“波利亚解题理论”在几何作图题中的应用

摘 要：乔治·波利亚（George Polya，1887-1985）是20世纪举世公认的数学家，著名的数学教育家。波利亚致力于解题研究，将题解分为四个基本步骤：弄清题目、拟定计划、实施计划、回顾。在初中数学的几个作图题中同样可以应用这一思维方法解决问题。本文笔者将结合一道几何作图题的分析过程阐述波利亚解题理论在教学中的应用。

关键词：波利亚解题；几何作图；数学

对于尺规作图，《课标》的要求是：能够运用尺规完成基本作图；能用基本作图完成部分三角形和圆有关的复杂作图；了解作图的原理等。学习用波利亚解题理论分析几何作图题，可以提高学生分析和解决问题的能力。

教学案例：

如图1，已知△ABC。请作一个∠BDC，使得∠BDC=∠BAC。

师：本题的条件是什么？求的是什么？（第一步：弄清題目，搞清已知量、未知量）

生：条件只有一个△ABC，求作一个角等于已知角∠BAC。（学生审题）

师：求作的角有什么特点？（引导学生深入理解题意，挖掘深层次条件。）

生：∠BDC的两边上的点B和C就是三角形的两个顶点。（学生发现了隐含条件）

师：你能解决这个问题吗？

生：以B、C两点所在的直线为对称轴，将∠A翻折过来就可以了得到一个角和∠BAC相等。（第二步：拟定计划。学生想到了翻折）

师：你说的“翻折”用尺规作图如何实现？（提示学生用尺规执行方案）

生：首先过点A作已知直线BC的垂线交BC于点E，在AE的延长线上截取ED=AE，连接BD，CD，那么∠BDC=∠BAC（如图2）。（第三步：实施计划。学生进一步将拟定的计划实施）

师：你能说说∠BDC=∠BAC的理由吗？（引导学生思考作图正确的原理，进一步确定答案）

生：由作图知：直线BC垂直平分AD，∵AC=DC，AB=DB，又∵BC=BC，∴△ABC≌△DBC。

师：非常好！你从对称的角度作一个角等于已知角，并用全等证明它的正确性。

如果教师就题论题，可以认为本题“做完了”，但却没有很好地锻炼学生的思维，更忽略了波利亚解题理论中的最后一步：回顾。因此在每道题目结束后，一定要学会反思“本题是否有更好的解决方法”“我的方法是否全面”等问题。对于本题，我和学生做了更深层次的探究。

师：大家想一想，还有没有其他解决方法。

生：（思考后回答）可以作全等三角形！直接通过作三边相等，作一个△BCD和△ABC全等。

师：把你的想法用几何作图的语言描述出来。（培养学生用规范的几何作图语言描述问题的习惯）

生：以B为圆心，AB的长为半径画弧，再以C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点D，那么∠D=∠A（如图3）。

师：非常好。按照你的思路可以确定几个D点？

生（思考后回答）：三个！还可以以B为圆心，分别以AC的长为半径画弧，再以C为圆心，以AB为半径画弧，确定另外两个D点（如图4）。

师：请再思考：是不是只有三个D点呢？

学生陷入沉思，因为对于全等的情况学生比较好理解，也容易想到，但是如何过渡到更一般的情况，需要教师的启发。

师：（拿出事先准备好的纸板）∠ABC是一个可移动的纸板，纸板移动的过程中保证两条边始终经过B、C两点，那么点A的运动轨迹是什么呢？（通过动态图引发学生的思考，关联已学知识发现问题本质）

生：应该是个圆，不，应该是一段弧。作△ABC的外接圆O，根据“弧所对的圆周角相等”，在优弧BAC上可以找出无数个D点，使∠BDC=∠BAC（如图5）。

师：优弧BAC（除去端点）上的点D，均满足∠BDC=∠BAC；反过来，是不是所有的D点都在优弧BAC上？

生：应该是吧？（不太确定自己的答案，思考后发现还有所遗漏）

生：不对，应该还有一段和弧BAC对称的弧。可以画△BCD2的外接圆上，优弧BD2C（除去端点）上的所有点也满足∠BDC=∠BAC（如图6）。

至此，在老师的帮助和引导下，学生完成了全部的思考和作图过程。

本题的解题思想恰好印证了波利亚的解题理论：“你要从不同的方面考虑问题，而且寻找与你过去所获知识之间的联系”。“试着在你考查的过程中认出一些你熟悉的东西，试着在你认清的东西里发现有用的东西”。教师要充分认识到尺规作图的教学价值，在教学过程中不能“草草了事”，而要严格作图步骤，规范作图语言，明确作图原理，重视分析过程，只有这样才能更好地提高学生的动手实践能力和数学思维能力。

参考文献：

[1]G·波利亚.怎么解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

作者简介：张媛，江苏省南京市，江苏省南京市第九初级中学。