关于B-Nekrasov矩阵线性互补问题最优误差界的注记

杨绍蓉,甘梦婷,李朝迁

(云南大学数学与统计学院,云南 昆明 650500)

关于B-Nekrasov矩阵线性互补问题最优误差界的注记

杨绍蓉,甘梦婷,李朝迁

(云南大学数学与统计学院,云南 昆明 650500)

研究了B-Nekrasov矩阵线性互补问题的含有参数误差界的最优值问题,利用函数的单调性,在的情况下,得到了该误差界的最优值.

B-Nekrasov矩阵;线性互补;误差界

1 引言

设

寻找解x∗∈Rn,使其满足：

的问题称为线性互补问题,记为LCP(M,q)[14].其在经济学,对策论以及数学规划中起到重要的作用,是一类应用广泛的优化问题[5].LCP(M,q)解的存在性,唯一性,灵敏度以及求解算法的收敛性都与矩阵的结构和性质有关[6].当M 为P-矩阵时,LCP(M,q)存在唯一解[79].目前,该领域的热门研究课题之一是LCP(M,q)解的误差界估计,即给出的上界[7].

在文献[5]中提出了P-矩阵的子类矩阵B-Nekrasov矩阵,并给出其线性互补问题的误差界.对给定的矩阵

则称M为Nekrasov矩阵[8].

定义 1.1[10]设 A=(aij)1≤i,j≤n∈Rn×n,且 A 分解为 A=B++C 的形式,其中

若B+是对角元为正数的Nekrasov矩阵矩阵,则称A为B-Nekrasov矩阵.

定理 1.1[10]设 A=(aij)1≤i,j≤n,n≥2是 B-Nekrasov矩阵,并存在 m＞i,使得

B+是定义1.1中所定义.对角矩阵

其中

然而,在实际应用中往往取不同的ε计算f(ε)作为(1)式的近似值.

例1.1给定B-Nekrasov矩阵

由定理1.1知,

故可得定理1.1中的界f(ε),如图1所示.

图1 例1的误差界

容易看出,当ε取值很小时(如ε=0.001,0.005),f(ε)的值很大,即ε的取值会导致界f(ε)非常大.另一方面,观察图1知

是存在的.然而,到目前为止,如何确定该值并没有相关结果?这将是本文的主要研究工作,即在给定的条件(δi＞1,i=1,2,...,n-1)下,讨论了最优值问题,并确定(1)式的值.

2 B-Nekrasov矩阵的线性互补问题误差界的最优值

对满足定理1.1中的条件B-Nekrasov矩阵A，令

命题2.1设矩阵A,W,为定理1中所定义,且设 δi＞1,i=1,2,...,n-1.

证明注意到

即

从而推出

所以 δn≥1.故

证毕.

进一步,对

进行分析.不是一般性,设

见图2.

图2 误差界及其最优值

3 总结

的元素均为正数进行讨论,讨论了f(ε)的最优值,这个最优值是存在且可计算的.对满足其它情况B-Nekrasov矩阵所对应的误差界f(ε)的最优值问题仍有待研究.

[2]Dai pingfan.Error bounds for linear complementarity problems of DB-matrices[J].Linear Algebra,2011,434：830-840.

[3]Li chaoqian,Gan mengting,Yang shaorong.A new error bound for linear complementarity problems for B-matrices[J].Electronic Journal of Linear Algebra,2016,31：476-484.

[4]Li chaoqian,Li yaotang.Note on error bounds for linear complementarity problems for B-matrices[J].Applied Mathematics Letters,2016,57：108-113.

[5]孙艳波.线性互补问题解的存在性及其相关矩阵的研究[D].南京：南京航空航天大学,2006.

[6]彭凌.几类特殊矩阵线性互补问题的误差界[D].吉首：吉首大学,2015.

[7]Chen xiaojun,Xiang shuhuang.Computation of error bounds for P-matrix linear complementarity problems[J].Math.Program,2006,106：513-525.

[9]Cottle R W,Pang J S,Stone R E.The Linear Complementarity Problem[M].New york：Academic Press,1992.

2010 MSC:60B12

《纯粹数学与应用数学》稿约

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A note on the optimal error bounds for linear complementarity problems of B-Nekrasov matrices

Yang Shaorong,Gan Mengting,Li Chaoqian
(College of Mathematics and statistics,Yunnan University,Kunming 650500,China)

The optimal error bound with a parameter of linear complementarity problems of B-Nekrasov matrix is studied.By using the monotonicity,in the case of,the optimal value of the error bound is obtained.

B-Nekrasov matrix,linear complementarity,error bounds

O241

A

1008-5513(2017)04-0430-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.010

2017-04-26.

国家自然科学基金(11601473).

杨绍蓉(1993-),硕士,研究方向：数值代数.

李朝迁(1986-),博士,副教授,研究方向：数值代数.