多变量CARMAX模型的在线修正参数预测滤波PID控制

侯小秋

(黑龙江科技大学 电气与控制工程学院， 哈尔滨 150022)



多变量CARMAX模型的在线修正参数预测滤波PID控制

侯小秋

(黑龙江科技大学 电气与控制工程学院， 哈尔滨 150022)

针对多变量CARMAX模型，采用系统的输出预测值代替系统的当前输出值，提出具有预测控制性能的增量型预测滤波解耦PID控制算法。采用可克服病态的多变量系统的遗忘因子递推最小二乘算法对被控对象进行参数估计，利用自校正预报显式算法对系统输出进行预测，根据可克服算法病态的直接极小化指标函数自适应控制算法和Robbins-Monro算法，给出了具有在线修正PID控制参数和加快PID控制参数收敛性能的多变量CARMAX模型的自适应预测滤波解耦PID控制算法。仿真结果表明：改进的PID控制算法具有预测控制性能和在线修正参数性能，系统具有较好的控制品质。

自适应控制； 预测控制； PID控制； 参数估计； 自校正预报； 多变量系统

0　引　言

PID控制算法具有结构简单、鲁棒性好、可靠性高等优点，结合现代先进控制理论，如自适应控制、智能控制、模糊控制等，至今学者们已提出了一些具有预测控制性能的在线修正参数和整定参数的PID控制算法，这些算法结合了PID控制和先进控制的优异性能。文献[1]研究了单变量CARMAX模型的直接极小化指标函数的自适应PID控制，但所提出的算法无预测控制性能和无滤波性能，并且不具有加快PID控制参数的收敛速度的性能。文献[2]研究了具有预测控制性能和滤波性能，并且具有加快PID控制参数收敛速度的单变量CARMAX模型的直接极小化指标函数的自适应PID控制，文中研究多变量CARMAX模型的直接极小化指标函数的自适应预测滤波解耦PID控制。

1　参数估计与预测算法

1.1多变量CARMAX模型

设系统由多变量CARMAX模型描述

A(q-1)y(t)=q-dB(q-1)u(t)+C(q-1)e(t)，

(1)

式中：y(t)——m维输出；

u(t)——m维输入；

e(t)——零均值 ，方差为σ2的白噪声m维向量序列；

t——离散时刻；

q——后移算子；

d——系统的时滞；

A(q-1),B(q-1),C(q-1)——矩阵多项式。

而

A(q-1)=I+A1q-1+…+Anaq-na,

B(q-1)=B0+B1q-1+…+Bnbq-nb,

C(q-1)=I+C1q-1+…+Cncq-nc。

式中：Ai、Bi、Ci——系数矩阵；

na、nb、nc——阶数。

1.2改进的可克服病态的递推最小二乘算法

将文献[3]的可克服病态的递推最小二乘算法推广到多变量系统，应用于文中进行参数估计，并对其进行改进，将待估参数准则函数中的待估参数增量约束项的等权的加权因子改进为不等权的时变的对角矩阵。

将式(1)写为如下分量形式

yi(t+1)=fi[Y(t)，U(t-d+1)，E(t)，θi]+

ei(t+1),(i=1,2,…,m)

(2)

式中：yi(t+1)——y(t+1) 的分量；

ei(t+1)——e(t+1)的分量；

Y(t)——系统的输出的集合；

U(t-d+1)——系统的输入的集合；

E(t)——噪声的集合；

θi——fi(…)中的未知参数;

fi(…)——线性函数。

参数估计的准则函数

(3)

式中：N——离散时刻；

μ——遗忘因子；

λi(N)——权重对角矩阵；

Ji,N(θi)——参数估计的准则函数。

(4)

[3]的推导可得如下遗忘因子递推最小二乘算法

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Pi(N)——参数估计误差协方差阵；

φi(N)——fi(…)关于θi的梯度；

1.3自校正预报显示算法

B(q-1)u(t+j-d),

(9)

(10)

Fj(q-1)——矩阵多项式。

C (q-1)=A (q-1)Fj(q-1)+q-jGj(q-1),

式中，Gj(q-1)——矩阵多项式。

Fj(q-1)=1+Fj,1q-1+…+Fj,(j-1)q-(j-1),

Gj(q-1)=Gj,0+Gj,1q-1+…+Gj,ngiq-ngi,

式中：ngj——阶数。

2　改进直接极小化指标函数的自适应控制算法

2.1直接极小化指标函数的自适应控制

文献[5]的算法应用于文中，设控制器的形式为

u(t)=η{η,φ(t),φr(t)},

(11)

式中 ：η——控制器可调参数向量；

φ(t)——系统输出和输入构成的集合；

φr(t)——系统输入参考信号{r(t)}所形成的序列向量

η(…)——m维向量控制函数。

系统的输入和输出自然是随η的改变而改变，以y(t，η)和 表示系统式(1)受式(11)控制时的输出和输入，要u(t,y)求选择向量η使如下指标函数达到极小化，

V*(η)=Eg*{y(t,η),u(t,η),r(t)},

(12)

式中：V*(η)——指标函数；

E(…)——求均值；

g*(…)——函数；

r(t)——m维输入参考信号。

(13)Q(t)=Q(t-1)+ρ(t)·

Q(t-1)]。

(14)

ρ(t)——收敛因子；

Q(t)——Hessian矩阵。

2.2改进的可克服病态的自适应控制算法

式(14)的Q(t)矩阵有时出现病态，导致式(13)(14)的算法出现病态，为了使算法能克服病态，参考文献[3]的机理，对式(12)的指标函数进行改进，在其中加入控制器可调参数向量的增量约束项，提出一可克服病态的直接极小化指标函数的自适应控制算法，其指标函数为

(15)

式中：V(η)——指标函数；

g(…)——函数；

η(t)——t时刻的η。

g*{y(t,η),u(t,η),r(t)}+

(16)

式中：λ(t)——控制器可调参数向量增量约束项的权重对角矩阵。

λ(t)=diag{λ1(t),λ2(t),…,λn(t)},

(17)

式中：n——η的维数。

由式(16)得

(18)

(19)

(20)

Q(t)=Q(t-1)+ρ(t)·

λ2(t)-Q(t-1)]。

(21)

3　预测滤波解耦PID控制及闭环方程

3.1多变量增量型预测滤波解耦PID控制

不失一般性研究m=2的情形，传统的多变量增量型滤波解耦PID控制为

H(q-1)Δu1(t)=S1(q-1)[r1(t)-y1(t)],

(22)

式中： r1(t)——r(t)的分量；

H(q-1),Δ,S1(q-1)——多项式。

H(q-1)Δu2(t)=S2(q-1)[r2(t)-y2(t)]，

(23)

式中：r2(t)——r(t)的分量；

S2(q-1)——多项式。

H(q-1)=1+h1q-1,

Δ=1-q-1,

S1(q-1)=s1,0+s1,1q-1+s1,2q-2,

S2(q-1)=s2,0+s2,1q-1+s2,2q-2,

式中 ：h1,s1,0,s1,1,s1,2,s2,0,s2,1,s2,2为可调参数，则η为

ηT=[h1,s1,0,s1,1,s1,2,s2,0,s2,1,s2,2]。

H(q-1)Δu1(t)=S1(q-1)[r1(t+d-1)-

(24)

H(q-1)Δu2(t)=S2(q-1)[γ2(t+d-1)-

(25)

3.2系统的闭环方程

不失一般性研究m=2的情形，将式(1)写成分量形式

A11(q-1)y1(t)+A12(q-1)y2(t-1)=

q-dB11(q-1)u1(t)+

q-dB12(q-1)u2(t)+ω1(t),

(26)

A21(q-1)y1(t-1)+A22(q-1)y2(t)=

q-dB21(q-1)u1(t)+

q-dB22(q-1)u2(t)+ω2(t),

(27)

式中：ω1(t),ω2(t)——随机干扰。

Aij(q-1)由A(q-1)确定，Bij(q-1)由B(q1-)确定，ωi(t)由C(q-1)e(t)确定。

将式(24)(25)代入式(26)(27)得系统的闭环方程为

ΔHA11y1(t)+ΔHA12y2(t-1)=B11S1[r1(t-1)-

(28)

ΔHA21y1(t-1)+ΔHA22y2(t)=B21S1[r1(t-1)-

(29)

式中，H,A11等为H(q-1)和 A11(q-1)等的简写。

4　η的梯度与二阶导数矩阵

4.1梯度表达式

推导可得

u1(t)+q-d-1[A'12ΔB22q-1-

A'22ΔB12]u2(t)，

(30)

u1(t)+q-d-1[A'21ΔB12q-1-

A'11ΔB22]u2(t)

(31)

式中：T(q-1),A'11,A'12,A'21,A'22——多项式。

A'11=ΔHA11+q-1B11S1,

A'12=ΔHA12+q-1B12S2,

A'21=ΔHA21+q-1B21S1,

A'22=ΔHA22+q-1B22S2,

T(q-1)=A'11A'22-q-1A'12A'21),

(32)

(33)

同理，可得∂y1(t)/∂s2,i和∂y2(t)/∂s2,i。

综上，可得∂y(t)/∂η。

由式(1)两边对ηi(i=1，2，…，7)求偏导得

(34)

由式(10)两边对ηi(i=1,2,…,7)求偏导得

(35)

4.2二阶导数矩阵表达式

推导可得

q-d-2(A12Δ2B21q-1-A22Δ2B11)u1(t)+

q-d-2(A12Δ2B22q-1-A22Δ2B12)u2(t)。

(36)

由式(34)两边对ηp求偏导可得

(37)

由式(35)两边对ηp求偏导可得

(38)

5　在线修正参数的预测滤波PID控制

为加快PID参数收敛的速度，选取

(39)

由式(10)参考文献[7，8]的机理，式(39)的指标函数等价于如下指标函数

(40)

式中：pi、λi——加权因子。

将式(40)代入式(20)、(21)可得如下自适应预测滤波PID控制

[ui(t)-ui(t-1)]},

(41)

[ui(t)-ui(t-1)]+λ2(t)-Q(t-1)},

(42)

(43)

6　仿真结果与分析

被控对象为

a1,11=-0.2+0.08t/400,

a1,12=-0.14-0.08t/400,

a1,21=-0.1-0.05t/400,

a1,22=-0.13-0.05t/400,

c1,11=0.6+0.1cos(2πt/200),

c1,22=0.5+0.1sin(2πt/200)。

随机干扰ei(t)～N(0,1/10),i=(1,2)。

系统的参考输入

输入的饱和限幅为：

U1max=0.6,

U2max=0.4。

PID控制的初始参数为：

直接极小化算法中的Q(0)=10I,

λ1=λ2=p1=p2=1,

收敛因子

参数估计的遗忘因子

μ=0.98,P(0)=106I,

待估参数的初始参数为

采用MATLAB7.0语言编程仿真，图1为系统响应曲线，图2为PID控制参数的修正曲线，限于篇幅只给出h1,s1,0,s2,0的修正曲线。由图1a、b可知，采用无修正的初始参数控制的响应曲线超调大，调节时间长，并且产生振荡。由图1c、d可知，在0≤t<100 时，因PID控制参数还没有收敛到有效值，故响应的超调大，调节时间长，在100≤t≤400 时，因PID控制参数已修正到有效值，故响应的超调小，调节时间短。由图2可知，参数在动态时进行修正，在稳态时停止修正，符合算法的物理性。

a　无修正的y1(t)

b　无修正的y2(t)

d　有修正的y2(t)

a　参数h1的修正曲线

b　参数s1,0的修正曲线

c　参数s2,0的修正曲线

7　结　论

(1)提出可克服病态的多变量系统的遗忘因子

递推最小二乘算法。

(2)给出多变量系统的增量型预测滤波解耦PID控制。

(3)算法的指标函数中含有系统的输出预测值，使算法具有加快PID控制参数收敛到有效值速度的性能。

(4)具有柔化控制量变化减少对系统执行机构冲击的性能。

(5)进一步需研究算法的稳定性和算法的收敛性，将算法推广到非线性系统(双线性系统、Hammerstein模型、NARMAX模型)。

参考文献:

[1]侯晓秋.直接极小化指标函数的自适应PID控制[J].黑龙江科技学院学报, 2008,18(1): 47-50.

[2]侯小秋.CARMAX模型的在线修正参数预测滤波PID控制[J]. 黑龙江科技大学学报, 2015， 25(6)： 686-691.

[3]萧德云.系统辨识理论及应用[M].北京：清华大学出版社，2014: 126-127.

[4]冯纯伯， 史维. 自适应控制[M].北京：电子工业出版社，1986:104-105.

[5]JUNG L, TRULESSON L E.Adaptive control based on explicit crirerion minimization[J]. IFAC 81 World Congress, Preprints , 1981, 1(7): 1-6.

[6]萧德云.系统辨识理论及应用[M].北京： 清华大学出版社，2014: 189-192.

[7]韩正之， 陈彭年， 陈树中.自适应控制[M].北京： 清华大学出版社， 2014: 115-120.

[8]CHEN YENMING，WU YUNGCHUN. Modified recursive least-squares agorithm for parameter identification[J]. Int.J.System Sci., 1992, 23(2): 187-205.

(编辑李德根)

Prognosis-filtering PID control with on-line modifying parameter for multi-variables CARMAX model

HOUXiaoqiu

(School of Electronical & Control Engineering, Heilongjiang University of Science & Technology, Harbin 150022, China)

This paper proposes a novel algorithm for prognosis-filtering-decoupling PID control with on-line modifying parameter——an algorithm developed by using the forecast output values of the system instead of the current output values of the system in response to multi-variable CARMAX model. The algorithm study involves developing a multi-variable forgetting factor recursive least squares algorithm with solving ill-controlled; estimating the parameter of the controlled model by employing the algorithm; and developing an adaptive prognosis-filtering-decoupling PID control algorithm with the characterizations of on-line modifying parameter and speeding the convergence of PID control parameter for CARMAX Model with multivariable by employing the self-tuning prediction explicit algorithm to predict the system output, and drawing on the adaptive control algorithm with solving ill-controlled for direct minimization index function and the Robbins-Monro algorithm. The results indicate that the improved algorithm capable of prediction control and on-line parameters correction offers better control quality.

adaptive control; predictive control; PID control；parameter estimation；self-tuning prediction; multi-variable system

2015-12-16

侯小秋(1965-)，男，黑龙江省双城人，副教授，硕士，研究方向：非线性控制，预测控制，自适应控制，E-mail：hxq71265@163.com。

10.3969/j.issn.2095-7262.2016.01.016

TP273

2095-7262(2016)01-0068-07

A