，此时，需要直觉思维的帮助，也正是培养直觉思维能力的资源，否则，“问题的功能性解决”就很难转化为“问题的具体解决”的途径）

师：如何检验生4的想法？

评析：这个例子是通过启发学生的直觉集中条件的一个典型代表，每一个知识点的教学，教师都应该采取这种分析方式，据此考虑教学设计过程.课例的关键环节是从表达式⑤，设出表达式⑥、⑦，逻辑思维活动在这里已经中断.如何启动学生直觉思维，对教师的教学能力提出了极高的要求，将教师逼入了两难的境地：教学过程绝对不能向学生下达“设表达式⑥、⑦”的“指令”，如此乃是灌输教学，教学价值将由此丧失殆尽，为达到启发学生发生这种暗示的目的，教师需要极高的教学技艺与能力.课例的这种教学设计重在启发学生获得暗示的一种方法，由如此教学设计活动发现，它是培养直觉思维的有效途径.

这道题的教学设计主要有两项疑难：其一，从学生思维角度来考查，本例的主要条件3Sn，即使我们的思维聚焦于独立的而思维的展开很难对它自身进行自我观察，不能联想到三者之间的配合，沟通条件之间的关系，从而达到集中条件的目的；其二，从教师教学设计角度来说，从表达式⑤，如何设出表达式⑥、⑦，教师稍不注意就有可能将这种巧妙的思路强加于学生，造成教学价值的损失.本例的教学设计就是从重在处理好这两个问题出发的.

顺便说一句，这是张昆老师2007年春在常州国际学校所上的常州市高考数学复习解题教学的一节示范课（黑板加粉笔的传统媒体）.在评课时，有人提出了课堂教学效率问题，认为这种设计尽管给了人们解题教学设计耳目一新的感觉，但在这一整节课上就讲了这么一道题，效率是不是非常低呢？对此，当时在现场听课的张乃达老师为此作了辩护：“长期的数学教学经验使我们意识到：虽然‘教什么’与‘怎样教’更直接通向教学效率，但对于形成数学解题的心路历程而言，高效率往往会流失解题教学价值的许多意蕴，解题的逻辑环节的出现不是客观的物品，不能直接从教师（或者教科书）那里传递给知识的学习者，它就好像是我们的肠道对食物的一种消化吸收过程，食物必须经由很长的弯弯曲曲的肠道，才能一点一滴地对其中内含的营养要素进行分类吸收，而将有害的因素排出，吸收了的便成为主体身体的一部分，为主体所用；数学观念的生成与再生也是一样，必须对作用于意识机能的外在信息的点滴体会，集思广益，才能萌生相应的数学观念，组成主体认知结构的动力系统的一个部分，这应该是一种需要时间进行体悟的过程，这一过程是不能采用解题的数量与时间的比率来阐明数学问题解决的教学效率的.”［6］

四、简要结语

每一门学科，乃至于组成它的不同内容都具有不同的教学价值.数学解题的教学价值聚焦于培养学生的创新能力，它主要包括猜测能力、形象思维能力与直觉思维能力，到高中阶段则更深入到了辩证思维的水平，其他学科无法替代数学课程资源的教学价值.［7］对此，我们发现，在数学新课程理念中，对于数学（特别是高考）解题教学存有偏见，甚至歧视它，例如，在课程标准中，没有明确地指出数学解题为一项教学目标；在博士与硕士论文选题中，研究者将数学解题教学作为力图避免的课题，这是不正常的.学校、教师与学生花费那么大的时间与精力进行解题活动（特别是高考复习时），而它不能进入教学目标体系是说不过去的.其实，数学解题教学在培养学生一系列能力中发挥着特别重要的作用，是数学教学价值的集中体现.

形式逻辑是数学表达与交流的工具，构成了数学知识的基础环节与过程，因此，是必备的数学基础能力，它可以作为数学教学的目标之一，但绝不是重要目标.对此，威廉·卡尔文说：“哲学家与物理学家可能对人类逻辑推理的能力评价过高，逻辑的实现是由对事物内在秩序的猜测所组成的——但只是当作为提供的外在信息确实有一种明确无误的内在顺序可作猜测时，才有可能产生效果.而‘出色的猜测’包括：找到问题的答案或者论点中的逻辑关系；碰巧想到一个合适的比喻；建立一种令人愉快的和谐关系，或是作出机智的答复，或预测可能发生的事情.”［1］因而，创新能力的培养，恰恰就是奠基于这些直观的方式、猜想的方式与直觉的方式来作用于问题，数学解题的集中条件的过程就深含创新的关键要素，因此，数学解题教学设计是培养学生创新能力与创新精神的重要基础.

参考文献：

1.［美］威廉·卡尔文，著.大脑如何思维：智力演化的今昔［M］.杨雄里，梁培基，译.上海：上海科学技术出版社，1996.

2.张昆.整合两种数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究［J］.中国教育学刊，2011（6）.

3.张乃达.数学思维教育学［M］.南京：江苏教育出版社，1990.

4.［英］利文斯通，著.古典语言与国民生活［M］.赵祥麟，译.北京：人民教育出版社，1980.

5.张昆.数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点［J］.数学教育学报，2015（5）.

6.张昆.数学解题教学设计的新视角——基于思路表达的逻辑捷径到思路探究的心理生成研究［J］.中学数学（上），2015（4）.

7.张昆，曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径［J］.数学教育学报，2015（1）.F