关注几何证明,培养逻辑思维
——几何证明中分析条件,研究求证,规范过程

2018-03-16 07:12
新课程(中学) 2018年12期
关键词:逻辑性平行本题

马 雯

(南京市栖霞区摄山初级中学,江苏 南京)

一、几何证明在初中数学学习中的重要地位

学生在小学就已经初步接触过几何,到了初中阶段,不仅要求学生进一步掌握这些图形的相关性质,还要在概念与性质基础上进行“推理与证明”。根据《义务教育数学课程标准》,7至9年级这一学段,“图形与几何”是非常重要的一部分,而其中的“推理与证明”更是数学的标志性思维方式,学生在七年级就要开始培养“合情推理”的能力。

二、从“已知”到“求证”,再从“求证”到“已知”

1.对已知条件的充分分析,具备一定的“联想发散”能力

著名数学教育家波利亚的解题理论告诉我们——解题要做到“七分构思(读题,审题,发散,归纳),三分表述(书写,运算,订正,反思与回顾)”。因此解题无外乎就是建立从已知到未知的桥梁,而这个桥梁必须承载着教材中的定理、定义以及公式,整个过程中最难的无外乎找对出路,正确搭桥。这就要求我们的学生掌握点对点之间联系的能力,就是我们所谓的“联想发散”。

如,我们在讲解“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质时:

例 1.如图 1,已知 OP平分∠MON,PA⊥OM,PB⊥ON,求证PA=PB

师:我们来分析一下,首先由第一个已知条件OP平分∠MON你能得到什么?

生:角之间的大小关系,∠MOP=∠NOP

师:那由第二个已知条件PA⊥OM,PB⊥ON,你又能得到什么?

生:∠PAO=∠PBO=90°

……

图1

通过师生这样的对话,在无形间引导学生的思维,学生能够在教师的“问题”下慢慢形成思考问题、分析问题的一种模式,从而由表及里学会分析已知条件,挖掘更多隐藏的条件。

2.对求证内容的精准把握,具备一定的“逆向推导”能力

“证明”对学生来说应该是比“推理”简单得多,因为要求我们证明的结论一定是正确的,这相当于多给了我们一个已知条件,有的时候我们从“已知”到“求证”较为困难的时候,不妨可以调换顺序,从“求证”出发,依据数学中的定义、定理进行转化,一步一步向已知条件“倒推”,直至最后能够联系到一个给出的已知条件。

例 2.如图 2,已知∠1=52°,∠2=128°,∠C=∠D,求证∠A=∠F。

师:本题中我们要证明∠A=∠F,也就是要证明什么?

生:AC∥DF。

师:那证明两直线平行,我们一般是通过什么?

生:角之间的相互关系。

师:那证明∠C+∠DEC=180°就是证明什么?

生:∠D+∠DEC=180°(等量代换)

师:已知条件中有吗?没有的话,如何继续转化?

生:也就是证明BD∥CE。

师:也就是证明什么?

生:∠1+∠2=180°

……

图2

本题中在面临第二次由AC∥DF转化到∠C+∠DEC=180°的时候,由于本题中还存在内错角,可能不少学生会转化成∠ABD=∠D或者∠C=∠CEF,这种转化当然也是可以的。不过不少题目中,如果你转化时,“选择”不恰当,会多走弯路,甚至走进死胡同。因此我们在转化时有一个原则——尽量向已知靠拢,这样才能尽快地转化到最终的已知条件。

这种“逆向推导”能力非常符合我们数学最近比较流行的“需求理论”,从我所需求的出发,将未知一步步向已知靠拢,最后能得到一个已知的条件或已知条件的推论。

3.规范解题,具备几何证明的“逻辑性”

即便掌握了已知与求证的双向关系,不少学生还是拿不到满分。是不是课堂上我们演示出一个规范的解题过程就够了呢?当然,我们不能否认一个规范的演示过程对学生发挥着一定的作用,学生在不太了解证明的时候,一开始只能“依葫芦画瓢”,但可惜模仿跟理解之间的差距还是很大的,因为他们根本就不知道什么是解题的规范性,什么是“因为”与“所以”之间的逻辑性。关于逻辑性是否断开的问题,我们可以以下面这个学生对例2的部分证明过程为例。

生:∵∠1=52°,∠2=128°(已知)

∴BD∥CE(同旁内角互补,两直线平行)不少教师简单地认为这一学生的解题过程错在“跳步骤”,而笔者认为“因为所以”之间缺乏逻辑性,错在学生不理解什么是“同旁内角互补,两直线平行”。

既然平行是通过两个角的数量关系得到的,我们就必须呈现这两个角的关系,而不是仅仅呈现这两个角的大小。

应改为:∵∠1=52°,∠2=128°(已知)

∴∠1+∠2=180°

∴BD∥CE(同旁内角互补,两直线平行)

“证明”作为初中数学学习中的一个重要里程碑,是基础的又是重要的,基础在于我们必须掌握这个技巧,才能达到解题的目的。而重要体现在它不仅要求我们规范解题,还提供了我们很多数学的思想方法,让我们提升了自我的数学修养,从中体会到数学之美。

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