基于平均驻留时间的切换模型参考自适应控制方法的研究

伍彩云

(沈阳理工大学 装备工程学院,沈阳 100159)

基于平均驻留时间的切换模型参考自适应控制方法的研究

伍彩云

(沈阳理工大学 装备工程学院,沈阳 100159)

研究切换系统的被控对象存在参数不确定性的情形，解决切换模型参考自适控制系统的状态跟踪控制问题。通过建立误差切换系统，根据李雅普诺夫稳定性理论,利用平均驻留时间(ADT)方法得到充分条件，通过设计切换规则，解决闭环系统的状态跟踪问题，并且通过仿真验证了方法的有效性。

模型参考自适应控制；切换系统；切换律；状态跟踪

实际的控制系统，往往同时含有连续时间动态和离散时间动态，此时单纯地用连续时间动态系统或离散时间动态系统来描述系统已经不再实用。通常将这种具有连续时间动态和离散事件动态的动态系统称为混杂系统。由于系统特性，这种离散动态与连续动态的相互耦合使得传统的系统分析和控制器设计方法难以应用于混杂系统。但是，正是由于混杂系统比连续系统或者离散系统更能精确地描述实际控制系统，因此针对此类系统的控制问题研究已经逐渐成为当今控制领域的研究热点之一[1-2]。切换系统，作为一类特殊的混杂系统，许多的大系统跟随周围环境的变化使得该类系统呈现多个模态，因此在实际工程中具有非常广泛的应用[3-4]。例如：切换的网络化控制系统、飞行器控制、航空发动机控制、机器人行走切换控制、燃油化工过程控制等[5-6]。并且，近些年来，切换系统在控制理论的不断发展与完善也为大规模的实际系统的设计和控制提供了理论依据和技术指导。

另一方面，控制器的设计往往依据于系统的数学模型进行设计，因此，控制器的控制效果很大程度上依赖于模型的精度。然而，在实际中，系统的参数往往随着环境变化或本身就不可测，这给建立精确数学模型带来很大难度；另外，在对系统进行建模的过程时，测量误差和外界扰动等因素的存在使得获得精确描述的数学模型几乎成为不可能。因此，在建模不准确的情况下，研究如何处理这些不确定性，设计控制器使系统实现期望的控制目标是非常必要的。作为处理这种不确定性的一个有效方法，自适应控制已经被大量的应用于实际中[7]。其中，模型参考自适应是比较流行的自适应控制方式之一[8-9]，该方法主要是针对具有未知常参数的被控对象，首先设置一个动态品质优良的参考模型，在系统运行过程中，通过动态反馈控制器及自适应律，使得被控对象的动态特性与实现给定的参考模型动态特性尽量接近。

近些年来，对具有未知常参数切换系统的研究逐渐得到重视。由于在实际系统中普遍存在参数的不确定性的情形，对切换系统自适应控制的研究得到很大的关注，已经成为控制理论领域的研究热点之一。Narendra等提出了基于多模型自适应控制器，在达到系统的控制目标的同时也提高了系统的性能[10]。Chiang等研究了一类单输入单输出切换系统的变结构自适应控制问题，然而由于其所给定的参考模型必须是相同的，因此限制了控制器设计的灵活性[11]。文献[12]中研究了一类分段线性切换系统的模型参考自适应状态跟踪控制问题。文献[13]中，分别使用输出反馈和状态反馈解决了一类单输入单输出分段线性切换系统的输出跟踪问题，由于上述设计要求切换信号不仅仅需要满足平均驻留时间，同时也要满足其划分的状态空间，因此控制器的实现具有一定的难度。文献[14]中对于一类切换系统使用超稳定理论。文献[15]中提出了模型参考自适应鲁棒控制方法，分别得到了任意切换信号下闭环系统信号有界性。文献[16]中研究了一类离散分段线性系统，通过切换解决了状态跟踪控制问题，但是由于其要求参考模型具有共同的李雅普诺夫函数，研究结果具有一定的保守性。由于未知参数的存在使常规的控制理论方法难以在系统分析和设计中进行直接使用，同时，系统切换特性的存在更增加了分析和设计的难度，因此，对于切换的参考模型，以及切换的被控对象，研究状态跟踪控制问题，具有非常重要的理论及实际意义。

本文研究切换模型参考自适控制系统的状态跟踪问题。当切换被控对象存在不确定性的时候，根据李雅普诺夫稳定性理论，利用平均驻留时间给出一些充分条件，通过设计切换规则和切换自适应控制器处理未知常参数和切换特性的关系，利用慢切换，使得闭环系统的状态跟踪问题可解。

本文的主要特点在于：首先，针对一类带有不确定性参数的切换系统进行研究，此类系统在实际工程领域非常广泛，具有非常重要的意义；其次，本文的研究结果基于切换系统满足一定的时间条件，有效的避免了切换系统频繁切换情况，丰富了切换系统理论研究的结果。

1 问题描述

考虑如下切换系统

(1)

式中：x(t)∈Rn为系统的状态；u(t)∈Rq为系统的控制输入；σ(t):[0,+)→Ξ={1,…,M}为切换信号；M>0为子系统的个数；Ai(i∈Ξ)和Bi为含有未知常参数的矩阵。

参考模型的状态方程为

(2)

式中：Ami∈Rn×n为Hurwitz 矩阵；Bmi∈Rn×q为输入矩阵；r(t)∈Rq为有界输入信号；xm(t)为参考模型的状态。此时，定义状态跟踪误差为e(t)=

x(t)-xm(t)。

本文的控制目标是找到一类切换信号，通过设计一个自适应控制律，使得状态跟踪误差e(t)最终收敛到一个以原点为圆心的超球域内。

下面，对切换系统(1)和切换参考模型(2)，给出传统模型参考自适应控制中的两个标准假设[8]:

(3)

(4)

2 切换参考模型的稳定性分析

根据文献[12-13]可知，对任意的t>t0,记t0

(5)

是指数稳定的，那么利用相同的切换规则，切换参考模型(2)具有有界输入有界状态稳定性能。显然，存在满足λm>0的常数λm,使得下面的不等式成立

(6)

对于切换参考模型(2)，选取Lyapunov函数：

(7)

≤-2λmVmi(xm(t))

(8)

(9)

Vmi(xm(t))≤μmVmj(xm(t)), ∀i,j∈Ξ,i≠j

(10)

根据式(8)、式(9)、式(10)以及文献[14]，可知，齐次系统(5)在满足ADT

(11)

的任意切换信号σ(t)作用下都是指数稳定的，并且齐次系统(5)是指数稳定的，即

3 误差切换系统的建立

为解决本文提出的切换系统的模型参考自适应状态跟踪控制问题，首先利用切换系统(1)和切换参考模型(2)建立一个误差切换系统，将状态跟踪控制问题转化为误差切换系统的控制问题。

针对切换系统(1)，使用控制器形式如下

(12)

根据式(1)、式(2)及式(12)，得到闭环系统

(13)

由切换参考模型(2)和闭环系统(13)，得到误差切换系统

(14)

因此，可以将切换系统(1)的模型参考自适应状态跟踪控制问题，转化为通过设计切换自适应控制器(12)来解决误差切换系统(14)稳定性问题。为此，下面给出本文中一个主要的定义:

定义1(全局实用稳定性)[8]：考虑系统(14)，对给定常数r*>0, 如果存在切换信号σ(t)和常数T*=T*e(t0),r*≥0,使得对t≥t0+T*有et;t0,e(t0) ∈S(r*)=e‖e‖≤r*成立，此时，称系统(14)(相应于r*)是全局实用稳定的。

4 误差切换系统的控制器设计

利用李雅普诺夫稳定性理论，对误差切换系统(14)设计自适应控制器，并且利用平均驻留时间方法找到一类切换信号，使得误差切换系统(14)的控制问题可解。

当已知控制器参数的上界和下界时，根据文献[13]，得到如下参数投影自适应规则

(15)

令

(16)

对闭环误差切换系统(14)和(15)选取Lyapunov函数

(17)

当第i个子系统被激活的时候，对(17)式沿着(14)式及(15)式取时间的导数得

(18)

(19)

令

(20)

由式(17)和式(20)，可得

eT(t)Pie(t)≤Vi(z(t))≤eT(t)Pie(t)+ρ

(21)

显然，有下面不等式成立

(22)

根据文献[8]，误差切换系统(14),得到Vi(z(t))的两个性质。

Vi(z(t))≤exp(-2λe(t-t0))Vi(z(t0))

(23)

(2)对于任意的r2>0, 如果e(t)∈Rn/S(r2),有下面不等式成立:

Vi(z(t))≤μeVj(z(t)), ∀i,j∈Ξ,i≠j

(24)

下面，得出本文的主要结论。

定理1：考虑误差切换系统(14)，对于任意的r0>max{r1,r2}, 抖振界N0>0及r*>0, 如果存在正定矩阵Pi及一个常数λm>0，使得线性矩阵不等式(6)成立，那么，误差切换系统(14)满足下面的平均驻留时间条件的任意切换信号σ(t)

(25)

作用下是全局实用稳定的。

对任意e(tk)∈Rn/S(r0), 根据性质1和2，有下式成立

V(z(t)) ≤exp( -2λe(t-tNσ(tk,t)))V(z(tNσ(tk,t)))

=exp(Nσ(tk,t)lnμe-2λe(t-tk))V(z(tk))

综合式(23)和式(24)得到

=μeexp(Nσ(tk,t)lnμe-2λe(t-tk))‖e(tk)‖2

也就是

(26)

(27)

因此，当e(tk)∈Rn/S(r0)时，如果切换信号σ(t)满足式(25)，那么一定存在Tk=Tke(tk),r0≥0使得‖e(tk+Tk)‖=r0成立。同时，由于T0=T0e(t0),r0≥Tk，所以，如果当t=tk时，状态跟踪误差e(t)的轨迹在超球域S(r0)外，那么当t>tk时，该轨迹一定会到达这个超球域的边界。

证毕。

(28)

的作用下是渐近稳定的。

证明：此证明由文献[13]的结果很容易得到。

5 仿真算例

通过对一个HiMAT飞行器进行仿真，以此验证本文所提出方法的有效性。

根据文献[14]，选择如表1所示包络线内的两个工作点的数据，假设该两个线性模型能够描述HiMAT飞行器在以上两个工作点邻域内的动态行为，通过利用顺序纵向短周期线性模型构造一个切换系统。系统状态为x=x1(t),x2(t)T, 其中x1(t)和x2(t)分布代表迎角与俯仰角速率，控制输入为u=u1(t),u2(t)T,u1(t)和u2(t)分别代表升降副翼角度和鸭翼角度。

表1 HiMAT 飞行器的两个工作点

切换系统中参数如下[15,18]：

切换参考模型式(2)的参数如下：

切换参考模型的输入信号为r(t)=sin(0.2πt)+sin(πt).通过式(6)得

图1 切换信号

图2～图5分别给出误差切换系统在切换信号σ(t)作用下的仿真结果。其中，图2～图3为e(t0)=(0.02, -0.02)T的状态误差曲线和控制曲线，此时‖e(t0)‖≤r*。图4～图5为e(t0)=(25,-25)T的状态误差曲线和控制曲线，此时‖e(t0)‖≥r*。

图2 状态跟踪误差 (e(t0)=(0.02,-0.02)T)

图3 控制曲线(e(t0)=(0.02,-0.02)T)

图4 状态跟踪误差 (e(t0)=(25,-25)T)

图5 控制输入曲线 (e(t0)=(25,-25)T)

6 结论

本文研究了具有被控对象具有未知常参数的切换模型参考状态跟踪控制问题。为了让切换的参考模型的状态输出是有界信号，首先给出了一个充分条件，使得切换参考模型具有有界输入有界状态性质；然后，根据切换被控对象和切换参考模型建立误差切换系统，设计自适应控制器处理未知常参数和切换特性的关系；最后使用切换系统的平均驻留时间方法，得到了误差切换系统的全局实用稳定性条件，使得具有未知常参数的切换系统的状态跟踪控制问题可解。本文研究的系统在现实控制系统中广泛存在，得到的控制方法有效实现了系统的跟踪性能，具有重要的研究意义。

[1] Liberzon D.Switching in systems and control[M].Boston:Birkhauser,2003.

[2] Pettersson S.Analysis and design of hybrid systems[D].Goteborg,Sweden:Chalmers University of Technology,1999.

[3] Liberzon D,Morse A S.Basic problems in stability and design of switched systems[J].IEEE control systems magazine,1999,19(5):59-70.

[4] He X,Zhao J.Multiple lyapunov functions with blending for induced L2-norm control of switched LPV systems and its application to an F-16 aircraft model[J].Asian Journal of Control,2014,16(1):149-161.

[5] Wang X,Zhao J,Sun X M.Overshoot-free Acceleration of Aero-engines:An energy-based Switching Control Method[J].Control Engineering Practice,2016(47):28-36.

[6] 冯冲,张东好,罗禹贡,等.混合动力客车自适应巡航控制研究[J].汽车工程,2017,39(1):66-72.

[7] 伍彩云.切换系统的模型参考自适应状态跟踪控制[D].沈阳：东北大学,2013.

[8] 伍彩云,关帅.状态跟踪问题的切换自适应控制策略[J].沈阳理工大学学报,2014,33(3):10-15.

[9] 祝庚,孙振东.切换线性系统的聚合优化[J].控制理论与应用,2013,30(7):815-820.

[10]Narendra K S,Balakrishnan J.Adaptive control using multiple models[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1997,42(2):171-187.

[11]Chiang M L,Fu L C.Variable structure model reference adaptive control of unknown switched linear systems with relative degree greater than one[C]//in Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.Shanghai,China,2009:4240-4245.

[12]Sang Q,Tao G.Adaptive control of piecewise linear systems:the state tracking case[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(2):522-528.

[13]Sang Q,Tao G.Adaptive Control of Piecewise Linear Systems with State Feedback for Output Tracking[J].Asian Journal of Control,2013,15(4):933-943.

[14]Hou Y,Dong C Y,Wang Q.Adaptive control scheme for linear uncertain switched systems[C]//in Proceedings of AIAA Guidance,Navigation and Control Conference and Exhibit,Honolulu,Hawaii,2008:1-12.

[15]Wang Q,Hou Y,Dong C.Model reference robust adaptive control for a class of uncertain switched linear systems[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2012,22(9):1019-1035.

[16]Bernardo D M,Montanaro U,Olm J M,et al.Model reference adaptive control of discrete-time piecewise linear systems[J].International Journal of Robust and Nonlinear Control,2013,23(7):709-730.

SwitchingAdaptiveControlSchemefortheStateTrackingProblem

WU Caiyun

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

The state tracking problem is investigated for switched systems with parametric uncertainty.This problem is converted into the stability problem of an error switched system.By using Lyapunov stability theory and the average dwell time method,some sufficient conditions are given to guarantee the stability of the error switched system. Finally,a simulation example is given to illustrate the proposed method.

model reference adaptive control;switched system;switching law;state tracking

2017-05-19

国家自然科学基金青年基金资助项目(61603264);辽宁省博士启动基金资助项目(201601183);辽宁省优秀人才支持计划(LJQ2015094)

伍彩云(1976—),女，副教授，博士，研究方向：自适应控制、切换系统等。

1003-1251(2017)06-0020-06

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马金发)