考虑老化时间影响的隔震支座橡胶本构Moony-Rivlin模型常数研究

李艳敏， 马玉宏, 罗佳润, 赵桂峰

(1.广州大学 工程抗震研究中心，广州　510405；2. 上海筑房工程科技有限公司，上海　200062；3.广州大学 土木工程学院，广州　510006)



考虑老化时间影响的隔震支座橡胶本构Moony-Rivlin模型常数研究

李艳敏1， 马玉宏1, 罗佳润2, 赵桂峰3

(1.广州大学 工程抗震研究中心，广州510405；2. 上海筑房工程科技有限公司，上海200062；3.广州大学 土木工程学院，广州510006)

目前Moony-Rivlin模型被广泛应用于橡胶隔震支座的有限元分析中，其中，材料常数的标定是关键环节。为充分了解老化作用对橡胶材料常数的影响，采用最小二乘拟合法计算老化试验后的Moony-Rivlin模型材料常数，拟合出材料常数随老化时间的变化关系式，提出了修正Moony-Rivlin模型，并将拟合值和计算值进行对比。最后，根据上述方法确定的材料常数用Abaqus软件对隔震橡胶支座老化前后的性能进行了模拟分析，并将有限元分析结果与试验结果进行对比。结果表明：随着老化时间的增加，Moony-Rivlin模型常数逐渐增大；老化前、后橡胶隔震支座的竖向刚度、水平刚度试验测试与有限元模拟值的误差均在可接受的范围内，验证了所建立修正本构模型的准确性，可为橡胶隔震支座老化性能的研究和桥梁等结构全寿命性能设计提供理论支撑。

Moony-Rivlin模型常数；橡胶；老化；有限元分析

早在19世纪，橡胶材料因其良好的黏弹性，被广泛用作飞机、火车、汽车、船舶和建筑物的减震部件。但是，因为橡胶材料的复杂分子特性、材料和几何的双重非线性以及温度、荷载时间、应变量等多种因素的复杂影响，所以橡胶材料力学性能的计算就显得十分困难[1-3]。有限元分析方法的广泛推广为橡胶制品的工程模拟提供了广阔的发展前景。而有限元模拟分析结果的准确性与所采用橡胶本构关系模型以及模型中材料常数的准确性有着密切联系。随着跨海桥梁的不断发展，橡胶隔震支座在复杂海洋环境中的老化现象较为严重，但橡胶隔震支座有限元分析中普遍采用的橡胶本构模型Moony-Rivlin常数是否会发生变化，以及变化规律如何是目前急需解决的科学问题。

老化对橡胶材料性能的影响一直受到国内外学者的关注，并建立了许多不同的理论本构模型：RIVLIN[2]认为橡胶各向同性，且拉压性质相同，将应变能密度函数改成了级数的形式，为Moony-Rivlin模型的发展提供了理论条件；NAMJOO等[4]在用数值模拟轮胎、土壤的相互作用时采用了三维有限元模型，其中采用Moony-Rivlin模型分析了不可压缩橡胶轮胎的性能；余超等[5]在研究热空气和海水对橡胶的老化行为时，拟合出了两种环境下力学性能指标与老化时间的关系；左亮等[6]采用理论估算确定Moony-Rivlin模型材料常数；黄建龙等[7]采用Ansys有限元分析软件对橡胶材料的Moony-Rivlin模型和Yeoh模型进行分析对比研究；左亮等[8]在橡胶小变形范围内，采用理论推导的方法，得到在相同硬度下橡胶Moony-Rivlin 模型材料系数的关系式；仲健林等[9]通过开展橡胶材料单轴拉伸试验，并结合Exp-ln超弹性体本构模型和广义黏弹性方法，提出了一种描述橡胶材料不同应变率下力学响应的超弹性本构模型。以上研究大多侧重理论推导，缺少较好的试验依据，难以充分考虑老化作用给橡胶材料性能产生的影响，更不能很好地解决老化作用引起的橡胶材料性能随时间变化的问题。

为解决上述问题，本文以Moony-Rivlin模型为例，根据老化试验数据，采用最小二乘拟合法对橡胶在老化试验过程中获得的材料常数进行了分析，得出了橡胶材料常数随老化时间的时变规律。最后，通过有限元模拟与试验结果的对比分析，验证本文研究成果的准确性，为今后深入研究复杂海洋环境中的橡胶隔震支座性能变化规律提供理论基础，为近海隔震结构的设计提供参考。

1　Moony-Rivlin模型的本构关系

目前，国内外学者主要采用统计理论和唯象理论这两种方法来研究橡胶材料本构关系中的应变能密度函数[1，10-12]。本文主要采用唯象理论。

唯象理论在处理橡胶材料时认为橡胶材料的变形都是各向同性的超弹性材料的均匀变形。随着橡胶材料本构关系研究的不断发展，建立了很多不同的本构模型，这些模型都属于应变能函数的某种特殊形式。橡胶材料应变能函数有两种表达方式，即用变形张量的三个不变量I1、I2和I3来表示的应变能函数W(I1,I2,I3)；用主伸长比λ1、λ2和λ3的关系式来表示的W(λ1,λ2,λ3)。三个变形张量不变量与三个主伸长比的关系式如下：

I1=λ12+λ22+λ32

(1)

I2=λ12λ22+λ22λ32+λ12λ32

(2)

I3=λ12λ22λ32

(3)

λi=1+εi

(4)

式中：Ii为变形张量不变量；λi为定义的伸长比；εi为主轴方向的应变，i=1，2,3

橡胶材料这种超弹性材料的应变能函数转化为多项式形式后，可由应变偏量能和体积应变两部分之和构成，表示如下：

(5)

式中：N为多项式阶数；J为弹性体积比；Di为定义材料的压缩性，Di的值决定材料是否可压缩，如果所有N=1都为0，则材料是完全不可压缩。

对于多项式，无论N取何值，橡胶的初始剪切模量μ0、初始体积模量k0都取决于多形式一阶(N=1)系数，即μ0=2(C10+C01)，k0=2/D1。

对于完全多项式，如果N=1则只有线性部分的应变能保留下来，即Moony-Rivlin模型：

(6)

式中：W为应变势能；I1、I2为变形张量；C10、C01、Di为材料常数；J为弹性体积比(代表模型的体积应变)。

2　橡胶材料老化试验

在对天然橡胶隔震支座开展老化试验的同时，设计了与支座相同材料的橡胶片，将支座与橡胶片放置在同样的试验环境下开展老化试验，研究橡胶材料物理力学性能在老化作用下随时间的变化规律。得到了大量的老化试验数据，为本文的研究工作奠定了良好的基础。

2.1试验概况

在对橡胶支座进行老化试验时，在同一个老化试验箱里同时晾挂了橡胶片，且在试验期间对橡胶片每隔2天取样一次，以查看橡胶材料性能随老化时间的变化情况。而进行老化试验之前，先对橡胶片取样并对12组橡胶隔震支座做了相应的基本性能测试试验，然后，将其放置于80℃恒温老化箱中进行20天(480 h)热老化试验，测试橡胶材料硬度、定伸应力、拉伸强度及扯断伸长率在老化作用下随时间的变化规律。橡胶隔震支座及橡胶片晾挂情况见图1[13]。

图1　橡胶隔震支座及橡胶块体放置图Fig.1 The place of rubber isolated bearing and rubber piece

2.2试验结果

针对单独老化480 h的定伸应力和硬度的测试数据，采用最小二乘拟合法计算相应的橡胶本构模型常数值。依照中位数的原则来选取数据，具体数据如图2～图5所示。

图2　老化时间对橡胶50%、100%定伸应力的影响Fig.2 The influence of aging time on stretch stress at 50%、100% strain

3　用最小二乘法确定橡胶材料系数

3.1应力-应变关系推导

材料的主要特性通常由应力-应变关系来表征，而橡胶材料的应力应变关系可以通过应变能密度函数对其主伸长比求偏导来表示，此应力称为Piola-Kirchhoff应力，应变称为Cauchy-Green应变，其应力-应变形式如下[14]：

(7)

由式(1)～(6)得主轴力ti和主伸长比λi之间的关系：

(8)

式中：t1、t2、t3为三个主应力。

对于单轴拉伸试验，有t2=t3=0，得到

λ22=λ32=1/λ1

(9)

对于不可压缩材料则有：

I3=λ12λ22λ32=1

(10)

由式(9)、(10)得到不可压缩橡胶材料的主应力和主伸长比与不变量的关系式如下：

(11)

式中：C10=∂W/∂I1、C01=∂W/∂I2。

3.2材料常数的确定

为了确定材料常数C10和C01，假定橡胶是完全不可压缩材料。根据试验所得到的定伸应力和应变数据应用最小二乘拟合法求出参数C10和C01。首先，令：

A1=2(λ12-1/λ1)，B1=t1/A1，E1=1/λ1

则函数式(11)可改写成:

B1=C10+E1C01

(12)

根据试验数据λi和ti求出相应的A1、B1和E1，并得到老化前后的应力-应变关系，见图6、图7。

根据最优平方逼近式的正规方程组[14]：

(13)

式中:(，)是内积，基函数(x)=xj，cj是系数(下同)。所逼近的近似多项式为：

(14)

式中:基函数φj(x)=xj。

用矩阵的形式表示为：

式中:(φi,φj)为内积，(i=0，1，2…n;j=0，1，2…n)。

由上述应力-应变数据，分别计算出老化前与老化后的相关数据。然后，由矩阵方程组：

(16)

计算出老化0～480 h工况下的橡胶材料常数C10和C01，并根据计算结果拟合出橡胶材料常数随老化时间的变化情况，详见图6、图7。

图6　老化时间对橡胶材料常数C10的影响Fig.6 The influence of aging time on rubber material constant C10

图7　老化时间对橡胶常数的影响Fig.7 The influence of aging time on rubber material constant absolute value

式(6)中的D1值可以根据橡胶的初始体积模量k0=2/D1来确定，k0为橡胶材料的初始体积模量。而橡胶支座的的体积模量通常根据表2来确定。

表中，E0为橡胶弹性模量，近似等于3G；G为橡胶剪切模量；E∞为橡胶体积弹性模量；k为与橡胶硬度有关的弹性模量修正系数。

由图4可知橡胶硬度的初始值为43，老化480 h(小时)后的硬度值为47，根据表1中的数据采用插值方法计算出相应的体积模量，并计算出相应的D1值和1/D1值，计算结果如表3所示。

表1　材料常数拟合值和计算值的误差对比

表2　支座橡胶材料性能参数[15]

表3　老化工况下计算的压缩性常数

由表2的数据来看，老化前、后橡胶材料的压缩性常数变化不大，后续研究中忽略压缩性常数D1的变化，仅考虑材料常数C10和C01的变化。

因此，随着老化时间t的变化，应变能密度函数公式近似拟合为：

W=0.375 1e0.000 5t(I1-3)+

(17)

式中：C10=0.375 1e0.000 5t,C01=-0.202 2e0.000 5t,t为试验时间(h)。

实际使用时间treal与试验时间t可以根据下列公式进行转换：

(18)[13]

式中,Ea反应活化能(kJ/mol·K)，取95 kJ/mol;R为气体常数(取8.3[J/mol·K])，其与气体类型无关，仅与量纲有关；Treal为实际环境中的绝对温度(K)，取293 K；Ttest为热氧老化试验的绝对温度(K)，取353 K；Treal为实际老化时间；t为试验时间。

由式(17)可见，考虑老化影响后橡胶Moony-Rivlin模型常数会随着老化时间的变化而发生变化，本构模型能够体现老化时间的变化规律，可为橡胶隔震支座老化性能的研究提供理论支撑。

4　有限元分析与试验结果对比分析[13]

4.1老化前有限元分析与试验结果对比

以橡胶支座试验结果作为与有限元分析对比的参考标准，有限元分析中参数采用上述拟合公式算出的Moony-Rivlin参数。

由于对橡胶隔震支座竖向刚度试验时未记录力-位移曲线，本文只展示有限元模拟的力-位移曲线。竖向力取隔震支座下封板表面193个节点的竖向反力之和，位移取隔震支座上封板表面193个节点竖向位移的平均值，模型图见图8。老化前后的竖向刚度见图9，水平刚度则取5#支座的实测曲线与有限元分析结果进行对比，见图10。

图8　橡胶隔震支座有限元模型图Fig.8 The finite element model of isolation rubber bearing

取12个橡胶隔震支座性能试验值的平均值与有限元模拟值进行对比。支座竖向刚度的试验结果为188.66 kN/mm，有限元模拟结果为184.56 kN/mm，误差为2.17%；水平刚度的试验结果为0.189 kN/mm(未考虑温度修正)，0.193 kN/mm (考虑温度修正)，有限元模拟结果为0.181 7 kN/mm，误差分别为3.86%、5.85%，可见，模拟精度比较高。因此，下文研究中按照同样方法确定Moony-Rivlin本构模型参数。

4.2老化后试验结果与有限元模拟对比

与前述方法类似，老化后的竖向刚度有限元分析结果见图9，老化后水平刚度测试值与有限元对比见图11。

老化后隔震支座竖向刚度的试验数据：233.79 kN/mm，有限元模拟老化后的竖向刚度为210.16 kN/mm，误差为10.11%，这个误差基本认为在接受的范围内；老化后水平刚度试验数据为0.215 4 kN/mm(未考虑温度修正)，0.211 4 kN/mm(考虑温度修正)，有限元模拟数据为0.234 9 kN/mm，误差分别为9.09%、11.12%。同时，可以看出：有限元模拟老化后的竖直刚度比老化前的刚度增大了13.87%；而有限元模拟老化后的水平刚度比老化前刚度增大了29.28%。

4.3误差分析

(1) 本文中采用的Moony-Rivlin本构模型参数是根据试验数据计算并拟合之后的结果，试验数据本身存在一定的误差。

(2) 用有限元模拟时，采用的是理想模型，没有考虑实际生产过程及试验工装方面的影响，也会造成一定的误差。

(3) 有限元模拟老化后的橡胶支座性能分析时，没有充分考虑橡胶厚度对材料参数的影响，认为其老化程度相同，这也是产生误差的一个原因。

5　结　论

本文分析了老化作用对橡胶材料常数C10和C01的影响，根据老化试验数据，采用最小二乘拟合法计算材料常数C10、C01和|C01|，并拟合出老化时间与材料常数C10和材料常数|C01|的关系，且计算了拟合值与计算值的误差范围；进而得到了考虑了老化作用影响的橡胶材料修正Moony-Rivlin本构模型。最后利用修正橡胶本构模型，采用有限元软件Abaqus对橡胶隔震支座进行了模拟分析，并与试验结果进行对比。主要结论如下：

(1) 老化等因素会对橡胶Moony-Rivlin模型常数产生影响；

(2) 随着老化时间的增加，橡胶Moony-Rivlin模型常数随着老化时间的增加而增大；

(3) 利用修正的Moony-Rivlin橡胶本构模型进行有限元模拟与试验数据吻合良好，证明所建立的本构模型合理准确；

(4) 所建立的修正Moony-Rivlin橡胶本构模型可以充分考虑老化时间的影响，可为橡胶隔震支座老化性能的研究和桥梁等结构全寿命性能设计提供理论支撑。

本文已经对橡胶隔震支座橡胶本构模型Moony-Rivlin模型常数随老化时间的变化规律开展了研究，并根据试验数据拟合出了材料常数随老化时间的变化关系式，得出了一些规律。但是，随着隔震支座在跨海桥梁等近海工程中的推广，由于复杂的海洋环境，仍有一些问题需要更深入的研究：

(1)考虑海蚀环境对隔震支座橡胶本构模型Moony-Rivlin模型常数的影响，结合试验结果，计算并总结出模型常数随海蚀的变化规律；

(2)综合考虑老化时间和老化厚度两方面的因素，得出更为接近实际老化工况的变化规律；

(3)考虑老化和海蚀的综合作用，来拟合材料常数随环境的变化关系式。

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The effect of aging on the material constant of the rubber isolator’s constitutive model Moony-Rivlin

LI Yanmin1, MA Yuhong1, LUO Jiarun2, ZHAO Guifeng3

(1. Engineering Seismic Research Centre of Guangzhou University, Guangzhou 510405, China;2. Shanghai Construction Engineering Technology Co., Ltd., Shanghai 200062, China;3. School of Civil Engineering of Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The Moony-Rivlin model is widely applied in finite element analysis of rubber isolators, in which a key point is to determine material parameters of the model. In order to study the effect of aging on material constant of rubber intensively, the material constants of Moony-Rivlin model were obtained through investigating aging test result of rubber by the Least-square method. The relationship between the material constants and the aging time was derived and a modified model was achieved. The fitting values were compared with the calculating ones. Finally, the performance of the rubber isolators was simulated and studied by using the Abaqus software and the material constants were determined from the above method. The results of finite element analysis were compared with the test results. The results show that: Moony-Rivlin model constant increases gradually with aging time; the errors between the test values and the finite element simulation values for the vertical stiffness and the horizontal stiffness are acceptable, whether before aging or aged, which proves the accuracy of the modified constitutive model. This work provides theoretical support for the performance study of rubber isolated bearings under the aging environment and the life-cycle performance design about bridges and other structures.

Moony-Rivlin model constant; rubber; aging; finite element analysis

国家重点基础研究发展计划973项目(2011CB013606);国家自然科学基金项目(51578170);国家自然科学基金高铁联合基金重点项目(U1334209);长江学者和创新团队发展计划项目(IRT13057);广州市属高校科技计划项目(1201421152)

2015-12-07修改稿收到日期：2016-03-03

李艳敏 女，硕士生，1992年生

马玉宏 女，博士，研究员，1972年生E-mall：849502749@qq.com

P315.966

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.16.026