把握函数结构 生成动态认知
——复习课《二次函数的表达方式》案例

季近仁

(江苏省苏州工业园区唯亭学校 215000)

一、问题的提出

《二次函数》是苏科版初中数学九年级下册第五章的内容，分别从二次函数，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数的应用四个方面进行教学.在学习完新课之后，从建构主义和认知主义多元视角解析二次函数，我们发现，略显干涩的二次函数解析式中可以求出无数个二次函数上的点，通过表格的辅助得到图象，图象直观地描述了二次函数的性质，其中与x轴的交点问题又与一元二次方程契合，另外在现实问题中，往往给出的是表格或者图象，而不是解析式.综观整体，二次函数的教学中暗含了一条隐线：二次函数的三种表达形式之间的相互转化.基于此，我设计了《二次函数的表达方式》的课堂教学.

二、理论基础

1.建构主义

建构主义是在皮亚杰的自我建构论和维果斯基的社会建构论的基础上建立起来的.建构主义者的观点是学习实质是学习者主动建构内部心理表征的过程，学习结果是知识的网络结果，学习过程是独特的，非一致的信息加工活动，自我建构，强调自我探索，协作学习.建构主义的基本思路是：注重以学生为中心进行教学；注重在实际情境中进行教学；注重协作学习，提倡师徒式传授；注重提供充分的资源，让学生自我探索.最根本的一点就是建构主义认为知识不是通过教师传授得到，而是学生主动建构获得的.

2.认知主义

以布鲁纳和奥苏泊尔等为代表的认知主义心理学家提出，学习是学习者内部认知结构的形成和改组.课程目标应能促进学生认知结构的形成和发展，课程设计要一句学生的认知结构水平，尊重认知规律，教材编制要体现“结构”论的思想，在教学过程中应注意提供先行组织者，以便学生的新旧知识与经验产生联系.

三、复习课《二次函数的表达方式》案例

本节课的教学目标是掌握二次函数的解析式、表格、图象三种表达方式以及相互的转化；分别从二次函数解析式、表格、图形三个角度认识二次函数的性质；体会数、表、形之间的联系，感受数学的一般化思想.由于在平时教学中，我们多有强调解析式与图象，使得学生对于表格的认识停留在解析式与图象的媒介，因此本节课的教学重难点是从表格中认识二次函数的性质.

教学一开始，复习导入，让同学们回忆已经学习过的二次函数的三种表达形式，直接点明本节课的主题，为本节复习课打下第一块基石.

1.首先，从学生最熟悉的解析式入手.

问题1 已知二次函数解析式y=x2-4x+3，你能得到函数的表格和图象吗？

x……y……

问题1的提出，揭示了二次函数的解析式，表格，图象三者之间最原始的关系，既起到了复习的作用，又展示了二次函数的三种表达形式.学生上手比较快，尊重学生的认知水平和认知规律，强化了学生的操作能力，激发学生兴趣.

2.其次，我们来研究一下平时有所忽略的表格中蕴含着哪些秘密.

问题2：已知二次函数的表格，

(1)你能从表格中得到哪些关于函数的信息？

x…-4-3-2-1012…y…0-5-8-9-8-50…

①通过观察得到二次函数的顶点坐标____，对称轴是____;

②二次函数有最____值，当x=____时，y有最____值____;

③通过观察得到二次函数与x轴交点为____;

④通过观察得到二次函数与y轴交点为____;

⑤对称轴的____侧，即____，y随x增大而____，对称轴的____侧，即____，y随x增大而____.

(2)你能得到函数的解析式吗？

问题2第一小问通过直接给出表格，以填空的形式帮助学生发现二次函数表格中的信息.填空的内容全面细致，包括了二次函数的基本性质，都是学生熟悉的知识，学生准确率高，掌握情况较好.表格旁的平面直角坐标系是辅助学生发现信息的，可以由学生自己选择用或者不用，分层教学，因材施教.第二小问可以采用分组教学的方式，每个小组在讨论之后给出自己的方法，既复习了二次函数解析式的三种表示方式(顶点式，交点式，一般式)，又连接起了表格与解析式之间转化的桥梁.

在完成问题2后，通过一个变式让大家脑洞大开.

变式：你能将二次函数的表格填写完整吗？

x…-5-4-2-1013…y…-14-7-2121-2…

变式的方法很多，学生各显神通，给出了多种不同的解法，无论是求解解析式代入的方法，还是观察表格对称性的方法，只要方法得当，计算不复杂，都给予肯定，大大增强了学生的自信心，发散了学生的思维.

因为表格是本节课的重难点，适当辅以练习是很必要的.

练习：

1.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：

x…-1013…y…-1353…

(1)对称轴为____；

(2)开口____，对称轴的右侧，即____，y随x增大而____；

(3)当x=____时，函数值y=-1.

2.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y<5时，x的取值范围是____．

x…-10123…y…105212…

练习中的两个小题紧扣问题2 ，从二次函数表格出发，略略增加难度，提出相关的不等式知识，帮助学生在原有基础上更进一步，符合最近发展区理论.学生在练习中表现出一定的差异，在学生讲解之后，大部分学生能够理解掌握，完善了二次函数的结构.

3.然后，让我们回到直观的图象，来看看有什么新的发现.

问题3：已知二次函数的图象，

(1)你能从图象中得到哪些关于函数的信息？

①通过观察得到二次函数的图象开口____;

②通过观察得到二次函数的顶点坐标____，对称轴是____;

③通过观察得到二次函数与x轴交点为____;

④通过观察得到二次函数与y轴交点为____;

⑤二次函数有最____值，当x=____时，y有最____值____.

⑥对称轴的____侧，即____，y随x增大而____，对称轴的____侧，即____，y随x增大而____

(2)你能根据函数图象得到函数的解析式和表格吗？

类比问题2，观察图象得到二次函数的性质，并且从函数图象回归函数解析式和表格.帮助学生构建完整的二次函数三种表达形式，透彻理解相互之间的转化.

通过一组小练习，强化二次函数的图象.

练习：

1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是( ).

A．函数有最小值

B．对称轴是直线x= 2

C．当x<2，y随x的增大而减小

D．当10

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，

(1)补全函数图象；

(2)求图象与x轴的交点；

(3)求函数图象上纵坐标为3的点的坐标.

练习中的两道题目在熟练掌握问题3后，做起来得心应手，计算强度小，学生产生成就感，感受到了数学的魅力.

4.最后，在掌握的基础上有所提升，以思考题的形式对本节课进行小结.

(1)写出该函数图象的对称轴；

(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，

试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

(3)本节课你有哪些收获？

学生的收获可以用图来表示：

整节课通过新旧知识的联系，以学生为中心，主动建构新知识，围绕二次函数的三种表达形式：解析式、表格、图象，脉络清晰，注重“结构”教学，学生温故而知新，从中收获的不仅是知识，还有兴趣，自信，成功的喜悦.

参考文献：

[1]施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[M].北京：教育科学出版社，1996.

[2]黄甫全.现代课程与教学论学程[M].北京：人民教育出版社，2006.