由数转形，巧解函数难题

● 柯张军

由数转形，巧解函数难题

● 柯张军

一、利用函数图像，巧解抽象函数不等式

抽象函数不等式是指没有具体函数解析式的不等式，这类不等式一般利用函数性质求解，画出符合函数性质的草图，观察图形可以直观易解。

如在求解这道题：设 f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＞0且g（-3）=0，求不等式 f（x）g（x）＜0的解集时，可以先设F（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+ f（x）g（x）=［f（x）g（x）］=F（x）＞0，所以 F（x）在（-∞，0）上是增函数，因为f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F（x）为 奇 函 数，又 g（-3）=0，所 以F（-3）=f（-3）g（-3）=0，f（x）是奇函数，所以 f（0）=0，故F（0）=0。根据以上特点，不妨构造如图1所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是（-∞，-3）⋃（0，3）。

图1

解题过程中依题意确定函数性质，构造函数F（x），依据性质画出F（x）草图，观察图像求解，实现抽象问题具体化，复杂问题简单化。

二、利用函数图像，比较数的大小

比较大小是高考试题中一个重要题型，利用函数图形交点位置来确定大小关系，可以避免求值过程中的复杂计算，如果根据题意构造几个函数，画出图像确定交点位置，就可以很快得解。

如在判断 0.32，log20.3，20.3三个数的大小顺序时，可将其看成是三个函数y1=x2，y2=log2x，y3=2x在 x=0.3时，所对应的函数值的大小比较。在同一坐标系内作出这三个函数的图像（如图2），从图像可以直观地看出当 x=0.3时，所对应的三个点 P1，P2，P3的位置，从而可得出结论：20.3＞0.32＞log20.3。

图2

解题过程中三个数的值不易计算，观察数式构造函数，使三个数分别为自变量取同一个值的三个不同的函数值，自然想到三个基本初等函数y1=x2，y2=log2x，y3=2x，在同一坐标系中画出三个函数图像作图即可得解。

三、构建解析几何模型，解决函数最值问题

将函数问题转化成解析几何中的斜率、截距、距离等问题，利用其几何意义求解。与解析几何有关的常见函数模型有：①距离型函数②斜率型函数；③截距型函数Ax+ By；④单位圆型函数⑤双曲线型函数

图3

熟悉几种与解析几何有关的常见函数模型，将函数问题转化为解析几何问题求解是解决问题的关键。

四、利用函数图像，求参数的取值范围

方程根的问题，函数零点问题，图像交点问题，这些问题借助函数图像，往往可以避免繁琐计算，获得简捷的解答。

图4

将方程根的个数问题转化为直线与圆交点个数问题，利用几何方法求解直观简单。

（作者单位：黄梅县第一中学）