基于H∞方法的控制系统作动器最优控制仿真研究

赵一瑾

(北京航空航天大学 无人驾驶飞行器设计研究所, 北京 100191)



基于H∞方法的控制系统作动器最优控制仿真研究

赵一瑾

(北京航空航天大学 无人驾驶飞行器设计研究所, 北京 100191)

摘要:在设计控制系统模型时,首先引入了有限差分法(FDM)离散化后的波动方程,然后基于H∞最优控制原理,检查闭环控制系统的稳定性和可探测性,对控制系统传感器和作动器的位置进行优化配置。通过计算闭环反馈系统的范数,最终得到了控制系统的最优控制算法。仿真结果表明,利用波动方程来优化控制系统传感器和作动器位置的算法是可行的,可广泛应用于飞控系统的设计中。

关键词:传感器和作动器; 有限差分法; H∞最优控制

0引言

现代控制领域中最重要的内容之一就是寻找传感器和作动器的最优位置,以获得更好的控制结果。传感器的不当放置,可能会导致其精度降低,影响控制效果。

自20世纪七八十年代起,人们开始了对控制系统和显示系统中传感器和作动器位置的研究。1973年,文献[1]提出通过检测系统的可观测性确定传感器的优化配置。之后,研究者们开始关注于在传感器位置最优问题上如何减少估计误差[2]。文献[3]通过对线性偏微分方程(PDE)模型的控制器进行可控性测量,来得到最佳的作动器的位置。后来文献[4]将遗传算法引入到优化控制器增益和作动器位置研究中。对于非线性控制系统,Lou等[5]尝试用K-S方程的高阶离散来计算。尽管这些前期的方法和研究取得了一定的进展,但在鲁棒性方面均存在不足。随着现代控制理论的发展,鲁棒控制系统被引入到这一问题中来。文献[6]利用线性Ginzburg-Landau模型来设计H2控制器,但相较于H∞最优控制理论,H2控制理论存在更多的局限性。

考虑到实际工程应用中飞机作为一个弹性体,在设计控制器时必须考虑柔性结构的因素，本文将现代H∞鲁棒控制理论与柔性结构的波动方程相结合,来解决作动器和传感器位置最优的问题。利用有限差分法(FDM)来离散化波动方程,它的线性偏微分方程可以通过物理学原理推导得出[7]。H∞最优控制原理被应用于设计控制系统,它拥有传统控制方法的所有优点，并且很好地平衡了控制器的表现和鲁棒性[8]。H∞最优控制的目标是减小闭环系统从外界输入到误差信号输出的范数γ∞。

1被控系统的离散化

1.1偏微分方程

由于一维波动方程没有阻尼项,其所有特征值均在虚轴上即实数部分为零,整个开环系统处于临界稳定状态。为了使系统稳定,须引入阻尼项来确保所有矩阵的特征值都处于左半平面上。一维有阻尼项的波动方程的偏微分方程为[7,9]:

(1)

式中:x为波的振幅;s为位置矢量;c为波的传播速度;λ为阻尼系数。假设在机翼的底端有脉冲输入信号,则初始条件(IC)和边界条件(BC)分别为:

(2)

(3)

1.2有限差分方法

用有限差分法对偏微分方程进行离散化[10],下面是两种离散方法。

1.2.1全离散有限元差分法

离散化整个系统,将其分为N个点,时间T分为M个节点,所以空间和时间上的步长可分别表示为Δs=L/(N-1),Δt=T/(M-1)。一阶差分用向前差分法,二阶用中心差分法,可离散化一维有阻尼项的波动方程为:

(4)

式中:i为空间网格;j为时间网格。用p=c2Δt2/Δs2替代,重新整理式(4)可得:

(5)

写成矩阵格式为:

(6)

1.2.2半离散有限元差分法

半离散法仅在空间上离散而不在时间上进行离散,即Δs=L/(N-1)。离散时对于各节点处n=0,1,…,N-1,可使用二阶向前差分、二阶向后差分以及二阶中心差分法,其表达式分别如式(7)～式(9)所示:

(7)

(8)

(9)

2H∞最优控制系统

2.1H∞最优控制原理

一个典型的H∞反馈控制系统的结构框图如图1所示。

图1　H∞反馈控制系统结构框图Fig.1　Structure of H∞ feedback control system

图1的反馈控制系统可以看作一个下线性分式变换(LFT)。图中：G(s)为被控对象;K(s)为控制器[11-12];u为控制输入;y为测量输出;w为所有外部输入,包括干扰或噪声;z为系统的输出即错误信号。该系统可以表示为:

(10)

通过一系列推导可得系统从外部输入w到误差信号z的传递函数为[13]:

(11)

此系统的状态空间表示为:

(12)

所以传递函数可以表示为:

(13)

系统的H∞范数γ代表系统最坏的情况或可能出现的最大增益。定义为[11-13]:

(14)

2.2H∞闭环控制器的设计

用状态空间描述开环系统[14]:

(15)

其中:

利用H∞最优控制理论设计一个闭环控制系统,写成式(12)的形式。

2.3位置最优设计

2.3.1传感器位置最优

2.3.2作动器位置最优

3仿真结果及分析

假设:波的传播速度c=1 m/s;介质长度L=10 m;分割节点数N=15;总测量时间T=10 s;时间节点数M=100;外界脉冲输入的边界条件uL=10 mm;阻尼项的阻尼系数λ=1。

3.1H∞闭环控制系统

闭环系统的H∞范数γclosed是用来测量H∞最优控制系统的控制效果的一项非常重要的指标。

对于不同的r,闭环系统的脉冲响应分别如图2所示。当r=0时,为了平衡位于介质末端的正向波动,靠近介质起始端的节点处的响应是负向的。随着系数r的不断增大,这个响应在不断减小,当r趋近于正无穷大时,对比开环和闭环系统的范数可知,γclosed会趋近于γopen,此时意味着控制器对系统的影响小到可以忽略不计。

图2　含阻尼项波动方程的脉冲响应Fig.2　Impulse responses of closed-loop system for wave equation with damping term

通过对比不同r情况下闭环系统和开环系统的H∞范数,可以得出如下结论:当r不断增大,会使得控制输入u变小,从而导致控制器在闭环系统中所起到的作用非常小。当r足够大时,闭环系统的H∞范数会无限趋近于开环系统的H∞范数,这说明闭环系统的控制效果与开环系统一样变得非常差。

3.2传感器位置最优

根据第2.3.1节关于传感器位置最优的研究,移动传感器测量输出的位置,则系统的脉冲响应如图3所示。当测量输入向位于底端的外界输入移动时,位于远离w的作动器反应越来越迅速,这表明了控制器的效果不断提高。

图3　移动传感器位置时波动方程的脉冲响应Fig.3　Impulse responses of closed-loop system with the position of sensor being moved

此时若将u固定在其他节点处,移动测量输出y的位置时,会出现系统不可探测的情况,增加传感器的个数可以使系统重新变为可探测的。

3.3作动器位置最优

按照本文第2.3.2节所述的过程进行作动器位置最优的研究,移动作动器即控制输入的位置。表1为作动器位置不同时闭环系统的H∞范数。其中，γ1为u=x(0,t)时γclosed的最小值;γ2为u=x(Δs,t)时γclosed的最小值。对比可知,将作动器放在起始端,会得到更好的控制效果。继续移动作动器的位置,可能会出现系统不稳定的情况,这意味着仅用一个作动器无法使系统稳定,此时可以通过增加作动器的个数来解决这一问题。

在研究一个传感器作动器位置最优问题时,会出现系统不稳定或不可探测的情况,此时可以通过增加传感器或作动器的数量来使系统重新恢复到稳定、可探测的状态。

表1　作动器位置不同时闭环系统的H∞范数

4结束语

基于H∞最优控制原理,利用波动方程来优化控制系统传感器和作动器位置的算法是可行的,可以将传感器和作动器的位置最优问题转化为控制系统的优化问题。可以通过测量控制系统的H∞范数判断闭环系统的控制效果,给复杂的位置最优问题一个固定的检测标准。在满足系统稳定性和可探测性的前提下,可以进一步研究多个传感器及作动器位置最优的问题。

参考文献：

[1]Yu T K,Seinfeld J H.Observability and optimal measurement location in linear distributed parameter systems[J].International Journal of Control,1973,18(4):787-789.

[2]Kumar S,Seinfeld J H.Optimal location of measurements for distributed parameter estimation[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1978,23(4):690-698.

[3]Arbel A.Controllability measures and actuator placement in oscillatory systems[J].International Journal of Control,1981,33(3):565-574.

[4]Rao S S,Pan T S,Venkayya V B.Optimal placement of actuators in actively controlled structures using genetic algorithms[J].American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal,1991,29(6):942-943.

[5]Lou Yiming,Christofides P D.Optimal actuator/sensor placement for nonlinear control of the Kuramoto-Sivashinsky equation[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2003,11(5):737-745.

[6]Chen K K,Rowley C W.H2optimal actuator and sensor placement in the linearised complex Ginzburg-Landau system[J].Journal of Fluid Mechanics,2011,18(6):241-260.

[7]Alterman Z,Karal F C.Propagation of elastic waves in layered media by finite-difference methods[J].Bulletin of the Seismological Society of America,1968,58(1):367-398.

[8]Barmish B R.New tools for robustness of linear systems[M].New York:Macmillan Publishing Company,1992.

[9]Carcione J M.The wave equation in generalized coordinates[J].Geophysics,1994,59(3):1911-1919.

[10]Morton K W,Mayers D F.Numerical solution of partial differential equation[M].Cambridge:Cambridge University Press,1994.

[11]Ackermann J,Bartlett A,Kaesbauer D,et al.Robust control: systems with uncertain physical parameters[M].London:Springer,1993.

[12]Anderson B D O,Moore J B.Optimal control:linear quadratic methods[M].New Jersey:Prentice Hall,Englewood Cliffs,1990.

[13]Skogestad S,Postlethwaite I.Multivariable feedback control:analysis and design[M].second edition.Chichester:Wiley,Chichester,2005.

[14]Katsuhiko Ogata.Modern control engineering[M].fifth edition.New Jersey:Prentice Hall,2009.

(编辑：方春玲)

Simulation of optimal control actuators for a control system based onH∞theory

ZHAO Yi-jin

(Unmanned Aircraft Design and Research Institute, BUAA, Beijing 100191, China)

Abstract:This paper proposes a new way to address this issue, in which wave equation discretized by the finite differential method (FDM) was used to describe the input/output propagation mode for control systems. By utilizing a robust controller design to the models, the complicated optimal actuator and sensor placement problem can be transformed to a judgement on specific characteristics. Check the stability and detectability of the closed-loop control system based on the H∞optimal control principles. The simulation results show that the process of optimizing the placement of sensors and actuators for control and monitoring system could also serve as a natural extension to other structures.

Key words:sensor and actuator; finite differential method (FDM); H∞optimal control

中图分类号：V249.1

文献标识码：A

文章编号：1002-0853(2016)02-0028-04

作者简介:赵一瑾(1993-)，女，陕西西安人，硕士，研究方向为飞行力学与控制工程。

收稿日期:2015-11-08;

修订日期:2016-01-19; 网络出版时间:2016-03-15 14:29