初中数学问题“转化”典例评析

沈志明 沈晓生

摘 要：常见一些学生接受知识的能力还算可以，但主动获取知识的能力则有所欠缺。学习上较为被动的学生，究其原因，大都是遇问题时不善转化，所学知识不能融会贯通。面对一个新问题时，没有意识或没有方法将问题转化。学会学习，从某种意义上讲，就是要学会“转化”，学会在遇新问题时，能触类旁通，能根据自己已有的知识，将問题一步步转化，直至将新问题转化为已解决问题。

关键词：初中数学；转化；思想；几何变换

转化思想的实质，就是在已有的简单的具体的基本知识的基础上，把未知化为已知，把复杂化为简单，把一般化为特殊，把抽象化为具体，把非常规化为常规，从而解决各种问题。下面笔者就以上几种情形，举一些典型教学实例加以解释。

一、 数（式）与数（式）的转化

在解题中，我们常把某个式子看成一个新的未知数，进行变量替换，这一思想方法，常可使我们将问题化新为旧，化繁为简，化难为易，促使未知向已知转化，使未解问题转化为已解问题。

譬如，学会了单项式与多项式的乘法a（m+n）=am+an，把（x+y）看成a，便得（x+y）（m+n）=（x+y）m+（x+y）n=xm+ym+xn+yn

从而把两个多项式相乘问题转化为一个单项式与多项式相乘。

再如，掌握了解一元一次方程后，利用等式性质可将分式方程转化为整式方程，二元一次方程组求解问题可通过“代入消元”或“加减消元”将多元转化成一元。学完一元二次方程，再遇高次方程或无理方程时，只需作适当的变量替换，即可将高次方程、无理方程转化为解一次或二次方程，有了变元思想，甚至今后遇解指数方程、对数方程、三角方程时，均能有化新为旧的方法。事实上，只要所遇方程可化为

a[f（x）]2+bf（x）+c=0的形式，都能通过换元转化为解一元二次方程的问题。

二、 借助几何变换的转化

利用轴对称、平移、旋转等几何变换，也是实现问题转化的有效方法。

问题1：如图，已知：P是直线a上的一个动点，当点P在a的什么位置时，AP与BP的和最小？

分析：利用直线反射变换得PB=PB′，问题转化为当P在a的什么位置时，AP与PB′的和最小，由两点之间线段最短，显然连A、B′交直线a于点P时，AP与PB和最小。

问题2：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA，OB上且OM=1，ON=3，点P、Q分别在OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 。

分析：本题有一定的创新，它由问题1两次迭加而成，正由于它形式的新颖，许多考生考试时一头雾水：求两条线段和的最小值我懂，三条线段和最小值问题咋弄呢？百思不得其解。事实上，只要把原问题分解为两个小问题，便可化新为旧。利用直线反射变换先求出PQ+QN的最小值PN′，把问题转化为求MP+PN′的最小值M′N′。

问题3：已知△ABC是正三角形，P是形外一点。求证：PB+PC≥PA。

分析：PB、PC、PA分布过于分散，可考虑用旋转变换将分散线段集中于同一三角形中。证明：以B为中心，将△CBP逆时针旋转60°至△ABD。①若P在△ABC外接圆上，由∠BPA=60°，则D落在AP上，此时有PB+PC=PD+DA=PA。②若P不在△ABC外接圆上连DP，由∠PBD=60°，PB=BD有PD=DB=PB，故PB+PC=PD+DA>PA。综上，PB+PC≥PA

对于图形具有等边特性的命题，可考虑用旋转变换改变元素位置，转化命题条件，从而达到证题目的。尤其旋转60°可得正三角形，旋转90°可得等腰直角三角形性质的应用，屡见于近年数学中考试卷上。

三、 数与形的转化

如图直线y1=kx+b，过点A（02）且与直线y2=mx交于点P（1m），则不等式mx>kx+b的解集是 。

分析：两直线的交点等价于二元一次方程组的解，求不等式的解集可转化为两直线的交点的左右两侧那个图象在上或下。

有时，特殊化也是数学上实现转化问题的重要手法。当直接解决一个问题有困难时，我们可以先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般的问题。因为特殊情况下往往容易获得结论。譬如圆周角的定理的证明，如果从圆心在角的一边上这一特殊情况入手，不难发现，此时，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。而后，无论圆心落在圆周角之内，还是在圆周角之外，只需作合适的直径，就可转化为圆心落在圆周角的一边上的特殊情形，从而使命题顺利得证。

数学问题千变万化，解题灵感可产生于已知条件的转化与结论的化归，可产生于数形结合后的思考，也可产生于变更问题思路后的顿悟。总之，数学解题成功很大程度上讲，就是实现数学问题的成功转化。

作者简介：沈志明，福建省漳州市，福建省诏安一中；

沈晓生，福建省漳州市，福建省诏安县怀恩中学。