成本约束下突发事件供应链协调模型

李业凤，李 芳 （上海理工大学 管理学院，上海 200093）

0 引言

随着科技的发展，全球经济正在进入一个由供应链引领的时代。在这个背景下，供应链网络建模和分析的主题从实际和研究的视角吸引了人们极大的兴趣。供应链最早来源于现代管理之父的管理大师彼得·德鲁克提出的“经济链”，后经由迈克尔·波特发展成为“价值链”，最终演变为“供应链”。目前，大多数关于供应链协调的研究都是建立在供应链网络的内部和外部环境都是稳定的基础上，但是当供应链网络内部或外部环境发生变化时，例如自然灾害、机械故障、工人罢工等，均会导致供应链系统的终断。这些突发事件除了导致巨大的人员伤亡和财政损失之外，还严重影响了供应链网络的正常运行。基于这一现象，供应链需求扰动管理和协调机制已成为科学界和企业界的一个活跃的研究课题。为了确保供应链能够满足需求和供应不确定性，研究人员提出了一些协调模型来应对供应链风险。在此基础上，我们对一个供应商和一个零售商在需求发生扰动后的协调情况进行调查。

供应链突发事件应急管理（supply chain disruption management）的概念最先是由Causen等[1]人提出。此后，对于供应链系统应急管理的研究取得较快的进展。Qi等[2]人假定价格需求函数为非线性且单位成本为一个常数的条件下，针对突发事件导致市场规模发生变化时，通过数量折扣契约协调突发事件下的供应链。Tomlin等[3]人通过增加供应商的个数，加急的运输方式应对突发事件导致的供应链中断的问题，并且通过仓库的合理布局从而提高供应链的柔性。XIAO等[4]人研究了需求变化下，由一个供应商和两个零售商组成的供应链应急协调。Abad等人研究了数量折扣契约下的供应链协调。王玉燕[5]和姜丽宁[6]等研究突发事件造成市场需求发生变化时，供应链如何运用回购契约和目标回购契约进行供应链协调的问题。Wang（2005）[7]研究了多资源多产品策略，在产品需求不确定时应对突发事件的最优策略。黄欣（2005）[8]研究了当突发事件导致供应链扰动时，针对库存管理采取应急措施能使其快速恢复到正常状态。丁玲（2006）[9]对供应链环境中的突发事件成因与影响因素进行了研究分析，提出预测防御措施来应对即将到来的危机。傅克俊等（2007）[10]对供应链系统所面对的风险进行了分类，提出了供应链系统应急的策略体系。在供应链管理的波及效应管理方面，杨智辉（2010）[11]研究了由一个供应商和一个零售商组成的短生命周期商品的供应链，当突发事件造成零售商面临的市场需求发生变化和供应商的生产成本产生波动时的供应链协调应对策略，研究发现通过数量折扣契约可以实现供应链波及效应的协调应对。针对一个供应商和一个零售商组成的易逝品供应链，高波等（2011）[12]研究了在市场需求和价格同时对响应时间敏感的情况下，如何利用收入共享契约协调供应链应对突发事件，给出了供应链优应对。覃艳华（2012）[13]等考虑了二级供应链在随机市场需求下突发事件导致市场需求发生变化且变化后的需求信息是不对称信息时的供应链协调问题。曹细玉等（2012）[14]探讨了突发事件导致市场需求和零售商边际成本同时变化且变化后的零售商边际成本是不对称信息时回购契约对供应链的协调作用。曹二宝[15]探讨了利润共享合约下供应链对突发事件的协调应对。

本文研究了针对一个供应商和一个零售商构成的一个短生命周期的二级供应链，假设实际市场需求是市场价格的递减函数，并假设供应商和零售商所获取的需求信息均是对称的，供应链的所有合作伙伴都是风险中性。同时假设生产成本为市场实际需求的凸函数。因此，供应链协调过程可被描述为：在销售季开始之前，零售商根据市场需求决定最优订购数量，供应商则根据对产品需求市场的预测以及零售商的反应决定生产数量和对零售商的单位批发价格。

在本研究中，突发事件的发生导致市场需求扰动，从而使零售商的订货量和供应商的生产计划发生改变。为了使供应链在突发事件下能够实现协调，在引入因市场需求增加或减少而带来的惩罚成本的同时，需要重新设计约束条件，才能使供应链有效应对突发事件。

1 基本模型与假设

考虑一条由一个风险中性的供应商和零售商组成的二级供应链，研究由于突发事件引起的市场需求扰动的供应链协调问题。供应商以单位批发价向零售商销售产品，然后零售商将产品销售给最终客户。假设单位生产成本为C，零售商的零售价格为P，这是由市场竞争自发形成的。市场需求为d（即供应商的生产数量，零售商的最优订购量）。零售商面临的市场价格需求函数为d=D－kP，其中D＞0表示市场规模（即市场的最大需求），k＞0表示价格敏感系数。设Q为零售商的订货量，T（Q）为零售商对供应商的转移支付。则有供应商的利润为fs=T（Q ）－CQ，零售商的利益为fr=PQ－T（Q），由于供应商必须满足零售商的订购量，因此有d=Q，由d=D－kP得P=（D－ Q ）/k。此时供应链系统的利润为：

由一阶最优性条件可知，存在唯一的最优订货点Q*，使得供应链系统的利润取得最大化。令∂fsc/∂Q=0，可得最优订货量、最优零售价格和供应链系统的最大利润分别为Q*=（D－k C ）/2，P*=（D+k C ）/2k,f*sc=（D－kC ）2/4k。当供应链利润取得最大化时，如何划分供应链渠道成员之间的利润，并引进何种协调机制才能使得供应商的生产数量Q和零售商的零售价格P取得最优是供应链协调研究的两大重要问题。在此，当单一产品成本为一个常数时，我们引进一个数量折扣契约来协调上述供应链系统。令T（Q）=W（Q） Q，W（Q）为供应商的批发价格。

引理1假设供应链在数量折扣契约下是协调的，则有对于任意的η，0＜η＜1，有fr=（1－η ） fsc。

引理2 对于任意 η，0＜η＜1，设W（Q）=（1－η ） C+η（ D－ Q ）/k，则fr=（1－η ） fsc，即供应链在数量折扣契约下实现了协调。

证明：对于任意的 η，0＜η＜1和T（Q）=W（Q） Q有fr=PQ－T（Q）=PQ－W（Q） Q，即fr=Q（ D－ Q ）/k－［（1－η ） C+η （（D － Q ）/k ）］Q从而有fr=［－（1－η ） C+（1－η ）*（D－Q ）/k］ Q，最后得出fr=（1－η ） Q ［（D－ Q ）/k－C］=（1－η ） fsc。由引理1，得证。

以上假设均是在单位成本为一个常数下取得的。在现实生活中，生产成本会因各种因素扰动而发生变化，因此有引理3。

引理3 假设C（Q ）是Q的凸函数，令C（Q）=aQ2+bQ,（a＜0 ），对于任意的Q＞0，有［C（ Q ）/Q］'≥0。即Q［ C（ Q ）］'－C（Q）≥0。由引理2可知，假设C（Q ）是Q的凸函数，原数量折扣契约也能使供应链协调。

2 集权供应链应对突发事件

集权供应链指供应商和零售商属于同一集团，由同一管理者统一决策，实现供应链系统利润最大化。当供应商根据零售商的最优订货量开始生产之后，突发事件发生了。此时突发事件的发生导致市场规模由原来的变为，则变化之后的市场价格需求函数为d。设Q为市场的实际需求（或零售商的实际订购数量），则变动后零售商的实际零售价格为P。此时，原计划所取得的利润有可能不是最优的，并且不论ΔD＞0还是ΔD＜0，都将招致惩罚成本。则供应链系统的利润为：

λ1表示发生突发事件打破了原有计划而增加的产品的单位成本，λ2表示打破了原有计划而对剩余产品的单位处理费用。其中｛x｝+=max｛ x,0 ｝。在现实生活中，增加的额外成本非常常见，但是增加的额外成本一般不会大于边际生产成本，即λ1,λ2≤C'（Q ）（Q＞ 0）。

假设 1λ2－C'（Q ）≤C'（Q），即λ2≤2C'（Q）

假设fsc（Q）在Q*时取得最优，当ΔD＞0时，有；当ΔD＜0时，有Q*≤。因此，当ΔD＞0时式（2） 的优化问题可变为：

由一阶最优性）=0，得：

因为Q1满足因此有在此ΔD分为两种情形进行讨论：情形1，ΔD≥kλ1；情形 2，0＜ΔD＜λ1k。因此，情形 1 中，Q1满足由式 （4） 中可知，Q1能使式 （3） 中的（Q ）取得最优，因此，令Q*=Q1。情形2中，由于（Q ）是下的凹函数，令。因此，当ΔD＞0时，实际需求Q为：，情形 1；，情形2。

相应地，对于情形1，零售商的最优销售量求解如下：由式（3）可知因此有Q1零售商的最优销售价格为：

由此可以看出，不管市场实际需求是增加还是保持不变，零售商的零售价格都会随着市场规模的变化而增加，与此同时，供应链系统的利润也会随着增加。当ΔD＜0时，式（2）的优化问题可变为：

同理ΔD分为两种情形。情形3：－λk＜ΔD＜0；情形4：ΔD≤－λk。同理可得：情形3，，情形4。因此，情

22形3中则有零售商的最优销售价格为：供应链系统最大利润为对于情形4，零售商的最优销售量求解如下：由式（5） 可知因此有零售商的最优销售量为：

供应链系统的期望利润为：

由定理1，我们可以得出以下结论：

（1）突发事件发生后引入惩罚成本的情形下，原生产计划具有很强的鲁棒性。

（2）当突发事件造成的市场规模变化不大时，原有的生产计划不需要变动，对零售商的零售价格进行相应的调整就能应对市场需求的变化。但是当市场规模的变化超过一定的范围时，就必须对原有的生产计划以及零售商的零售价格进行调整才能使供应链重新达到平衡状态。

3 分权供应链应对突发事件

在分权式控制下，供应链成员各自是独立的经济实体并追求自身利益的最大化。我们知道，那什均衡价格等于集权式供应链的最优零售价格时，分散供应链可以被协调并且达到对突发事件的最优应对。在本文中，我们证明了当W（）Q时，数量折扣契约能使供应链协调。在分散模式下的供应链系统，我们仍沿用原数量折扣契约，并设因此，当生产成本为实际市场需求的凸函数时发生突发事件，有：W（）Q

从而有定理2：由突发事件引起的分散供应链中零售商面临的价格需求函数发生变化时，通过数量折扣契约T（Q）=W（Q） Q能使供应链协调。

4 算例分析

在上一部分，我们研究了在生产成本为凸函数时由于发生了突发事件而导致需求扰动下的供应链协调问题。为了进一步说明本文的研究结论，本部分将通过具体的算例分析来验证文中模型的正确性。假设中央决策者不知道市场规模发生变化，生产数量为的产品，零售价格仍然为。当市场规模由原来的变为，若，则市场的实际需求量Q'为：此时供应链系统的利润为时，意味着市场对该产品的需求量为0。

此时供应链的利润将为一个负值。由此得出，当中央决策者不知道市场发生扰动并且没有做出任何补救措施时，供应链的利润函数为：

由图1可知，基于成本约束下市场需求发生扰动的情形下，采用协调策略的供应链利润都比保持原计划不变不做出调整的策略要大。

图1 采用应急协调机制与保持原计划不变的差值图

5 结论

应急管理是供应链管理的重要课题。当供应链中发生需求扰动后，如果无法及时应对，供应链将损失巨大的利润。本文研究了由单个供应商和单个零售商组成的一个二级供应链，在生产成本为生产数量的凸函数的约束条件下，由于突发事件导致市场需求发生扰动的应急协调机制，得出以下结论：

（1） 对于集权供应链，在突发事件发生后引入惩罚成本的情形下，本研究给出了对于突发事件而引起的需求扰动的最优协调机制，并证明原生产计划具有很强的鲁棒性。

（2）对于集权供应链当突发事件造成的市场规模不大时，原有的生产计划不需要变动，对零售商的零售价格进行相应的调整就能应对市场需求的变化。但是，当市场规模的变化超过一定的范围时，就必须对原有的生产计划以及零售商的零售价格进行调整，才能使供应链重新达到平衡状态。

（3）对于分权式供应链，在对原有数量折扣契约进行调整后，也能实现突发事件的最优应对，且调整后的数量折扣契约具有抗突发性。

本研究仅考虑供应商成本约束下风险中性的二级供应链对突发事件的协调应对。但是在实践生活中，零售商成本常常为私有信息。因此，多个竞争零售商的二级或多级供应链的多因素扰动的供应链协调将是进一步研究的方向。

[1]Clausen J,Hansen J,Larsen J.Disruption management[J].OR/MS Today,2001,28(5):40-43.

[2]Qi X,Bard J F,Yu G.Supply chain coordination with demand disruptions[J].Omega,2004,32(4):301-312.

[3]Tomlin B.On the value of mitigation and contingency strategies for managing supply chain disruption risks[J].Management Science,2006,52(5):639-657.

[4]Xiao T,Qi X.Price competition,cost and demand disruptions and coordination of a supply chain with one manufacturer and two competing retailers[J].Omega,2008,36(5):741-753.

[5]王玉燕.回购契约下闭环供应链对突发事件的协调应对[J].运筹与管理，2009,18(6):46-52.

[6]姜丽宁，崔文田，林军.供应链应对生产能力突发事件的激励策略选择分析[J].系统工程，2011,29(12):40-45.

[7]Wang Y.On the value of mix flexibility and dual sourcing in unreliable newsvendor networks[J].Manufacturing and Service Operations Management,2005,7(1):37-57.

[8]黄欣，周永务.基于两种订购方式上的定期补给库存模型[J].合肥工业大学学报，2005,28(8)：839-843.

[9]丁玲.对供应链突发事件防御的思考[J].北方经贸，2006(5):42-43.

[10]傅克俊，胡祥培，王旭坪.供应链系统中的应急策略与模型[J].中国软科学，2007(5):119-124.

[11]杨智辉，陈宏，赵千,等.随机需求和生产成本同时扰动下的供应链波及效应[J].管理学报，2010,7(5):728-732.

[12]高波，石书生，韦诗韵.需求和价格时间敏感下供应链应对突发事件[J].控制与决策，2011,26(9):1363-1366.

[13]覃艳华，曹细玉.回馈与惩罚契约下闭环供应链应对突发事件的协调性研究[J].管理工程学报，2012,26(3):97-100.

[14]王玉燕.回购契约下闭环供应链对突发事件的协调应对[J].运筹与管理，2009,18(6):46-52.

[15]曹二保，赖明勇.利润共享合约下供应链对突发事件的协调应对[J].武汉科技大学学报（自然科学版），2007,30(5):557-560.