初中数学中考压轴题的解题策略与技巧

2018-03-16 07:12金津津
新课程(中学) 2018年12期
关键词:压轴过点四边形

金津津

(上海市民办立达中学,上海)

在对初中数学中考压轴题的解题策略和技巧进行分析的基础上,对压轴题解题技巧进行梳理,深入探讨多种解题思想,并在此基础上进行扩展,充分挖掘压轴题的特色和规律。从历年中考数学压轴题设计来看,一般是代数和几何的综合题。多年来是以函数和几何图形综合考查的方式,其中考查到三角形、四边形、圆和相似等有关知识点,比较普遍的综合考查方式,还有方程和图形的综合等几个问题。本文通过对中考数学压轴题的分析,总结具体的解题策略,帮助学生构建完整的知识体系,从容应对中考。

例 1.如图,已知 y=x2-hx+c抛物线经过 A(0,-1),B(4,-3)两点。

(1)求抛物线的解析式;

(2)求tan∠ABO的值;

(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,点M是抛物线上一点,直线MN平行于y轴,交直线AB于点N,如果M,N,B,C为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标。

解析:(1)首先将A,B两点的坐标带入 y=x2-hx+c,得 c=-1,16+4h-c=-3,可得所以抛物线的解析式是

(2)过点B作BC⊥x轴,垂足为点C,过点A作AH⊥OB,垂足为点H。

(3)直线AB的解析式为y=-1x-1,设点M的坐标为(m,2点 N的 坐 标 为那 么 MN=因为M,N,B,C为顶点的四边形是平行四边形,所以MN=BC=3,解方程m2-4m=3,解得m=解方程-m2+4m=3,解得m=-1或3,所以符合题意的点N有四个

这道题是典型的抛物线问题,考查函数思想。将抛物线和直线综合考查,需要学生具备方程思想和函数思想。

例2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,经过点 B 的直线 L(L不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC,分别过点C、点A作直线L的垂线,垂足分别为点D,点E。

(1)若∠ABC=45°,CD=1(如图),则AE的长为;

(2)写出线段AE、CD之间的数量关系,并加以证明;

求BD的长。

(1)∵∠ABC=45°,

∴∠CBD=45°,

∵CD=1,

∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,

AE=2。

(2)线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD.

证明:如图1,延长AC与直线l交于点G.

依题意,可得∠1=∠2.

∵∠ACB=90°,

∴∠3=∠4.

∴BA=BG.∴CA=CG.

∵AE⊥l,CD⊥l,

∴CD∥AE.

∴△GCD∽△GAE.

图1

∴AE=2CD.

(3)【解析】

当点F在线段AB上时,如图2,

过点C作CG∥l交AB于点H,交AE于点G.∴∠2=∠HCB.

∵∠1=∠2,

∴∠1=∠HCB.

∴CH=BH.

∵∠ACB=90°,

∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°.

∴∠3=∠4.

∴CH=AH=BH.∵CG∥l,

∴△FCH∽△FEB.

图2

设 CH=5x,BE=6x,则 AB=10x。

∴ 在△AEB 中,∠AEB=90°,AE=8x.

由(2)得,AE=2CD.

∵CD=4,

∴AE=8.

∴x=1.

∴AB=10,BE=6,CH=5.

∵CG∥l,

∴△AGH∽△AEB.

当点F在线段BA的延长线上时,如图3,

图3

∴HG=3。

∴CG=CH+HG=8.

∵CG∥l,CD∥AE,

∴四边形CDEG为平行四边形.

∴DE=CG=8.

∴BD=DE-BE=2.…(6 分)

同理可得 CH=5,GH=3,BE=6.

∴DE=CG=CH-HG=2.

∴BD=DE+BE=8.

∴BD=2或8.

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