保持二次算子的可加映射

孟红叶,吉国兴

(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)

保持二次算子的可加映射

孟红叶,吉国兴

(陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西 西安 710119)

设X是具有无限重复度的无限维或维数不小于3的有限维复Banach空间,B(X)是X上全体有界线性算子组成的Banach代数.首先证明了单位算子不能表示成3个平方幂零算子之和,利用算子分块矩阵技巧获得了平方幂零算子的本质特征.以此特征为基础,刻画了B(X)上双边保持二次算子可加满射的结构.

二次算子;幂等算子;平方幂零算子;可加映射

1 引言

近几十年来,许多学者都致力于矩阵代数或算子代数上的保持问题的研究[1-3,5-9,11].特别是刻画保持平方幂零算子,幂等算子等重要算子类的线性或可加映射.众所周知,平方幂零算子和幂等算子是特殊的二次算子.Mourad Oudghiri和Khalid Souilah刻画了B(H)上双边保持二次算子的线性映射,其中B(H)是复Hilbert空间H上有界线性算子的全体.文献[4]指出无限维Hilbert空间是具有无限重复度的.从这方面出发,本文主要考虑了B(X)上双边保持二次算子的可加映射问题,其中B(X)是具有无限重复度的无限维或维数不小于3的有限维复Banach空间X上有界线性算子的全体.

下面引入一些概念和记号.设C是复数域,X是具有无限重复度的无限维或维数不小于3的有限维复Banach空间,X∗是X的对偶空间.B(X)表示X上全体有界线性算子组成的Banach代数,Mn(C)表示全体n×n复矩阵组成的代数.F(X),N2(X),P(X)和F1(X)分别表示B(X)中的有限秩算子,平方幂零算子,幂等算子和一秩算子组成的集合.设T∈B(X),用kerT,rankT和T∗分别表示T的核,T的秩和T的伴随算子.

设T∈B(X),如果存在a,b∈C使得(T−aI)(T−bI)=0,则称T是二次算子.用A2(X)表示B(X)中全体二次算子组成的集合.由文献[8]的公式2.1,可得

对任意的x∈X,f∈X∗{0},表示X上一秩算子,即

注意到任意的一秩算子都是二次算子且

显然,f(x)=0当且仅当是平方幂零算子;f(x)=1当且仅当是幂等算子.

本文的主要结论如下:

定理 1.1设X是具有无限重复度的复Banach空间且Φ:B(X)→B(X)是可加满射,

则以下叙述等价.

(1)Φ双边保持二次算子;

(2)存在c∈C{0},X上的有界线性(或共轭线性)算子A以及B(X)上的可加映射f使得对任意的T∈B(X),有

或存在c∈C{0},从X∗到X上的有界线性 (或共轭线性)算子A以及B(X)上的可加映射f,使得对任意的T∈B(X),有

定理 1.2设n≥3且Φ:Mn(C)→Mn(C)是可加满射,则以下叙述等价.

(1)Φ双边保持二次算子;

(2)存在c∈C{0},C上的环自同构τ,非奇异矩阵A∈Mn(C)以及可加映射ϕ:Mn(C)→C使得对任给的(tij)∈Mn(C),有

(i)Φ((tij))=cA(τ(tij))A−1+ϕ((tij))In或

(ii)Φ((tij))=cA(τ(tij))trA−1+ϕ((tij))In.

2 二次算子的基本性质

这部分给出了二次算子的一些基本性质,为了提高可读性和完整性,本文给出基本的证明.

引理 2.1设I∈B(X)是单位算子,则I不能表示成三个平方幂零算子的和.

证明假设存在Ni∈N2(X)(i=1,2,3)使得

不失一般性,设Ni/=0(i=1,2,3).令X1=kerN1.首先证明X1是Ni(i=1,2,3)的不变子空间.显然,X1是N1的不变子空间.由

等式(2.1)两边分别左乘N1得N1x=2N1N2x,即N1(N2x)=0.因此,N2x∈kerN1=X1.类似地,可以证明X1是N3的不变子空间.

根据X1是Ni(i=1,2,3)的不变子空间,则N2x,N3x∈X1.因此,

这与单位算子I不能表示成两个平方幂零算子的和相矛盾.综上所述,单位算子I不能表示成三个平方幂零算子的和.

接下来给出一秩幂等算子和平方幂零算子的线性组合是二次算子的充分必要条件.记

定理 2.2设N∈N2(X),P∈P1(X),则以下叙述是等价的:

(1)cP+N∈A2(X),其中c∈C{0};

(2)N=PN,NP=0,或N=NP,PN=0.

证明取P=x⊗f∈P1(X),其中x∈X,f∈X∗使得f(x)=1.

(1)⇒(2).设存在c∈C{0}使得cP+N∈A2(X),则由文献 [8]的命题 2.2可知存在a∈C使得

其中β=ac−1.下面来证明β=0.假设β/=0.分两种情况来考虑.

(i)当dimX=∞时.由等式(2.2)可得:

由于rank(NP+PN)2−2NPN＜∞而rankβ2I=∞,矛盾.

(ii)当dimX=n＜∞时.等式(2.2)两边分别求迹可得

给等式(2.2)两边分别左乘P有−PNP=βP,给上式两边也分别求迹可得：tr(NP)=−β.结合等式 (2.4)可知 tr(I)=2,这与 dimX≥3相矛盾.因此,β=0且N=NP+PN.等式(2.2)两边分别左乘N得NPN=0.根据得Nx=0或N∗f=0.如果Nx=0,

则

如果N∗f=0,则

(2)⇒(1)显然,N是一秩算子.如果N=NP,PN=0,则存在c∈C{0}使得

因此,cP+N∈A2(X).同理,如果N=PN,NP=0,则存在c∈C{0}也有cP+N∈A2(X).

定理 2.3设A,B∈N2(X)且rankA＞1,rankB＞1,假定对任给的有限秩算子F,A+F∈CI+N2(X)当且仅当B+F∈CI+N2(X),则存在α∈C{0}使得B=αA.

证明首先证明kerA=kerB且AB=BA=0.

对任给的x∈kerA,则在空间分解X={x}˙+X1,下,A和B有如下的矩阵表示:

其中rankA12≤1且B11是常数.由A,B∈N2(X)可得

下面分两种情况讨论.

(i)当A12/=0时.对α∈C{0},令

显然,A+F∈N2(X)⊆CI+N2(X),进而可得B+F∈CI+N2(X),所以存在λ∈C,N∈N2(X)使得B+F=λI+N.由引理2.1可得λ=0.因此,B+F=N.这意味着

即A12B21=0,B21A12=0且B11A12+A12B22=0.因此,B21=0,结合等式 (2.5)可得.由于B11是常数,则B11=0.因此,Bx=0,即x∈kerB.

(ii)当A12=0时.则存在y∈X使得Ay/=0.令x1=Ay.则x1∈kerA.在空间分解下,A有如下的矩阵表示

由Ay/=0可得.类比情形(i)可知Bx1=0.令x2=x+x1∈kerA.由x,y,Ay线性无关得x2,x,y也线性无关.所以存在f∈X∗使得f(x2)=1且f(x)=f(y)=0.令X3=kerf.显然,x,y∈X3.在空间分解下,A有如下矩阵表示

假设存在x∈X使得Ax和Bx线性无关,则Ax,x和Bx也线性无关.令

显然,X4是A和B的不变子空间.在空间分解下,A和B有如下的矩阵表示

其中

令

其中

且a/=0.则

因此,B+F∈CI+N2(X).然而,

3 主要定理及证明

为了证明本文的主要定理,首先给出下面的引理,其证明过程与文献[8]的推论3.1类似.

引理 3.1设Φ:B(X)→B(X)是双边保持A2(X)的可加满射,则

(1)Φ(CI)=CI.

(2)Φ是单射.

(3)Φ双边保持CI+N2(X).

定理 1.1的证明只需证明(1)⇒(2).由引理3.1可知Φ是双边保持A2(X)的可加双射,下面来完成定理的证明.

第一步:Φ(CI+CP1(X))=CI+CP1(X)且 Φ(CI+N1(X))=CI+N1(X).

首先证明

Φ(CI+CP1(X))=CI+CP1(X).

任取P∈P1(X).不妨设,其中x∈X,f∈X∗且f(x)=1.则Φ(P)∈CI+CP(X).不失一般性,设 Φ(P)=λI+µQ,其中λ,µ∈C,µ/=0,Q∈P(X).因为 Φ(P)是二次算子,所以存在λ1,λ2∈C 且λ1/=λ2使得 (Φ(P)− λ1)(Φ(P)−λ2)=0.则在空间分解

下,Φ(P)有如下的矩阵表示:

下面证明:

这意味着Q∈P1(X).则Φ(CI+CP1(X))⊆CI+CP1(X).如果

其中dimXi=1(i=1,2,3,4).对任给的a,b,c,d∈C{0},取

令

则Ti和Φ(P)相似,因此,Ti∈A2(X).因为Yi,Zi∈N2(X)且Φ双边保持CI+N2(X),所以

其中λi,µi∈C,Mi,Ni∈N2(X).由Yi+Zi∈N2(X)可得Mi+Ni∈N2(X).注意到

则P+Mi+Ni∈A2(X).根据a,b,c,d的任意性,结合定理2.2可得

或

下列叙述之一成立:

(1)如果Mi=MiP,PMi=0,则Ni=NiP,PNi=0,反之亦然;

(2)如果Mi=PMi,MiP=0,则Ni=PNi,NiP=0,反之亦然.

假设Mi=MiP,PMi=0.因为P+Mi+Ni∈A2(X),根据定理2.2可得:Mi+Ni是一秩算子,

或

如果Ni=PNi和NiP=0成立,则 (Mi+Ni)P=Mi和P(Mi+Ni)=Ni成立,矛盾.因此,Ni=NiP,PNi=0.同理,反之也成立.类似地,如果Mi=PMi和MiP=0成立,则Ni=PNi和NiP=0成立.

下列的论断成立:

(3)如果M1=M1P,PM1=0,则M2=PM2,M2P=0,反之亦然;

(4)如果N1=N1P,PN1=0,则N2=PN2,N2P=0,反之亦然.

事实上,如果M1=M1P,PM1=0和M2=M2P,PM2=0同时成立,则

在这种情况下,

即M1+M2∈N2(X).根据定理2.2可得P+M1+M2∈A2(X).因为

则由引理3.1和Φ双边保持A2(X)可得Φ(P)+Y1+Y2∈A2(X).然而,通过选择合适的a和c可使 Φ(P)+Y1+Y2的谱包含异于λ1和λ2的其它元素,这与 Φ(P)+Y1+Y2∈A2(X)相矛盾.因此,如果M1=M1P,PM1=0,则M2=PM2,M2P=0.同理,反之也成立.类似地,如果N1=N1P,PN1=0,则N2=PN2,N2P=0.

另一方面,因为 Φ(P)+Y1+Z2∈A2(X)且

则P+M1+N2∈A2(X).由定理2.2可得:M1+N2是一秩算子,

或

不失一般性,假设

类似地,M1=M1P,PM1=0和N2=N2P,PN2=0同时成立,矛盾.

因此,min{dimker(Φ(P)−λiI):i=1,2}=1.故

同理,Φ−1(CI+CP1(X))⊆CI+CP1(X).因此,Φ(CI+CP1(X))=CI+CP1(X).

下面来证明

对任给的N∈N1(X),不妨设且g(x)=0.取f∈X∗使得f(x)=1.令

由

可得N+P是二次算子,则存在λ1,λ2,µ1∈C,N1∈N2(X),Q1∈P1(X)使得

根据Φ双边保持二次算子可得M+µ1Q1是二次算子.由定理2.2可知M∈N1(X),即

同理,Φ−1(CI+N1(X))⊆CI+N1(X).因此,Φ(CI+N1(X))=CI+N1(X).

注意到第一步对于X是有限维的情况也是成立的.

第二步:存在c∈C{0},X上有界线性(或共轭线性)算子A以及F(X)上的可加映射f,使得对任给的F∈F(X)有

或存在c∈C{0},从X∗到X的有界线性(或共轭线性)算子A以及F(X)上的可加映射f,使得对任给的F∈F(X)有

其中ai,µi∈C,yi∈X,gi∈X∗满足gi(yi)=0或者gi(yi)=1.定义

根据X是无限维和

可得F的表示和f(F)是独立的.因此,和f是可加的.

因而存在λ1,λ2∈C使得

则

(i)存在环自同构τ:F→F以及τ-拟线性双射A:X→X和C:X∗→X∗使得

对所有x∈X及f∈X∗都成立;

(ii)存在环自同构τ:F→F以及τ-拟线性双射A:X∗→X和C:X→X∗使得

对所有x∈X及f∈X∗都成立.

显然,

则存在c∈C{0}使得对所有的x∈X和f∈X∗都有

类似于文献 [5]的定理 2.5.2的证明可知A是有界线性 (或共轭线性)算子.因此,对任意的和y∈X有

其中λi∈C,xi∈X,fi∈X∗.则

故对任给的F∈F(X)有Φ(F)=cAFA−1+f(F)I.

第三步:对任给的N∈N2(X)有 Φ(N)=cλNI+cANA−1,其中c,λN∈C.

定义

显然,Ψ是双边保持二次算子的可加双射,且对任给的F∈F(X)有

根据Φ双边保持CI+N2(X)可得Ψ也双边保持CI+N2(X).则对无限秩算子N∈N2(X),存在λN∈C,M∈N2(X)使得 Ψ(N)=λNI+M,注意到 rankM＞1.因为 Ψ 双边保持CI+N2(X),所以存在F∈F(X)使得

则N+F∈CI+N2(X)当且仅当M+F∈CI+N2(X).由定理2.3可得:存在α∈C{0}使得M=αN.因此,Ψ(N)=λNI+αN.

下面只需要证α=1即可.取x∈X使得Nx/=0.则在空间分解X={Nx}˙+X6下,N有如下矩阵表示

其中N12是一秩的,且N12/=0.令

显然,N1,F1∈N2(X)且F1∈F(X).则 Ψ(N1)=λN1I+βN1,其中λN1,β∈C.因为

结合 Ψ(N)=λNI+αN可得

再由引理2.1可知

因为αN=βN1+F1+N1−N1=(β −1)N1+N,所以 (α−1)N=(β −1)N1.由于N/=N1,则α=1,β=1.因此,对任给的N∈N2(X)有 Ψ(N)=λNI+N.

第四步:存在c∈C{0},X上的有界线性(或共轭线性)算子A以及B(X)上的可加映射f,使得对任意的T∈B(X),有

或存在c∈C{0},从X∗到X上的有界线性 (或共轭线性)算子A以及B(X)上的可加映射f,使得对任意的T∈B(X),有 Φ(T)=cAT∗A−1+f(T)I.

事实上,如果还存在n(n≤8)个平方幂零算子使得,则

由 (3.3)可得

则定义

显然,f2是可加映射.因此,Ψ(T)=T+f2(T)I,∀T∈B(X).定义

根据f2是可加映射可知f是可加映射.因此,对任给的T∈B(X),

类似地,对于情形(ii)有

定理 1.2的证明只需要证明(1)⇒(2).取

是所有迹为零的矩阵组成的集合,N1是所有一秩幂零矩阵组成的集合.我们知道sln(C)是N1可加张成的空间.注意到定理1.1第一步的证明对X是维数不小于3的有限维也成立.因此,

即对任给的N∈N1,存在f(N)∈C和˜Φ(N)∈N1使得

将f和延拓到sln(C)上.事实上,对任给的T∈sln(C),如果存在Tij∈N1使得

显然,f和是可加的,且,∀T∈sln(C).

故由引理3.1可得T=0,即˜Φ是双边保持一秩幂零性的可加双射.由文献[2]中的定理 2.4可得:存在 C上的环自同构τ,可逆矩阵A∈Mn(C)以及c∈C{0}使得对任给的(tij)∈sln(C)有

假设 (i)成立,对T=(tij)=n−1tr(T)In+(T−n−1tr(T)In)∈Mn(C)有

其中

显然,ϕ是可加的.即定理1.2(2)的(i)是成立的.如果(ii)成立,则定理1.2(2)的(ii)成立.

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Additive maps preserving quadratic operators

Meng Hongye,Ji Guoxing
(Department of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710119,China)

LetXbe an in fi nite dimensional complex Banach space with in fi nite multiplicity or a fi nite dimensional Banach space with dimX≥3 andB(X)be the Banach algebra of all bounded linear operators onX.In this paper,we fi rst prove that identity operator is not the sum of three square-zero operators,the block operator matrix technique is used to obtain the essential feature of square-zero operators.Based the given feature,we characterize the structure of additive surjective maps onB(X)that preserve quadratic operators in both directions.

quadratic operator,idempotent operator,square-zero operator,additive map

2010 MSC:47B49,47L10

O177.1

A

1008-5513(2017)06-0600-15

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.006

2017-11-21.

国家自然科学基金(11371233).

孟红叶(1992-),硕士生,研究方向：算子代数与算子理论.