控制-状态受限椭圆最优控制问题的新误差估计

陈艳萍, 黄封林

(华南师范大学数学科学学院, 广州 510631)



控制-状态受限椭圆最优控制问题的新误差估计

陈艳萍*, 黄封林

(华南师范大学数学科学学院, 广州 510631)

构建了控制-状态积分受限椭圆最优控制问题的谱方法计算格式,推导了最优性条件,并利用收敛性结果和分类讨论的方法对拉格朗日乘子的逼近误差进行估计,进而得出了后验误差估计结果. 文中为偏微分方程最优控制问题提供了具有高精度的求解方法,并为发展最优控制问题的hp自适应谱元方法计算奠定了基础.

最优控制; 椭圆方程; 谱方法; 误差估计

最优控制问题已被广泛应用于工程设计和实际应用当中. 作为一种有效求解偏微分方程的数值方法,有限元方法亦被广泛应用于偏微分方程最优控制问题的数值求解. 关于控制或状态受限最优控制问题理论和数值计算方面的研究已经有了大量的成果[1-9].

对于控制-状态双受限以及混合受限问题,早在20世纪80年代,CASAS[10]已经对控制-状态受限椭圆最优控制问题拉格朗日乘子的存在性、最优性条件以及解的正则性等进行了深入研究. RÖSCH和TRÖLTZSCH[11]证明了混合控制-状态受限半线性椭圆控制问题有界与可测的拉格朗日乘子的存在性. 在已有文献[12-13]中有更多关于这方面的理论研究. 关于数值求解方面,CASAS[14]讨论了控制逐点受限且伴有有限个状态约束下半线性椭圆方程最优控制问题的有限元逼近,给出了收敛性证明. RÖSCH和WACHSMUTH[15]分析了控制-状态受限椭圆最优控制问题的有限元逼近,给出了只含有可计算项的可靠后验误差估计子. CHEREDNICHENKO和RÖSCH[16]讨论了混合控制-状态受限问题正则化参数与网格尺寸之间的合理选取,并给出了误差分析.

在过去的10余年里,谱方法亦被成功应用于一些最优控制问题的数值求解. CHEN等[17]考虑控制积分受限椭圆最优控制问题的谱方法逼近,推导了最优性条件,建立了先验和后验误差估计,给出了hp谱元逼近格式以及相应的后验误差估计,并通过数值实验证实了方法的有效性. CHEN等[18]采用勒让德伽辽金谱方法逼近流体最优控制问题,分析了无约束问题的先验误差估计以及控制积分受限问题的先验和后验误差估计,通过数值实验证实了理论结果和方法的有效性. ZHOU和YANG[19]讨论了状态受限第一类双调和方程最优控制问题的谱方法求解,构建了先验误差估计. 与有限元方法相比,谱方法对于解充分光滑的最优控制问题的数值求解具有高精度、快速收敛以及计算量相对较少等优势. 本文考虑控制-状态双受限最优控制问题的谱方法逼近,推导最优性条件并给出后验误差分析.

取Ω=n(1≤n≤3)， 本文记Wm,q(Ω)为标准的Sobolev空间,其装备范数‖·‖m,q,Ω和半范数|·|m,q,Ω(当q=2时分别简记为‖·‖m,Ω和|·|m,Ω). 取α为多重指标,记{wWm,q(Ω):Dαw|∂Ω=0,|α|≤m-1},且将简记为). 此外,用W′表示空间W的共轭空间,用T′(u)表示算子T在u处的Gteaux导算子,对函数w有Ωw/Ω1,用C表示与多项式次数N无关的正常数.

1 谱方法逼近与最优性条件

(1)

其中y0为观测状态,α为给定的正常数,d1和d2为给定的常数.

为实现最优控制问题(1)的谱方法逼近,需要给出状态方程的弱形式. 令

a(y,w)=Ωy·w (∀y,wY)，

(u,w)=Ωuw (∀u,wU).

(2)

容易验证存在常数σ>0和θ>0,使得

|a(u,v)|≤σ‖u‖Y‖v‖Y(∀u,vY),

(3)

由式(2),状态方程的标准弱形式可描述为:求y(u)Y,使得

a(y(u),w)=(u+f,w) (∀wY).

(4)

则控制问题(1)被重新陈述为:求(u,y)U×Y,使得

(5)

其中

Uad={uU:Ωu≥d1},K={wL1(Ω):Ωw≥d2}.

不难证明(u,y)U×Y为最优控制问题(5)的解当且仅当存在(y*,)Y×-(-={c:c≤0}),使得(u,y,y*,)满足如下一阶最优性条件:

a(y,w)=(u+f,w) (∀wY),

a(q,y*)=(y-y0,q)+(,q) (∀qY),

(,v-y)≤0 (∀vK),

(y*+αu,ψ-u)≥0 (∀ψUad).

(6)

为给出最优性条件(6)的证明,先考察如下优化问题

(7)

其中U和Z为Banach空间,KCasas⊂U与C⊂Z均为凸集,C内部非空,J:U→(-∞,+∞]及G:U→Z. 对此优化问题，CASAS[20]利用凸集分离定理证明了如下一阶最优性条件：

(a)+‖μ‖Z′>0,

(c)<

进一步地,若Slater类型条件成立， 即存在u0KCasas,使得,则可取为1.

下面利用定理A的结论给出最优性条件(6)的证明. 事实上,若u为问题(5)的最优控制变量,则可取定理A中U、Z、KCasas和C分别为L2(Ω)、、Uad和{s:s≥d2},又容易验证存在u0KCasas(=Uad)使得Slater类型条件成立,从而由定理A的结论可知存在Z′(=)使得

<,s-G(u)>≤0 (∀sC (={s:s≥d2})),

≥0 (∀ωUad).

(s-Ωy)≤0 (∀sC (={s:s≥d2}),

+G′(u)(ω-u)≥0 (∀ωUad).

(8)

又由y-y0+L2(Ω),故可引进如下共轭状态方程:

a(q,y*)=(y-y0+,q) (∀qY).

(9)

(y-y0+,y′(u)(ω-u))+(αu,ω-u)=(αu+y*,ω-u).于是有

(,v-y)≤0 (∀vK),

(y*+αu,ω-u)≥0 (∀ωUad).

结合以上讨论以及最优性条件(6)解的唯一性则可得到最优性条件(6).

由最优性条件(6)的推导过程可以得出

,

(10)

(11)

注1 设(u,y,y*,)满足最优性条件(6)且初始数据f,y0L2(Ω),则最优控制uH2(Ω).

对状态方程作如下逼近:

a(yN,wN)=(uN+f,wN) (∀wNYN).

从而控制问题(5)的勒让德伽辽金谱方法逼近可描述为:

(12)

类似地,控制问题(12)有唯一解(uN,yN)UN×YN,且(uN,yN)为控制问题(12)的解当且仅当存在,N)YN×-使得:

(13)

其中

(14)

且

(15)

2 后验误差估计

此节推导最优控制问题(5)谱方法逼近的后验误差估计. 对控制变量的误差采用L2范数估计,对状态和共轭状态变量的误差采用H1范数估计. 这些估计结果为今后发展最优控制问题的hp谱元法与自适应计算奠定了很好的基础. 首先给出2个重要的结果.

引理1[21]设PN:L2(Ω)→QN为L2正交投影算子,其对任意rL2(Ω)满足

(r-PNr,vN)=0 (∀vNQN)，

‖r-PNr‖0,Ω≤CN-m‖r‖m,Ω.

其中

(16)

下面给出在后验误差估计中起到非常重要的作用的2个引理.

(17)

证明 首先,推导出

(18)

及

‖uN‖0,Ω+‖yN‖1,Ω≤C.

(19)

事实上,设φ,ybY分别为以下方程的解:

a(φ,w)=(1,w) (∀wY),

(20)

a(yb,w)=(f,w) (∀wY).

(21)

(22)

a(yN(vN),wN)=(vN+f,wN) (∀wNYN),

JN(uN,yN)≤JN(vN,yN(vN))≤C,

其意味着式(18)成立,进而有式(19)成立.

接下来,分2种情形进行讨论.

因此

C‖uN‖0,Ω+C‖yN-y0‖0,Ω+C≤C.

(23)

而对充分大的N有

(24)

由式(23)和式(24)可知

|N|≤C.

(25)

结合式(3)、(13)和式(25)有

借助引理3的结论(17)不难证明以下收敛性结果.

引理4 设(u,y,y*,)为最优性条件(6)的解,而,N)为最优性条件(13)的解. 则当N→∞时有‖u-uN‖0,Ω→0,‖y-yN‖1,Ω→0,‖‖1,Ω→0,|-N|→0.

现引进如下辅助系统:求(y(uN),y*(uN))Y×Y，使得

(26)

则由式(13)和式(26)得到

(27)

于是结合式(16)可得

CN-1‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω‖yN-y(uN)‖1,Ω.

从而

‖yN-y(uN)‖1,Ω≤CN-1‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω.

(28)

类似地推导出

(29)

又由式(6)和式(26)有

a(y-y(uN),w)=(f-PNf+u-uN,w) (∀wY),a(q,y*-y*(uN))=(y-yN+PNy0-y0+-N,q)(∀qY).

(30)

从而

‖y-y(uN)‖1,Ω≤C‖u-uN‖0,Ω+CN-1‖f-PNf‖0,Ω,

(31)

以及

‖y*-y*(uN)‖1,Ω≤

C‖y-yN+-N‖0,Ω+CN-1‖y0-PNy0‖0,Ω≤

C(‖y-yN‖0,Ω+|-N|+N-1‖y0-PNy0‖0,Ω).

(32)

在完成以下2个引理的证明后即可给出后验误差估计的证明.

引理5 设(u,y,y*,)和,N)分别为最优性条件(6)、(13)的解,则

‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω)+C(‖u-uN‖0,Ω+

N-1‖f-PNf‖0,Ω+N-1‖y0-PNy0‖0,Ω).

(33)

证明 在式(30)中取q=φ,且在式(20)中取w=y*-y*(uN),则

(y-yN+PNy0-y0+-N,φ)=(1,y*-y*(uN)).

从而

(-N,φ)=(1,y*-y*(uN))-(y-yN,φ)-(PNy0-y0,φ).故有

(34)

a(q,y*-y*(uN))=(y-yN,q)+(PNy0-y0,q)+

(35)

令z1,z2Y分别满足

a( q,z1)=(y-yN,q)+(PNy0-y0,q)-

(36)

以及

(37)

由式(35)～(37)可知

(38)

接下来的讨论分4种情形进行.

结合式(38)推导出

‖yN-y(uN)‖0,Ω)+CN-1(‖f-PNf‖0,Ω+

‖y0-PNy0‖0,Ω).

(39)

其同样可以导出式(39).

N-1‖y0-PNy0‖0,Ω)≤C(‖u-uN‖0,Ω+

CN-1(‖f-PNf‖0,Ω+‖y0-PNy0‖0,Ω).

(40)

综合式(28)、(29)和式(40)，便可完成引理的证明.

引理6 设(u,y,y*,)和,N)分别为最优性条件(6)、(13)的解,则有

‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω+‖y0-PNy0‖0,Ω+‖f-PNf‖0,Ω).

(41)

y-y(uN))-(f-PNf,y*(uN)-y*).

从而推导出

N-1‖y0-PNy0‖0,Ω+N-1‖f-PNf‖0,Ω).

(42)

于是,综合式(28)、(29)以及式(42)即可完成引理的证明.

利用以上结果可给出如下后验误差估计.

定理1 设(u,y,y*,)和,N)分别为最优性条件(6)、(13)的解，则有

其中η=η1+η2,且

η1=N-1‖ΔyN+uN+PNf‖0,Ω,

=N-1(‖f-PNf‖0,Ω+‖y0-PNy0‖0,Ω).

‖y-y(uN)‖1,Ω+‖y(uN)-yN‖1,Ω+

综合式(28)、(29)、(31)～(33)以及式(41)即可完成定理的证明.

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【中文责编：庄晓琼 英文责编：肖菁】

A New Error Estimates for Elliptic Optimal Control Problems with Control and State Constraints

CHEN Yanping*, HUANG Fenglin

(School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Galerkin spectral method is used to approximate elliptic optimal control problems with integral control and state constraints in this paper. The optimality conditions for the control problems are derived; the estimation for Lagrange multiplier is investigated by the convergence results and classification discussion; then a posteriori error estimates are presented. This work provides efficient numerical method with high-precision and lays the foundation for developing hp-adaptive spectral element method for optimal control problems of PDEs.

optimal control; elliptic equations; spectral method; error estimates

2016-02-16 《华南师范大学学报(自然科学版)》网址：http://journal.scnu.edu.cn/n

国家自然科学基金项目(91430104,11271145)

O

A

*通讯作者:陈艳萍,教授,珠江学者,Email:yanpingchen@scnu.edu.cn.