基于独立覆盖流形法的CAD与CAE融合研究

(长江科学院 a.水利部水工程安全与病害防治工程技术研究中心； b.材料与结构研究所，武汉 430010)

采用前期笔者提出的独立覆盖流形法，尝试CAD和CAE融合的新途径。以二维结构的线弹性静力分析为例，实现从CAD到CAE的无缝连接，以及CAE的完全自动化分析。在基于前期CAD几何的流形法研究基础上，给出NURBS曲线(CAD中的通用图形标准)与直线的切割算法，实现CAD几何模型在CAE建模和网格细化中的保形性；通过AutoCAD的DXF图形格式，将CAD中的结构形状、荷载及约束信息直接输出到CAE；基于矩形独立覆盖的自适应分析技术，实现结构静力分析的自动化计算；自动生成有限元网格用于计算结果后处理的图形输出。综合以上研究，用一个二维结构静力分析算例演示了从CAD几何建模和输出，到CAE的自动前处理、自动分析、自动后处理的完整过程，所有的人工操作仅限于CAD中，而CAE分析过程无需人工参与，就可以获得满足设定精度的计算结果。

CAD和CAE融合；数值流形方法；独立覆盖；自适应分析；NURBS；DXF

1 研究背景

计算机辅助设计(CAD)和计算机辅助工程分析(CAE)是计算机在工程应用领域的两大杰出贡献，在很大程度上推动着现代工程技术的发展。CAD和CAE之间通常的流程是：设计师在CAD中完成设计后，交由分析师进行数学模型的CAE分析，再根据分析结果对设计进行修改，即设计—分析—再设计—再分析的循环过程，直至最终设计完成。

CAD和CAE有内在关联，但毕竟是两门不同的学问，既精于设计又精于分析的人是极少数，因此目前需要设计师和分析师各司其职。然而，这又带来了两者的沟通问题，同时，以现有的基于有限元法的分析技术，复杂问题的建模周期一般较长，而且分析结果的可靠性不易保证，往往还需人为的经验判断，另外，分析师最头疼的是设计修改后的重新建模。上述问题毫无例外地造成整个产品设计周期的延长。

本文提出的CAD与CAE融合，其关键点是整个CAE分析过程无需人工参与：设计师完成设计后，由计算机自动进行分析，得到满足预设精度的分析结果，并通过可视化供设计师研判设计成果的合理性。这个目标对CAE分析技术提出了很高的要求。

CAE中运用最广泛的是有限元法[1]，其计算理论已很成熟，人们应用大型商用软件解决了大量的工程分析问题。但有限元法至今仍存在一些难点：首先，前处理的建模是一个瓶颈，这源于有限元网格自身的要求，它们不仅要适应复杂的求解域边界，还要尽量保持规则形状，且保证网格之间通过结点连接；其次，在分析过程中不易控制计算精度，一个问题由不同的人来分析有可能得到差异较大的结果；进一步延伸到后处理，需要手工操作得到一系列图表，分析师才能运用自身经验判断计算结果的合理性。近年来学界提出了无网格法[2]、广义有限元[3]等新方法试图解决上述问题，但它们存在或者计算复杂、或者在高阶情况下方程组线性相关等问题，自身的基础理论还有待完善。

另一个难点是CAD和CAE的沟通。有限元法CAE技术早在20世纪50年代就产生了，而CAD技术后来才出现，造成了CAD和CAE系统不相兼容的现状。比如，CAD中描述的曲线或曲面边界，一般要离散成折线或平面才能进行有限元建模。近年来提出的等几何分析方法[4]，几何模型和分析模型采用统一的描述方式，实现了CAD和CAE的无障碍沟通，但要求CAD的几何模型必须基于实体造型，与工业界基于边界造型的标准不匹配。

本文采用前期提出的基于独立覆盖的新型数值流形方法(简称独立覆盖流形法)，以二维结构的线弹性静力分析为例，尝试CAD和CAE融合的新途径，实现从CAD到CAE的无缝连接，以及CAE的完全自动化分析。

2 前期研究回顾

1991年，石根华博士发明了数值流形方法[5](以下简称流形法)，其中很关键的一点是：与有限元法将求解域离散成网格的方式不同，流形法构造物理场近似解的所谓“数学网格”与定义积分区域的实际求解域分离，只要求数学网格在空间上完全覆盖求解域。如图1所示，图1中着色的椭圆形物理区域被矩形数学网格完全覆盖。每个网格内的物理区域(积分域)称为流形元，可通过求解域与数学网格的切割得到。图1中可见，流形元可以是任意形状，一般采用单纯形积分法[6]实现流形元上的多项式被积函数的解析积分。流形法的“数学网格与物理边界相互独立”的特性使CAE的前处理难度相对有限元法大幅下降，只需采用简单的切割技术。

2012年，笔者在流形法中首次引入了“独立覆盖”[8-9]，即单位分解函数φi=1、近似函数V就是给定级数Vi的覆盖区域，独立覆盖之间用窄条相连，其单位分解函数取为有限元线性形函数从而实现覆盖函数的线性过渡。首先研究了如图1(a)所示的矩形覆盖系统，每个矩形覆盖包含一个独立覆盖(图中的大矩形)及其周边的条形区域，条形是相邻覆盖之间的重叠区域;同时还提出了覆盖加密方法，比如将图1(a)所示的独立覆盖f和g分割成图1(b)所示的小覆盖[10]。2013年提出任意形状的独立覆盖[11]，如图2(a)所示，3个任意形状的独立覆盖同样用条形连接，可采用“将大块分成小块”的覆盖加密方式，如图2(b)所示。

2015年笔者在文献[12]中将上述方法正式命名为“基于独立覆盖的数值流形方法”，简称“独立覆盖流形法”，并从协调性和完备性2个方面论述了该方法的收敛性：相互重叠的覆盖形式和独立覆盖函数之间的线性过渡方式保证了整体近似函数的所谓“协调性”；每个覆盖(含独立覆盖及周边条形区域)上的完备级数可以逼近任意分布的连续函数，新方法具有在求解域的任何区域逼近真实解的所谓“完备性”。同时指出：新型流形法的收敛是基于各覆盖自身的收敛而建立的；随着覆盖函数的升阶，不仅物理场本身是收敛的，其导数也是收敛的；覆盖网格具有任意形状、任意连接和任意加密的特性。其中，任意连接是指独立覆盖之间的条形可以任意地错位布置，如图1(b)和图2(b)显示的大、小覆盖之间的连接方式。任意加密是指不管采用何种加密方式，即不管独立覆盖细化成什么形状，也不管细化后的覆盖之间的条形如何连接，只要各覆盖均加密至适当大小，总可以做到在各覆盖内用适当阶次的完备级数逼近真实解。相对于有限元法对网格的诸多要求而言，新型流形法只需将求解域任意地分成小块，前处理难度大大降低。上述特性为CAE前处理的自动化和计算精度的有效控制提供了便利。

笔者根据独立覆盖的特点提出了初步的后验误差指标，包括条形区域的应力连续性指标、边界应力指标等，并利用覆盖网格任意加密的特性，基于矩形独立覆盖进行了h-p型混合自适应研究(其中采用简单的二分法细分覆盖)，初步实现了二维结构线弹性静力分析的自动计算：人工只需输入结构外形、材料参数和边界条件，其他工作完全交由计算机完成[13]。

本文将综合上述研究，仍采用矩形独立覆盖系统，用二维结构静力分析实例演示CAD与CAE的融合过程。这涉及到两者的沟通细节以及CAE自动化分析的具体流程。另外，文献[14]仅讨论了部分类型的曲线(如多项式、圆及椭圆)与直线的切割，考虑到工业界常用NURBS(非均匀有理B样条)曲线作为CAD几何建模标准，为了适应更复杂、更一般的曲线描述，以下首先讨论NURBS曲线与直线的切割算法。

3 NURBS曲线段与直线段的切割

首先定义点到曲线的距离，该距离带有正负号，正号表示在曲线上方。如图4所示，以第i段样条的2个端点所形成的线段P0P1为参数轴，从点N到参数轴作垂线，垂足为nt，再由N和nt两点确定直线方程g(x,y)=0。从两端的P0和P1点开始，将各自的参数t代入曲线方程求得坐标后，再代入g(x,y)，用正、负值判断，采用二分法求得直线与曲线的交点Ptt。以N到Ptt的距离作为点N到曲线的距离，记为S(N)。

在进行曲线段和直线段的相交判断之前，先要对直线段进行分割处理：如图5(a)所示，分别过第i段参数轴的2个端点做垂直于参数轴的2条平行线L0,L1，当直线段超出两平行线时将其裁剪，如图5(a)中的直线段AB被裁剪成A′B′。

[17]确定样条段和直线段的相交准则：设直线段AB经过裁剪后形成A′B′，直线段方程为f(x,y)=0，样条参数域为[t0,t1]，则直线段和样条段相交的充分必要条件为

然后如图5(b)所示，找出直线段AB平移以后和曲线相切的切点。可令直线段的斜率与样条线段的一阶导矢相等来求得切点。若为3次样条曲线，则可能有3种情况：①没有切点，说明该段样条沿着直线段单调；②1个切点，切分为2个单调样条；③2个切点，切分为3个单调样条。图5(b)即是情况③，在参数域内分割成3个单调样条：P0Q1,Q1Q2,Q2P1，在各自的单调样条区间上，与直线段AB最多只有一个交点。

最后的步骤就是二分法求交。如图5(c)所示，在单调样条区间内，求出A和B点在参数轴上的垂足ta,tb，对应于样条曲线上的点分别为Pta,Ptb，将其坐标代入直线方程，考虑正、负号进行二分法求交。

4 CAD到CAE的数据转换

文献[13]中，结构外形、材料参数和边界条件的具体数据是通过人工录入的。考虑到AutoCAD是目前较为流行的CAD系统，其中的DXF又是广泛使用的图形数据格式，可以说已形成了事实上的图形数据标准[18]，因此本文通过AutoCAD建立结构外形和边界条件的几何模型，并输入相关的材料参数和荷载、约束信息，然后用程序将DXF文件数据转换为CAE的前处理数据格式，实现从CAD到CAE的无缝连接。

在AutoCAD中，设计师按照约定，在不同的图层中建立结构外形轮廓、荷载和约束的几何模型，并在相应图层的Description中输入相关的材料参数、荷载数据和约束信息，其中采用特殊的符号标记便于数据转换程序在DXF文件中识别。举例如图6所示，假设在点N处施加点荷载，在OD线上施加线荷载，在底部OC线上施加约束，则通过不同的图层记录，比如：图层1记录轮廓线，图层2记录点荷载，图层3记录线荷载，图层4记录约束。

对于其他的CAD软件，如MicroStation，同样采用DXF文件接口，操作类似。

5 CAD与CAE融合的流程

(1) 在CAD中绘出结构轮廓和边界条件的几何模型，输入相关参数。边界可以用直线、圆、多项式曲线、NURBS曲线描述，通过图层来区分结构轮廓和不同的荷载、约束信息。

(2) 用程序从CAD的DXF文件中读取结构轮廓、荷载和约束的几何信息、材料参数和边界条件信息，形成CAE前处理的输入数据。

(3) 由程序自动生成矩形数学网格，包括独立覆盖及条形区域。

(4) 采用切割程序对结构轮廓和数学网格进行切割。在文献[14]的基础上，本文增加了NURBS曲线和直线的切割，对结构几何设计的适用范围更广。切割后将形成流形元的几何信息以及参与计算的数学网格数据，再加上CAD中输入的材料参数、荷载参数和约束信息，并设定各独立覆盖上的多项式阶次，最后生成计算数据。

(6) 采用文献[13]的方法进行误差估计和h-p型混合自适应分析。如果不满足设定精度，则回到步骤(4)进行p型自适应，对需要升阶的独立覆盖重新设定多项式阶次，或回到步骤(3)进行h型自适应，对选定的覆盖加密。如果满足设定精度，则进入步骤(7)。

(7) 后处理的图形显示。本文选择开源软件Easymesh①对求解域进行三角形有限元网格的自动剖分(网格密度适应于图形显示的精度要求)，将网格结点作为测量点，通过该点所在的流形元上的多项式级数计算该点的位移和应力，并形成有限元后处理软件(本文选择超级SAP的SVIEW)的图形格式，再进行图形显示。设计师可根据计算结果找出设计存在的问题，重新回到步骤(1)修改设计。

以上除步骤(1)需人工操作外，其他过程只需按一键，然后由计算机自动且连续地完成。

6 CAD与CAE融合的算例演示

以图8所示的AutoCAD中的平面结构静力分析为例，展示CAD和CAE融合的全过程。图中分别用黑线、红线和绿线显示不同的图层：黑线表示结构的边界轮廓，在图层的Description中输入弹性模量和泊松比，图中的红色边界采用3次样条曲线构造；红线表示荷载作用区，在Description中输入法向施加的均匀压力0.024 5 MPa；绿线表示约束区，在Description中输入施加的全约束信息。

在AutoCAD中完成上述操作后，输出DXF文件，后续的CAE过程包括前处理、计算分析、后处理，均无需人工参与。

图9表示自动生成的数学网格与结构物理边界切割后形成的流形元。后续的自适应计算过程有多个数学网格，这里仅给出其中的一个。

图10演示了自动化的覆盖加密过程，设定误差指标为：条形区域应力连续性的相对指标η1=0.05，边界应力指标η2=0.001 MPa[13]。图10中还显示了各模型的变形。

后处理采用Easymesh形成有限元网格，网格结点作为测量点求出位移和应力，然后转化为超级SAP格式。图11用SVIEW显示了各分量应力的渲染图。至此，一个周期的CAE分析完成，再由设计师判断是否需要修改设计。

为了验证本算例的计算精度，另外采用了细密有限元网格进行有限元分析，作为计算结果的对比。表1整理了荷载作用面上的特征点(见图8)应力，可见，切向应力与有限元参考解很接近，剪应力与零应力、法向应力与所施加的荷载0.024 5 MPa的差值基本都控制在误差阈值0.001 MPa以下。

7 结语

本文提出的CAD与CAE融合，实现了从CAD到CAE的无缝连接以及CAE的自动化分析，所有的人工操作都在CAD中完成，整个过程完全由设计师掌控，他们不必了解CAE分析的原理及细节就可以得到正确的分析结果，这已超出了通常所说的“CAD和CAE软件一体化”的融合模式。本文方法的实现得益于流形法的数学网格与物理边界相互独立的特性，以及独立覆盖系统的覆盖网格任意加密的灵活性和对计算精度的有效控制，从而避免了有限元法的前处理瓶颈和分析结果的可靠性不易保证的问题，并能实现CAD几何模型在CAE建模和网格细化中的保形性。本文仅仅是CAD与CAE融合的初步尝试，只为说明这条新途径是完全可行的。就结构线弹性静力分析而言，从走向实用性来看还需开展以下工作：

(1) 引入任意形状的独立覆盖系统，使之贴合物理边界，这样就能严格施加本质边界条件和考虑不同的材料分区。

(2) 进一步提高计算精度控制的有效性，近期我们正在研究覆盖的合理布置和独立覆盖内部的精度指标，采用独立覆盖的子模型法，争取做到逐点的应力精度控制(另文介绍)。

(3) 提升自适应分析的计算效率，比如，近期研究了在自适应过程的重复计算中利用前次计算结果以加快当前方程组求解速度的方法。

(4) 尝试智能化的后处理，比如，由于计算结果都是级数表达，因此可以根据设计标准搜索超标范围。

(5)以上思路都适用于三维分析，三维的主要难点在于切割，特别是三维NURBS曲面与网格直面的切割，另外，近期已推导出三维曲面“近似”单纯形的解析积分公式。

(6) 本文讨论的是一般求解域，对于工程中常见的梁、板、壳等薄壁结构，近期采用独立覆盖进行了实体分析，在考虑其所有假设的条件下，只需求解二阶偏微分方程就能得到准确的计算结果(另文介绍)。

最后，综合以上研究，形成三维结构线弹性静力分析的CAD与CAE融合软件。

致谢：本文研究是在石根华教授的二维切割程序以及林绍忠教授基于单纯形积分的流形法公式的基础上完成的，在此表示感谢。

[1] 王勖成，邵敏．有限单元法的基本概念和数值方法[M]．北京：清华大学出版社，1988.

[2] 张雄, 刘岩, 马上. 无网格法的理论及应用[M]. 力学进展, 2009, 39(1):1-36.

[3] 李录贤, 刘书静, 张慧华, 等. 广义有限元方法研究进展[J]. 应用力学学报, 2009, 26(1): 96-108.

[4] HUGHES T J R，COTTRELL J A，BAZILEVS Y. Isogeometric Analysis：CAD，Finite Elements，NURBS，Exact Geometry and Mesh Refinement[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2005,194(39/41)：4135-4195.

[5] SHI G H. Manifold Method of Material Analysis[C]∥U.S. Army Research Office.Transactions of the Ninth Army Conference on Applied Mathematics and Computing,Minneapolis, Minnesota, U.S.A, June 18-21,1991:51-76.

[6] 石根华.数值流形方法与非连续变形分析[M]. 裴觉民译.北京：清华大学出版社，1997

[7]BABUSKA I, MELENK J M. The Partition of Unity Method [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2015, 40(4):727-758.

[8] 祁勇峰, 苏海东, 崔建华．部分重叠覆盖的数值流形方法初步研究[J].长江科学院院报, 2013,30(1):65-70.

[9]SU Hai-dong, QI Yong-feng, GONG Ya-qi,etal. Preliminary Research of Numerical Manifold Method Based on Partly Overlapping Rectangular Covers[C]∥DDA Commission of International Society for Rock Mechanics. Proceedings of the 11th International Conference on Analysis of Discontinuous Deformation (ICADD11). Fukuoka, Japan, August 27-29, 2013,London: Taylor & Francis Group,2013:341-347

[10] 苏海东,祁勇峰. 部分重叠覆盖流形法的覆盖加密方法[J]. 长江科学院院报, 2013,30(7):95-100.

[11] 苏海东, 祁勇峰, 龚亚琦, 等. 任意形状覆盖的数值流形方法初步研究[J]. 长江科学院院报, 2013, 30(12): 91-96.

[12] 苏海东，颉志强，龚亚琦, 等．基于独立覆盖的流形法收敛性及覆盖网格特性讨论[J]. 长江科学院院报，2016，33(2)：131-136.

[13] 苏海东，龚亚琦，颉志强, 等. 基于矩形独立覆盖初步实现结构静力分析的自动计算[J]. 长江科学院院报，2016，33(2)：144-150.

[14] 陈积瞻，苏海东，祁勇峰．基于CAD几何的数值流形方法初步研究[J]．长江科学院院报，2016，33(2)：137-143.

[15] 林绍忠. 单纯形积分的递推公式[J]. 长江科学院院报, 2005,22(3):32-34.

[16] 施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[17] 夏德麟，熊鑫．线段相交问题求解的新算法[J]. 计算机辅助设计与图形学学报，1996,8(2)：95-100.

[18] 李晨．用VC实现基于DXF文件的AutoCAD数据共享接口[J]. 工业控制计算机，2010,23(4)：76-77.

Integration of CAD and CAE Using Numerical ManifoldMethod Based on Independent Covers

(1.Research Center on Water Engineering Safety and Disease Control Engineering Technology under Ministry of Water Resources, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China; 2.Material and Engineering Structure Department, Yangtze River Scientific Research Institute, Wuhan 430010, China)

Using Numerical Manifold Method (NMM) based on independent covers proposed in previous study, we attempted a new way of integrating Computer Aided Design (CAD) and Computer Aided Engineering (CAE). Taking 2D static analysis of linear-elastic structures for example, we accomplished the seamless link from CAD to CAE and the total automatic CAE analysis. On the basis of previous study of NMM based on CAD geometry, we put forward algorithms for cutting NURBS (Non-uniform Rational B-spines, regarded as the general graphic standard in CAD) curves with straight lines, hence preserving the shape of geometric model in procedures of CAE modeling and mesh refinement. Meanwhile, data of structural shape, loads and constraints defined in CAD are directly transferred to CAE by means of DXF graphic format of AutoCAD. Furthermore, by using adaptive analysis based on rectangular independent covers, we conducted automatic static analysis of structures and automatic finite element

meshes for post-processing graphic output of computational results. In association with the above studies, we took a 2D static structure as example to illustrate the entire procedures, including CAD modeling and output, automatic pre-processing, automatic analysis and automatic post-processing in CAE, in which all procedures were automatically accomplished by computer, except for manual operation of CAD model. Finally, we obtained calculated results with given precision.

CAD/CAE integration; Numerical Manifold Method (NMM) ; independent covers; adaptive analysis; NURBS；DXF

中央级公益性科研院所基本科研业务费项目(CKSF2015033/CL，CKSF2016022/CL)

苏海东(1968-)，男，湖北武汉人，教授级高级工程师，博士，主要从事水工结构数值分析工作和计算方法研究，(电话)027-82927167(电子信箱)suhd@mail.crsri.cn。