梁振动方程一类稳定的紧致差分格式

李　鑫

(安徽科技学院　信息与网络工程学院，安徽　凤阳　233100)



梁振动方程一类稳定的紧致差分格式

李鑫

(安徽科技学院信息与网络工程学院，安徽凤阳233100)

针对四阶梁振动方程运用有限差分方法，构造一类无条件稳定的紧致差分格式。利用Fourier级数法验证差分格式的收敛性，并运用Lax等价性定理证明了格式的稳定性，最后通过两组数值实验证明格式的有效性和实用性，并最终将格式的收敛阶精度由之前的o(τ+h2)提高至o(τ+h4)便于科学和工程计算中的更好应用。

梁振动方程；紧致差分格式；收敛性；稳定性

梁振动方程作为高阶偏微分方程中的一类[1]，在大型工程项目和桥梁建设方面具有广泛的应用。对于此类方程数值解的研究，[2-6]中运用广义差分法进行计算，但格式的精度不高；[7-11]中运用多辛算法进行求解，精度可达二阶；周良强等在[12]中构建了高精度差分格式但含有多个参数。本文利用紧算子，对此类方程构建无参数隐式的紧致差分格式，将格式精度提高至，且证明该格式的无条件稳定性，从而使梁振动方程在工程计算方面得到更好的应用。

对于梁振动方程

utt+k2uxxxx=0

本文考虑方程的初边值问题，给出初值条件

和边值条件

其中长度l为的梁自由振动，两点简支，以u(x,t)表示位移。

令

v=ut,w=kuxx.

则上述初边值问题可化为如下问题：

vt=-kwxx,00wt=-kvxx,00

(1)

v(x,0)=u1(x),w(x,0)=k(u0(x))xx,0

(2)

v(0,t)=v(l,t)=w(0,t)=w(l,t)=0,t>0.

1　相关符号的定义和差分格式的建立

对平面区域[0,l]×[0,T]作网格剖分，取空间步长为h=l/J,时间步长为τ.xj=jh,tn=nτ,j=0,1,…,J,n=1,2,…,N,N=[T/τ],J,N均为正整数。为后面表示方便，引入如下记号：

针对上述初边值问题(1)-(3)，构造如下差分格式：

(4)

(5)

(6)

2　差分格式的截断误差

定理1 差分格式的局部截断误差阶为O(τ+h4)

对于定理1的证明，我们考虑(4)中的第一个式子，第二个式子同理可证。上述式子可写为如下等价形式：

由Taylor展开知：

所以有：

时间方向的截断误差阶为O(τ).

同理，由Taylor展开知：

所以有：

空间方向的截断误差阶为O(h4)

综上：由Taylor展开，差分格式的局部截断误差阶为O(τ+h4)

3　差分格式的稳定性和收敛性

对于上述差分格式，我们采用Fourier级数法和Lax等价性定理来证明其稳定性和收敛性。差分格式(4)-(6)可等价写为：

因为G*G=GG*所以上述增广矩阵为正规阵。

由Von Neumann条件知：上述差分格式(4)-(6)稳定。从而有：

定理2 差分格式(4)-(6)无条件稳定。

再由Lax等价性定理[13]易知：

定理3差分格式(4)-(6)无条件收敛到问题的精确解，且收敛阶为O(τ+h4)

4　数值实验

本节我们选取两个数值算例来验证上述理论的正确性。

算例一

考虑如下的初边值问题：

根据差分格式(4)-(6)，代入得：

运用上述矩阵形式进行求解，首先验证格式的时间方向和空间方向的收敛阶。在时间方向上，我们选取h=0.05,τ=5.0e-005,2.5e-005,1.25e-005,T=0.2,计算无穷模误差‖en‖∞结果如表1；空间方向我们选取h=0.2,0.1,0.05，τ=h4,T=0.2,计算‖en‖∞结果如下表2。从表1、2的结果很明显地看出，差分格式(4)-(6)的收敛阶为O(τ+h4),与理论证明结果一致。

表1　差分格式(4)-(6)时间方向的收敛阶

表2　差分格式(4)-(6)空间方向的收敛阶

然后，我们分别作出了T=0.2时方程精确解和数值解图像。从图1对比可以明显看出，差分格式(4)-(6)的效果非常好，从而证明了格式的有效性。最后我们取h=0.1,τ=h4,以0.005为节点，给出了t=0-0.2时间段内每一层的误差图(图2左)，从误差数量级看，精度很高，说明该差分格式具有很好的实用价值。

图1　方程精确解图像(左)和数值解图像(右)

图2　每层误差图(左:算例一；右:算例二)

算例二

考虑如下的初边值问题：

同上例，代入差分格式(4)-(6)可得：

我们同样首先验证格式的收敛阶。表3和表4分别给出了差分格式时间和空间方向的收敛阶，结果验证差分格式(4)-(6)的收敛阶为O(τ+h4)与理论结果吻合。图3中给出了t=0.05,0.10,0.15,0.20四个不同时刻下对应的精确解和数值解的图像，图像表明数值解的模拟效果很好。从每一层的误差图来看(图2右)，格式的效果也非常好，实用性非常高。

表3　差分格式(4)-(6)时间方向的收敛阶

表4　差分格式(4)-(6)空间方向的收敛阶

图3　不同时刻精确解与数值解图像

5　总结

本文对于四阶梁振动方程构造稳定的紧致差分格式进行研究。从理论上证明了差分格式的稳定性和收敛性，通过两组数值实验，很好地验证了理论的推导，并通过数值实验的结果，说明了差分格式将计算精度由之前的O(τ+h2)提升至O(τ+h4)，使之在该类方程的数值计算上又更好的应用价值。后期可考虑将这一思路推广至非线性弹性杆振动方程的研究，以便更好地解决此类方程的数值计算问题。

[1]CP. Gupta. Existence and uniqueness theorems for the bending of an elastic beam equation [J]. Application Analysis,1988,26(4):289-304.

[2]KS. Thankane, T. Stys. Finite difference method for beam equation with free ends using mathematic [J]. Southern Africa Journal of Pure and Applied Mathematics,2009(4)：61-78.

[3]倪平，高仪新．解梁的振动方程的广义方法(Ⅰ)[J]．东北师大学报:自然科学版，1995(4)：14-19．

[4]张大克，王玉杰．梁振动方程的一种新解法[J]．工科数学，1999，15(2)：52-56．

[5]曾文平．解四阶杆振动方程新的两类隐式差分格式[J]．华侨大学学报:自然科学版，2003，24(2)：136-142．

[6]许士菊，王长华．梁振动方程的一个稳定的有限差分近似[J]．吉林化工学院学报，2007，24(1)：79-81．

[7]曾文平，郑小红．梁振动方程的多辛算法[J]．漳州师范学院学报:自然科学版，2003，16(4)：1-5, 8．

[8]郑小红，曾文平．杆振动方程二级二阶显式新格式及其稳定性[J]．河南师范大学学报:自然科学版，2003，31(4)：17-20．

[9]单双荣．解梁振动方程的多辛Fourier拟谱算法[J]．华侨大学学报:自然科学版，2006，27(3)：234-237．

[10]黄浪扬，郑小红．梁振动方程的多辛Preissman格式[J]．华侨大学学报:自然科学版，2004，25(4)：360-365．

[11]洪丽莉．梁振动方程的多辛Runge-Kutta Nystrom算法[J]．辽宁科技大学学报，2013，36(2)：136-140．

[12]周良强，陈予恕，陈芳启．梁振动方程的多参数高精度格式[J]．安庆师范学院学报:自然科学版，2010，16(2)：62-65．

[13]戴嘉尊，邱建贤．微分方程数值解法[M]．南京：东南大学出版社，2002．

(责任编辑：马世堂)

A Stable Compact Finite Difference Scheme for the Beam Equation

LI Xin

(College of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Fengyang 233100, China)

In this paper, an unconditional stable compact finite difference scheme is proposed for the beam equation with fourth-order by using the finite difference method.The stability and convergence of the difference scheme are demonstrated by Fourier method and Lax equivalence theorem. Two numerical experiments have been carried out to confirm the effectiveness and the practicability of the scheme and the convergence order is improved at last. The result will promote the better application in science and engineering calculation.

Beam equation; Compact finite difference scheme; Convergence; Stability

2016-02-16

安徽科技学院自然科学一般项目(ZRC2016487)。

李鑫(1989-)，男，安徽省凤阳县人，硕士，助教，主要从事微分方程数值解研究。

O242.2

A

1673-8772(2016)04-0050-07