弹簧类问题的一种特殊解法

摘 要：弹簧类问题是普通高中典型的问题之一，也是高中物理的难点。在一次理综题（2014年新课标理综Ⅰ卷第17题）的练习中，作者发现有难度，引起了她的进一步的思考。为了能更好地解决这一类问题，根据老师的讲解，作者进行了总结、归纳，建立了模型。

关键词：思考巧解；模型的建立；模型的应用

一、 源于一道高考题的思考

【2014年新课标理综Ⅰ卷第17题】如图，用橡皮筋将一小球悬挂在小车的架子上，系统处于平衡状态.现使小车从静止开始向左加速，加速度从零开始逐渐增大到某一值，然后保持此值，小球稳定地偏离竖直方向某一角度（橡皮筋在弹性限度內），与稳定在竖直位置时相比，小球的高度（ ）

A. 一定升高

B. 一定降低

C. 保持不变

D. 升高或降低由橡皮筋的劲度系数决定

对于这道题，我们常见的解答是这样的：小车静止时，橡皮筋弹力等于小球重力F1=mg，小球在悬点下竖直距离：L1=L0+mg/k；小车以一定的加速度运动时，小球稳定地偏离竖直方向某一角度θ，这时橡皮筋的弹力为F2，由于小球在竖直的方向有：F2cosθ=mg，则小球在悬点下竖直距离：L2=（L0+mg/kcosθ）cosθ=L0cosθ+mg/k，故L1>L2，即小球一定升高。A正确。

本题是四选一的单选题，猜对率为0.25。听物理老师说，本题实测难度为0.22，因此，基本上没有人做对。

二、 模型的建立

大家知道，弹簧的弹力F与弹簧的形变量x成正比，因此，在弹簧这一类的问题中，我们可以通过弹簧形变量的变化规律，代表弹簧的弹力的变化规律，这种方法在解决弹簧这一类动力学的问题中有着很好的直观性的优势。

【新探索】设OA长度为橡皮筋的原长，小车在静止时，橡皮筋处于竖直状态为OB，伸长量为x1，小车向左加速运动时，橡皮筋向右倾斜为OC，伸长量为x2，由平衡条件得知，两种情况下，橡皮筋拉力的竖直分量相等（等于小球的重力），也就是伸长量的竖直分量相等。但是，弹簧原长OA的竖直分量在其加速运动时却在减小，故答案选A。

三、 模型的应用

例1 如图所示，A、B两物块始终静止在水平地面上，有一轻质弹簧一端连接在竖直墙上P点，另一端与A相连接，下列说法正确的是（ ）

A. 如果B对A无摩擦力，则地面对B也无摩擦力

B. 如果B对A有向左的摩擦力，则地面对B也有向左的摩擦力

C. P缓慢下移过程中，B对A的支持力一定减小

D. P点缓慢下移过程中，地面对B的摩擦力一定增大

【解析】对于A、B选项比较简单，大多数同学都能做对。但是，如果想把问题研究彻底的话，研究另外两个答案是必需。下面就利用前面的结论来对这个问题的C、D两个选项进行进一步的分析。

弹簧初态是拉伸、原长还是压缩？不知道，因此，我们从弹簧处于拉伸状态分析起。如甲图所示，Ac设为弹簧的原长，弹簧的Aa、Ab状态为进行拉伸的状态，Ad、Ae、Af为进行压缩的状态。

弹簧端点从a点向下移动到b点，然后再移动到c点的过程中，弹簧对A的拉力的竖直分量越来越小，水平分量也越来越小。故A与B之间的摩擦力减小，B与地面之间的摩擦力也减小，而A对B的压力增大，B对A的支持力、地面对B的支持力也增大。

弹簧端点从c点向下移动到d点、e点，再移到f点的过程中，弹簧对A的压力的竖直分量先变大后变小，而水平分量越来越大。故A和B之间的摩擦力、B和地面之间的摩擦力一直增大，但A对B的压力是先增大后减小，B对A的支持力、地面对B的支持力也是先增大后减小。

从上面的分析来看，由于没有指明初始状态的P点位于什么位置，弹簧处于一种什么状态，C、D两个答案就很片面了。

例2 如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC=h。圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。则圆环（ ）

A. 下滑过程中，加速度一直减小

B. 下滑过程中，克服摩擦力做的功为14mv2

C. 在C处，弹簧的弹性势能为14mv2-mgh

D. 上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度

【解析】如图所示，圆环的下滑弹簧弹力的水平、竖直分量都是从零逐渐增大，那么杆对圆环向右的支持力也增大，即向上的摩擦力从零逐渐增大，因此，圆环在下滑过程中的加速度先是向下的，并且一直减小，当弹簧弹力的竖直分量、摩擦力的和等于重力的时候（B位置），加速度减为零，圆环速度也达到最大；此后弹簧弹力的竖直分量与摩擦力的和超过重力，合力向上，加速度向上逐渐增大，速度开始减小，在C点速度减为零时，向上的加速度达到最大值。

圆环上滑的过程中，经过同一位置时，弹簧的弹力相同，也就是水平、竖直分量相同，故摩擦力大小也相同。因此上升的全过程，摩擦力做功与下滑过程同样多。

A到C：mgh-W弹-Wf总=0-0

C到A：-mgh+W弹-Wf总=0-12mv2

联立得：Wf总=14mv2，W弹=mgh-Wf总=mgh-14mv2故B正确，C错误。

A到B：mghAB-W弹1-Wf1=12mv21-0

B到A：-mghAB+W弹1-Wf1=0-12mv22

联立易得：v2>v1，故D正确。

物理是高考考试内容的重要组成部分，在高考中所占的比重较大，所以，我们要在物理学习过程中不断总结经验，根据高中物理的学习任务和规律，总结并掌握高中物理学习方法。

参考文献：

[1]茂荣乾.高考中弹簧问题的分类解析[J].物理教学探讨，2006.

[2]杨胜光.高中物理轻弹簧问题归类解析[J].课程教材教学研究，2011.

[3]普通高中课程标准实验教科书物理课本[M].山东儿科学技术出版社，2017.

作者简介：

杨文琦，山东省莱阳市，莱阳市第一中学2015级2班。