向量模的几何意义的应用
——一类向量模长最值问题的探究

苏淑阳 李观琴

（浙江省富阳中学，浙江 杭州）

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景.向量的模即向量的长度，模的大小就是表示向量的有向线段的长度，即两点间的距离.如果教师能对模的几何意义进行深度挖掘，引导学生深刻理解，并灵活应用，就能找到解决与模有关的最值问题的优化解法[1].

平面向量模长的最值问题是浙江省高考命题的热点之一，笔者对近几年浙江省高考卷和各地模拟卷中有关平面向量模长的最值问题进行了整理与分析.利用向量模的几何意义，数形结合，转化成几何问题来解决，可以更好地帮助学生理解向量模的几何意义，提升学生的数学核心素养.

一、体会高考，理解向量模的几何意义

A

a→

a→-e→成立，故选C

O te→

图1

e→

B的最小值为1.（ ）

图2

图3

图4

小结：上述四个浙江省高考题皆有共同的地方，将差向量（和向量可以转化成差向量）的模长问题转化成共起点的两个向量终点的距离问题来解决，使得这一类向量模长的最值问题更加简洁直观.在各地的高考模拟题中，也有很多考查向量模长的最值问题，我们同样可以利用向量模长的的几何意义，通过数形结合的思想解决问题.

二、触类旁通，应用向量模的几何意义

图5

图6

小结：上述两个试题都考查了两个差向量模长的和的最值问题，利用向量模的几何意义可以将问题转化成直线上的动点到两个定点的距离和的最值问题来解决.

图8

小结：上述两个试题都将差向量模长的最值问题转化成了圆上的动点到直线距离的最值问题，与2018年浙江省平面向量高考题有一定的相似性.深刻理解了向量模的几何意义之后，我们也可以尝试创编有关向量模长的问题.

图9

该题在例8的基础上进行了创编，将差向量的模长最值问题转化成了两个圆上的动点间距离的最值问题.

图7

三、归纳总结，提高解题能力

向量模是平面向量中的重要概念，理解向量模的几何意义来解决涉及模长的最值问题，充分体现了平面向量的“数”和“形”的双重性和数形结合的数学思想.本文深入挖掘了向量模的几何意义，将差向量模长问题转化成定点到直线的距离、定点到平面的距离、圆上的动点到直线的距离、两圆上的动点间的距离问题来解决.利用多题一解的形式，充分说明理解向量模的几何意义的重要性，更好地激发了学生学习向量的兴趣，提升学生的数学核心素养.