分块矩阵在证明Sylvester等式与Sylvester不等式方面的应用

陈小陶

(贵州大学 理学院，贵州　贵阳　550025)



分块矩阵在证明Sylvester等式与Sylvester不等式方面的应用

陈小陶

(贵州大学 理学院，贵州贵阳550025)

分块矩阵在高等代数中是一个重要工具，在研究许多问题中都要应用到。在分块矩阵的基础上，应用分块矩阵的相关性质证明Sylvester等式与Sylvester不等式。同时，利用举例以及不同证法说明分块矩阵在证明Sylvester公式的优越性。

分块矩阵，Sylvester等式，Sylvester不等式，优越性

0　引言

矩阵的分块是矩阵在进行计算中的重要的工具[1]，一个矩阵经过分块后所构成的以块为元素的新矩阵，它在形式上矩阵的阶数会较少，这样通过分析分块后的矩阵有关性质，能够得到原有矩阵的性质。因为分块矩阵自身带有的这个特点，在许多问题中的求解都可利用到它。例如，求解矩阵的行列式、逆矩阵等。本文是建立在分块矩阵的基础上，应用分块矩阵的有关性质，证明Sylvester等式与Sylvester不等式，并通过例子以及证明方法的不同来说明利用分块矩阵求解Sylvester等式与Sylvester不等式步骤简单明了。

1　预备知识

1.1分块矩阵的概念

所谓的矩阵的分块是将整个矩阵进行适当的分块，然后再把分块后的小矩阵当作矩阵里面的元素来处理。设A是一个m×n矩阵，如果用若干条横线把它分成r块，再用若干条纵线把它分成s块。基于此，我们就得到了一个有rs块的分块矩阵，如式(1)：

(1)

其中Ars表示的是一个比A小的矩阵。

1.2分块矩阵的运算规则

分块矩阵的运算与矩阵的运算类似，即，加法、数量乘法和分块矩阵乘法。但还是有不同，矩阵中的元素是数量，而分块矩阵的元素可以是矩阵，也可以是数量。所以我们在分块时应该注意，恰当分块后应使得该矩阵可以进行相关运算。如下即为分块矩阵的运算规则[2]。

(1)分块矩阵的加法

设A，B都是m×n矩阵，且对A，B用同样的方式进行分块：

(2)

其中Aij，Bij都是mi×nj矩阵，即Aij，Bij是同种类型的矩阵，那么：

(3)

应注意，在利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须要采用相同的分块法。

(2)分块矩阵的乘法

设A是m×n矩阵，对A进行分块：

(4)

对矩阵进行数乘运算，乘以k，其中k是任意实数，则有：

(5)

(3)分块矩阵的转置

(6)

在此应注意，转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调。

1.3分块矩阵的性质及其推论

在我们对行列式进行计算中，经常用到下面三条性质[3]。

1)如果行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式；

2)把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变；

3)对换行列式中两行的位置，行列式反号。

利用矩阵的分块性质，把行列式的这三条性质进行推广在分块矩阵中。

性质1 ：设方阵A是由如下分块矩阵构成

(7)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩阵，又M是任一s级方阵 。对于矩阵：

(8)

则|B|=|M||A|。

性质2：设方阵A是由如下分块矩阵构成：

(9)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩阵，又M是任一s阶方阵于矩阵D中，其中D为：

(10)

则|A|=|D|。

性质3： 设方阵A和B写成如下形式

(11)

其中A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3都是s×t矩阵，则

(12)

2　应用分块矩阵证明Sylvester等式

定理1(Sylvester等式)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB的特征多项式fAB(λ)与BA的特征多项式fBA(λ)有如下关系式：

λnfAB(λ)=λmfBA(λ)

(13)

我们在学特征值、特征向量时经常会讨论到矩阵AB与BA之间的关系，通过上面这个等式我们知道AB与BA的特征多项式存在着一定的关系。为了证明这个关系式，下面我们利用构造分块矩阵的方法来证明，从而体会分块矩阵所起的巧妙作用。

证明：要证明(13)式即证：

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|

(14)

一方面，

(15)

另一方面，

(16)

将(15)，(16)两式两边同时取行列式可得：

(17)

证毕。

例设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵。证明：AB与BA有相同的非零特征值。

证明： 由Sylvester等式知

λn|λEm-AB|=λm|λEn-BA|

(18)

设|λEm-AB|的标准分解式为：

|λEm-AB|=λm-s(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)

(19)

其中λ1λ2…λs≠0，即AB有s人特征λ1，λ2，…λs。

由上述两式知：

|λEn-AB|=λm+(n-s)(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λs)

(20)

由此说明，BA也只有这s个特征值λ1，λ2，…，λs。

3　应用分块矩阵证明Sylvester不等式

定理2(Sylvester不等式)设A、B分别是s×n，n×m矩阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)-n，其中n为A的列数。

特别地，若A为n级可逆矩阵，则r(B)=r(AB)；

若AB=0，则r(A)+r(B)≤n.

Sylvester不等式是关于矩阵秩的一个重要不等式，在高等代数求秩的问题中很多都需要应用到它。其证明方法也不唯一，而利用构造分块矩阵的方法来证明该不等式是最简单的方法之一，且思路会变得清晰明了，下面利用两种方法证明，同时说明构造分块矩阵的方法是计算量最少的一种方法。

证明方法一：设Em，En分别为m，n阶单位矩阵。由于

=r(AB)+r(En)=r(AB)+n

(21)

(22)

于是r(AB)=r(A1QB)，而

(23)

故：

r(A1QB)≥r(B)+r-n，即r(AB)≥r(B)+r(A)-n。

证毕。

4　总结

分块矩阵在矩阵的求解、应用等方面，有其自身的优越性，在很多问题中都能由繁杂的矩阵经过适当的分块之后变成阶数更少的分块矩阵。这样有利于我们进行实际操作，也能节省空间，便于证明，减少计算复杂性。

【REFERENCES】

[1]乔占科.矩阵分块方法的应用[J].科技信息，2008，13(2)：190-191.

[2]张敏.分块矩阵的应用[J].吉林师范大学学报(自然科学版)，2003，1(1)：118-120.

ZHANG M.Application of block matrix[J].Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition)，2003， 1(1)：118-120.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2007：181-186.

[4]岳育英，刘兴祥，白春红.Sylvester不等式猜想研究[J].延安大学学报(自然科学版)，2011(2)：15-17.

The application of block matrix in the proof of Sylvester equation and Sylvester inequation

CHEN Xiaotao

(DepartmentofScience，GuizhouUniversity，Guiyang550025，China)

Block matrix is an important tool in advanced algebra，and it is applied to the study of many problems.Based on the block matrix，the related properties of the block matrix were used to prove the Sylvester equation and the Sylvester inequation.Meanwhile，the advantages of the block matrix in the proof of the Sylvester formula were illustrated by examples and different proving methods.

block matrix，Sylvester equation，Sylvester inequation，superiority

O151.21

A

1003-6563(2016)04-0043-04

2016-05-16；

2016-05-18

陈小陶(1991-)，女，硕士在读，研究方向：密码学理论与工程。