数学变式训练培养学生的思维能力

摘 要：数学变式训练，即在数学教学过程中，对概念、性质、定理、公式以及问题进行不同角度，不同层次，不同情形，不同背景的改变，使其条件、结论的形式或内容发生变化，而本质不变，也就是所谓的“万变不离其宗”。变式训练有利于培养学生观察、联想、转化、探索和多向发散的思维能力，有利于培养学生的归纳概括思维能力，且对学生的创新思维能力的培养极其重要。

关键词：变式训练；思维能力培养；一题多变

数学学习中常常出现“两极分化”的现象，一部分学生反映数学难学，“题海战术”和单一的教学方法是重要因素，学生在过程与方法和情感上无法体验到成功，那么在知识与技能目标上就很难达到预期。而同样的一道题，另一部分学生会认为极其简单，这是因为他们已经掌握了数学相关的系统知识。数学学习不单单是教会学生解题，更重要的是帮助学生获取数学思想，形成良好的数学品质。“授人以鱼不如授人以渔”这句话充分说明了教师教学方法的重要性，而数学教学过程中的变式训练就是激发和培养学生思维能力的教学方法。

一、 一题多用培养学生的思维品质

如果说一题多变培养学生的发散思维和创新思维，那么一题多用则是使知识系统化，提高归纳综合能力，是培养应用意识的有效途径。

例 某中学八年级一班共有48人，每两人握一次手，一共需要握几次手？

解：48×47=2256

2256÷2=1128

分析：这是我们初一学习的数学知识，每个人与班级余下47人握手，每个人握手47次，又由于彼此握手只是握手一次，因此得数需要除二。应用这个数学模型，能够解决很多数学问题。

变式：n边形中，共有多少条对角线？

答：共有n·n-32条对角线。

分析：n边形中共n个顶点，每个顶点与不相邻的所有顶点连接形成对角线。

应用同一个数学模型，我们很容易得到答案。同一模型我们还可以解决许多问题，如“八年级二班共有60人，圣诞节每位同学互赠贺卡，共需多少张卡片？”等等。这些问题形式上虽然千差万别，但是所建立的数学模型是相同的，由点及面可见，一题多变可以训练学生的归纳整理概括能力，与此同时，深化了学生的建模思想和应用数学模型的意识，训练学生的聚合思维，让学生把所学知识整合起来解决问题。

二、 一题多解培养学生的思维品质

在数学教学课堂上，中学教师运用得最多的变式训练之一则是一题多解，一题多解和一题多用恰好相反，通过一道题来发散学生的思维，使学生能够多角度分析问题，灵活运用已有知识，使学过的知识融会贯通，构建完整地知识系统。

下面以九年级的一道几何题为例，浅谈一题多解的应用与作用。

例 如图一，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，∠D=60°，AB=6，BC=4，求CD的长度。

方法一：

解：如图二，延长AB与DC交于点E

∵∠A=90°，∠D=60°∴∠E=30°（三角形三个内角和为180度）

∴AD=12DE（直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半）

在Rt△BCE中，同理可得：BE=2BC=8

∴AE=AB+BE=14

由勾股定理可得CE=43

在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2

即DE=2833

∵DC=DE-CE

∴DC=1633

分析：当问题的条件不足时，添加辅助线构成新的图形，形成新的关系，使得看似分散的已知条件集中，把问题转化为自己熟悉的知识。

方法二：

解：如图三，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点E，过点A作BC的平行线交CD于点F

∵∠A=90°，∠C=90°，∠D=60°∴∠ABC=120°（四边形四个内角和为360度）

∴∠ABE=60°∴∠BAE=30°则BE=12AB=3

∵BC=4

∴AF=CE=CB+BE=7

在Rt△ADF中，由勾股定理可得：DF=733

同理可得：CF=AE=33

∴CD=CF+DF=1633

一题多解可以使学生多角度，从不同知识领域看同一个问题，而教师在讲解了不同的解法之后，一定要引导学生比较哪种方法最简便，哪种思路更加简单快捷，更容易理解，拓宽学生的思维空间，提高学生的逻辑思维能力，培养学生的发散思维。

三、 小结

学习的起因是思考，思考起源于疑问，而疑问诱导创新。变式训练是数学课堂中教师和学生良好地交流方式，也是学生与数学素养间的一道坚不可摧的桥梁。

参考文献：

[1]張成文.数学教学中变式训练与学生思维能力的培养[J].读写算（教师版）.素质教育论坛，2012（23）.

[2]赵华.变式训练是提高学生数学思维能力的有效途径[J].中学数学，2017（1）.

作者简介：王婉心，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。