例谈高三数学二轮复习中的主题探究教学

袁琴芳（柘荣县第一中学，福建柘荣355300）

例谈高三数学二轮复习中的主题探究教学

袁琴芳
（柘荣县第一中学，福建柘荣355300）

在高三数学二轮复习教学中，一题多问——知识串串烧、一题多解——方法样样通、一题多变——思维环环转等主题探究教学方式可以让学生的知识与能力得到同步发展，形成系统化的数学知识体系结构。

高三数学；二轮复习；主题探究教学

著名的数学家波利亚说过：“货物充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。经过高三第一轮的数学复习，学生们基本上都有了一个“货物充足的知识仓库”，但大都尚未拥有“组织良好的知识仓库”，即尚未形成系统化的数学知识体系结构，对数学方法的理解与运用水平还有待提高。那么，怎样才能达成这个重要目标呢？

在实际教学中，笔者经常通过主题探究课，即以一道典型范例为主题，升级已学知识、方法和技能为目标，多角度力促学生的知识与能力得以同步发展，取得良好的复习成效。下以具体实例，从笔者在解题教学中时常采用的“一题多问”、“一题多解”与“一题多变”等三个角度对这个思路进行阐述。

一、一题多问——知识串串烧

所谓一题多问，即以一道例题为主题，设计一串的子问题，旨在通过这一串的子问题的解决，进行一个系列的知识的有序巩固。简而言之，就是说借助一题，可以将一整个章节的知识都复习一遍，真正的实现“牵一发而动全身”的主题功力。这样，二轮的知识复习课就上出点新意了，在这样的课中，不仅训练学生的解题技能，而且在不知不觉中将知识有序化；既注意到了对知识点的覆盖面，又能通过训练让学生掌握规律，可以达到“以一当十”的作用，真正的做到有效的知识复习。

（1）求证：A′B⊥PD；

（2）当棱锥A′-PBCD的侧面A′BP的面积最大时，

①画出棱锥A′-PBCD的三视图；

②求棱锥A′-PBCD的体积；

③求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值；

④求点C到面A′BC的距离；

⑤是否在A′C上存在点E，使得CE∥面A′BP；

⑥若点E满足第⑤小题，求证：DE⊥面A′BC。

例1涉及到了立体几何这个章节的以下知识点：线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化；三视图的应用、面积、体积的求法；平行关系间的互相转化；空间角的求法；空间中距离的求法；动点问题与最值问题的解法。淋漓尽致的体现了立几这章节的知识点运用，不仅起到加强双基的作用，又用一题多问，知识串串烧的形式，构成了学生有效的复习立体几何的一条线索。

这种知识串串烧的课，最好是教师一边引导学生回顾该章节的重点内容，一边给学生出题，或者请学生即兴出题。在课前，教师要做好充分准备，这样既能调动课堂气氛，又能促进学生知识有序建构，提高学生的知识运用能力。

二、一题多解——方法样样通

所谓一题多解，即以一道例题为“主题”，进行一个系列的数学思想方法的展示与研究，旨在通过这些方法的再认识，来促进的学生对方法的系统化。也就是说借助一题，可以将许多的重要的思想方法都深化一遍，真正的实现“触类旁通”的“主题”功效。这样，二轮的方法复习课就有了点新花样，学生不仅夯实了通法通解，更能深刻的领会数学方法的博大精深；既训练了学生的转化能力，又揭示了解题方法的多元化，达到“以一持万”的目的，真正的做到有效的方法复习。

例2.设△AnBNCN的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3……若b1＞c1，b1+c1=2a a=a，b=，c=，则（）

1n+1nn+1n+1

解法二：从几何的角度入手，借助数形结合思想，有许多的同学不懂海伦公式，但却熟知同底三角形的面积是由高来决定的，故画出满足题意的前四个三角形，用直尺量出距离，就解决了问题。

解法三：从创新题的特色——变与不变的角度入手，在确定解题的目标是三角形的面积后，要借助数学学科中最为基本的解题策略—以不变应万变，易知此△AnBnCn中不变的一条边的长为an=a1，于是，三角形的面积变化取决于此类三角形的高，顺藤摸瓜，继续关注变化的两边中不变的特征，又可探求到：变化的两边的边长满足和为不变量，即bn+cn=2a1，由此可联想到以Bn、Cn为焦点的椭圆的焦点三角形的面积问题，甚至还可以进一步挖掘到有变化的两边边长之差的绝对值，即两边长的差的绝对值越来越小，故顶点An是越来越接近椭圆的短轴顶点，此时，三角形的高也越来越大，所以为递增数列。

例2涉及了高中数学中最基础的方程思想、数形结合思想、函数的思想方法、解析法思想，复习过程在渗透这些数学思想时，培养了学生的综合分析能力，提高了学生数学思维能力。

三、一题多变——思维环环转

所谓一题多变，即以一道例题为“主题”，对题目的条件与结论进行变形，旨在通过这一连串的变形引申出不同章节的知识与方法，形成一个高中数学知识与方法的网络化的交汇。也就是说，借助一题，可以触及整个高中的数学知识与方法的许多部分，实现“举一反三”的“主题”功能。

（1）（2）略（3）对任意k〉0，求证：PA⊥PB。

请小组中的同学相互讨论，就下划线部分进行等价变换。学生改写的结果有以下∶①KPA·KPB=-1。②-P---A-⇀·-P--B⇀=0。③向量-A--B⇀在直线---⇀BP上的投影为向量AP。④以AB为直径的圆经过点P。⑤线段AB的中点到A、B、P三点的距离相等。⑥以AP为直径的圆与直线相切。⑦以AP为直径的圆与直线BP有且只有一个交点。⑧点B关于直线AP的对称点在射线BP上。⑨若PA2+PB2=AB2，则点关于直线AP的对称点在射线BP上。⑩sin PAB=cos PBA。可以看到①是从解析几何的角度考虑的；②③是从向量的应用思考的；④⑤⑥是从圆的方向着手解决；⑦有着方程思想的味道；⑧是含有数形结合的思想；⑨是从平面几何的基础出发的；⑩利用三角函数的观点来思索。

例3结论的变形牵出了向量、平面几何、圆、三角函数等知识，变式解题中包涵了方程思想、函数与导数思想、数形结合思想，能有效提高了课堂效率，充分调动了学生的思维能动性。

总之，复习课应立足于帮助学生整理知识、方法、技能，但形式上、方法上可以更加多样化，其中，“主题”探究式复习不失是一个好办法。正如教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”。

［1］教育部.普通高中数学课程标准［S］.北京：人民教育出版社，2003.

［2］罗增儒.数学解题引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

［3］陈旭远.新课程新理念［M］.长春：东北师范大学出版社，2002.

（责任编辑：王钦敏）