2018年高考理科数学模拟试题

雷小华

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知i是虚数单位，复数满足（1+i）z=1-i2，则复数Z所对应的点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

2. 集合A={x│-2<0}，Z为整数集合，则A∩Z=（ ）

（A） {-3，-2，-1，0} （B） {0，1} （C） {0} （D） {-3，0}

3. 已知x=e-1，y=ln， 则（ ）

（A）x

（C）z

4. 在等差数列{an}中，已知a1=2，前8项和S8=100，则公差d=（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5. 若（2018x+2017）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，則（a0+a2）-（a1+a3）=（ ）

（A）-1

（B）1

（C）2

（D）2

6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的n=2，S=1，则输出的n的结果是（ ）

（A）4

（B）5

（C）6

（D）7

7. 双曲线C∶-=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1、F2，若以原点为圆心、半焦距为半径的圆与双曲线交于第一象限的点A，且∠AF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（ ）

（A）+1 （B）2 （C）+1 （D）3

8. 已知x，y满足约束条件x+y-2≤0， x-y+2≥0，y≥0，若z=x+2y的最小值为1，则m的值为（ ）

（A）-1 （B）0

（C）1 （D）2

9. 某几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

10. 函数f（x）=的图像大致是 （ ）

11. 已知等边三角形ABO的边长为2，圆O的半径为1，C为圆周上的动点，则的值域为（ ）

（A） [，]

（B） [，]

（C） [1-，1+]

（D） [-，]

12. 函数f（x）=e2x（sinx+a cosx）在（，）上不单调，则实数a的取值范围是（ ）

（A） （， 5-8） （B） （， 5-8）

（C） （， 5-7） （D） （， 5-7）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知三角形的三边长由大到小依次构成等比数列，则公比q的取值范围为 .

14. 已知两点A（a，0）、B（-a，0）（a>0），若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上仅存在一点P，使得∠APB=90°，则正实数a的值为 .

15. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，AD=8，AB=6，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为 .

16. 已知点P为椭圆+=1（0<？兹<）上的动点，椭圆的焦点为F1、F2，则三角形PF1F2的周长为 ；当三角形PF1F2的面积最大值时，cos？兹= .

三. 解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等差数列，2a，2b，3c成等比数列.

（1）求A；

（2）若A为锐角，点D是以AB中点O为圆心，半径为a的圆上的动点，且++的最大值为5，试求△ABC的面积.

18.（本小题满分12分）已知四棱锥B-ACDE中，底面ACDE⊥平面ABC，AE⊥AC，CD∥AE，∠ACB=90°，CD=AC=2AE，F、G分别为AB、BD的中点.

（1）求证：FG⊥平面BCE；

（2）若CB=2AE，平面BDE与平面ABC的交线为l，试求二面角D-l-C的大小.

19.（本小题满分12分）近年来，XX打车越来越受欢迎，许多人出行都把XX打车当作出行便利的的重要工具. 某城市随机对100名乘客进行统计，其中40岁以下占，采用XX打车的占，40岁以上采用XX打车的占.

（1）请完成右面的2×2列联表：

并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用滴滴打车与年龄有关”？

（2）采用分层抽样的方法从100名乘客中抽取10人参与抽奖活动，一等奖两名，记“40岁以下”得一等奖的人数为X，求X的分布列及数学期望.

参考公式： K2=，n=a+b+c+d. 参考数据如上表.

20.（本小题满分12分）已知椭圆方程为+=1（m>0），抛物线的准线经过椭圆的左焦点F1，且与椭圆相交于A、B两点，如图.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若直线l ∶ y=x-1与抛物线相交于C、D两点，且AD∥BC，试求实数m的值.

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=ax+bxlnx+1，曲线y=f（x）在点（1， f（1））处的切线方程为y=0.

（1）求a、b的值；

（2）若当x≥时，f（x）≥-x2+kx恒成立，求k的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是x=1+t，y=t（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2？籽2 cos2 ？兹+3？籽2 sin2 ？兹=6，且直线l与C曲线交于P，Q两点.

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）把直线l与x轴的交点记为A，求AP·AQ的值.

23. 选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数f（x）=x+-m.

（1）当m=0时，求函数f（x）的最小值；

（2）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围.

2018年高考理科数学模拟试题参考答案

一、选择题

1.【答案】选D. 由z====1-i. 故复数Z所对应的点位于第四象限，故选答案D.

2.【答案】选D. A={x|-2<0}={x|0≤x2+3x<4}=（-4，-3）∪[0，1），又Z为整数集合，故A∩Z={-3，0}. 故选答案D.

3.【答案】选B. y=ln=<=x<1，又>1，故选答案B.

4.【答案】选C. 在等差数列{an}中，S8=8a1+·d=100，解得：d=3，故选答案C.

5.【答案】选A. 令x=-1得（-12018+2017）3=a0-a1+a2-a3，即（a0+a2）-（a1+a3）=-1，故选答案A.

6.【答案】选D. 由S=1×log2 4×log3 5×log4 6×log5 7×log6 8×log7 9=2····=6，故当循环到n=7时，成立S≥6，故输出n=7，故选答案D.

7.【答案】选C. 由F1F2=2c，且∠AF1F2=30°，故F1A=c，F2A=c，故F1A-F2A=c-c=2a，所以==+1. 故选答案C.

8.【答案】选C. 由x-y+2=0， y=m的交点为（m-2，m），由题意可知，目标函数z=x+2y的最小值在点（m-2，m）取得，故m-2+2m=1，解得：m=1. 故选答案C.

9.【答案】选D. 该几何体如右图，是一个底面边长为2、高为2的正三棱柱截去一个三棱锥A1=AB1D的几何体. 其体积为：×2×2××2-××1××2=. 故选答案D.

10.【答案】选A. f（x）=满足x∈R且f（-x）==f（x），故f（x）为偶函数，可排除B；又在x∈（0， ？仔）中f（x）≠0中，可排除C；f（？仔） = ？仔 >>1可排除D，故应选答案在A.

11.【答案】选B. 以平行于AB所在的直线为x轴，以O为坐标原点建立直角坐标系，如图. 设点C（cos？兹，sin？兹） （0 ≤ ？兹 < 2？仔），则A（-1， -），B（1， -），·=（cos？兹+1，sin？兹+）·（cos？兹-1， sin？兹+）=cos2？兹-1+sin2？兹+2sin？兹+3=2sin？兹+3，而·-·=·（+）=·=2=4，所以=∈[，]. 故应选答案B.

12.【答案】选A. 由已知得f′（x）=2e2x（sinx+a cosx）+e2x（cosx-a sinx）

=e2x[（2sinx+cosx）+a（2cosx-sinx）]在（，）上有零点

？圳方程e2x[（2sinx+cosx）+a（2cosx-sinx）]=0在（，）上有实根

？圳方程（2sinx+cosx）+a（2cosx-sinx）=0在（，）上有实根

？圳方程a=在（，）上有实根. 令g（x）=，x∈（，），则g′（x）=

=

<0，即函数g（x）在（，）上单调递减，故a∈（g（），g（））=（，5-8）时方程a=在（，）上有实根. 故选答案A.

二、填空题

13.【答案】（0，）. 设三角形的三边长由大到小依次为a、aq、aq2（0a，即q2+q-1>0，即0

14.【答案】3. 曲线x2+y2-2x-2y+3=0？圳（x-）2+（y-1）2=1，即圆心为（，1），半径为1的圆. 若此圆上仅存在一点P，使得∠APB=90°，则另一个圆x2+y2=a2（a>1）必與它相内切（外切不符合a>1这一条件）. 故a=+1=3，故正实数a的值为3.

15.【答案】100？仔. 设矩形ABCD的对角线的交点为O，则矩形ABCD的外接圆的圆心为O；因为侧面PAD是直角三角形，∠APD=90°，所以侧面PAD的外接圆的圆心为AD的中点，又平面PAD⊥平面ABCD，故四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O，球的半径OD==5，∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4？仔·OD2=100？仔.

16.【答案】2；. ∵cos4？兹>cos2？兹>0，故由椭圆方程+=1（0<？兹<）可知焦点在x轴上，且a=cos2？兹，b2=2cos2？兹-1，c2=a2-b2=cos4？兹-2cos2？兹+1=（cos2？兹-1）2，c=1-cos2？兹=sin2？兹. 故三角形PF1F2的周长为2（a+c）=2（cos2？兹+sin2？兹）=2.由三角形PF1F2的最大面积（）max=2cb=bc=sin2？兹=≤=，当且仅当sin2？兹=2cos2？兹-1，即cos2？兹=时，即cos？兹=时，（）max=.

三、解答题

17.【解析】（1）（方法一）由A，B，C成等差数列，故2B=A+C，即B=60°.…………………………………………1分

又2a，2b，2c成等比数列，故4b2=2a·3c，即2b2=3ac.

……………………………………………………………… 2分

根据余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，三式联合可得：c=2a，或a=2c. ………………………………………………………… 4分

故c=2a，b=a 或a=2c，b=c .…………………… 5分 即A=30°或90°.…………………………………………… 6分

（方法二） 根据正弦定理由2b2=3ac得：2sin2B=2sinAsinC，

……………………………………………………………… 1分

因为A+C=120°，B=60°，所以sinAsin（120°-A）=.

……………………………………………………………… 2分

由两角差公式与二倍角公式可得：sin2A-cos2A=，……………………………………………………………… 3分

即sin（2A-30°）-.…………………………………… 4分

∵ 0

∴ 2A-30°=30°或150°，故A=30°或90°

……………………………………………………………… 6分

（2）若A为锐角，则A=30°，B=60°，C=90°.

………………………………………………………………7分

如图，在以AB中点O为圆心，半径为的圆中，D′D为过圆心O的直径，则四边形AD′BD为平行四边形；〓……………8分

连结CO并延长交圆于C′. 则│+│=││=a，………9分

││max=││=a+a=a.……………………………10分

故│+│+││的最大值为a，所以a=5？圯a=2，……………………………………………………………… 11分

由此S△ABC=ab=×2×2=2.

……………………………………………………………… 12分

18.【解析】（1）连接AD.

由F、G分别为AB、BD的中点，所以GF∥AD，………1分

∵ 平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，AE⊥AC，所以AE⊥平面ABC，…………………2分

∵ CD∥AE，∴ CD⊥平面ABC.

∵ CB？奂平面ABC，∴CD⊥CB. ………3分

∵ ∠ACB=90°，∴ BC⊥AC.

∵ AC∩CD=C，∴ BC⊥平面ACDE.

∵ AD？奂平面ACDE，∴ AD⊥CB.…………………… 4分

∵ ==，∠ACD=∠EAC=90°，

∵ △EAC∽△ACD，∴ ∠ECA=∠ADC，

∵ ∠ECA+∠ECD=90°，∴ AD⊥EC，…………………5分

∵ EC∩CB=C，∴ AD⊥平面BCE，即FG⊥平面BCE.

……………………………………………………………… 6分

（2）（方法一）延长DE、CA交于点K，连接BK，則平面BDE与平面ABC的交线l即为BK.…………………7分

作CH⊥BK，垂足为H，连接DH.则二面角D-l-C的平面角为∠CHD. ………………………………………………9分

设AE=1，则AC=，CD=2.在Rt△KCB中，KC=2AC=2，CB=2AE=2，故KB==4. 所以CH===2.…………………………………11分

由Rt△CDH中tan∠CHD=1，得∠CHD=45°，即二面角D-l-C的大小为45°.………………………………………12分

（方法二）（1）因为底面ACDE⊥平面ABC，底面ACDE∩平面ABC=AC，AE⊥AC，所以AE⊥平面ABC，因为CD∥AE，所以CD⊥平面ABC，因为∠ACB=90°，故CA、CB、CD两两垂直. …………………………………………1分

以C为空间直角坐标系的原点，以CA、CB、CD所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图. …2分

设AE= a（a > 0），CB= b（b>0），则AC=a， CD=2a. 可知C（0， 0， 0）， A（a， 0， 0）， E（a， 0，a）， D（0， 0， 2a）， B（0， b， 0）， F（a， b， 0）， G（0， b， a）.………3分

故=（0，b，0），=（a，0，a），=（-a，0，a），

由·=（-a， 0， a）·（0， b， 0）=0，·=（-a， 0， a）·（a， 0， a）=-a2+a2=0得：FG⊥CB，FG⊥CE，………………………………………………5分

又EC∩CB=C，故FG⊥平面BCE.……………………6分

（2）=（-a，0，a），=（0，-b，2a）. 若CB=

2AE，则b=2a.可知平面ABC的法向量为=（0，0，1），………………7分

设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则·=0，·=0，即（x，y，z）·（-a，0， a）=0，（x，y，z）·（0，-b，2a）=0，即x=z，by=2az，令z=，则x=1，y==1，故=（1，1，）. …………9分

设二面角D-l-C的大小为？兹（0°≤？兹≤180°），由cos？兹===………11分

所求二面角的大小为45°. ……12分

19.【解析】（1）由已知可得，40岁以下的有100×=80人，使用XX打车的有80×=60人，40岁以上使用XX打车的有20×=10人. 所以2×2列联表如表：……………………3分

由列联表中的数据计算可得K2的观测值为k==. …………………………5分

由于>10.828，故有99.99%的把握认为“使用XX打车与年龄有关”. …………6分

（2）采用分层抽样的方法从100名乘客中抽取10人，则从“40岁以下”的人中抽取8人，从“40岁以上”的人中抽取2人，………7分 X的所有可能取值为0，1，2，………8分

又P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）== ，故分布列如上表. ………………………………11分

数学期望E（X）=0×+1×+2×=.……………12分

20.【解析】（1）在椭圆方程+=1（m>0）中，a2=m+1，b2=m且焦点在x上，故c2=a2-b2=1，……………2分

即椭圆的左焦点坐标为F1（-1，0），故抛物线的准线方程为x=-1，所以焦准距为p=1.……………………………4分

故抛物线的标准方程为y2=4x. ……………5分

（2）由+=1，x=-1，得：x=-1，y=，或

x=-1，y=-.

故A（-1，）， B（-1， -）. ……………6分

由y2=4x，y=x-1，得 （x-1）2=4x，即x2-6x+1=0. ………………7分

设直线l与抛物线的交点坐标为C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1

=（x2+1，y2-），=（x1+1，y1+），y1=x1-1，y2=x2-1.

∵ AD∥BC，∥ . 故（x1+1）（y1+）-（x1+1）（y2-）=0，………………………………………10分

即x2y1+x2+y1+-x1y2+x1-y2+=0， 即 2（x1-x2）+（x2+x1）+=0， 即=8，……………………………………………………11分

即m2-2m-2=0，解得m=1+. ………………………12分

21.【解析】（1）由f（1）=a+1，f′（x）=a+blnx+b，f′（1）=a+b，……………………………………………………2分

得曲线y=f（x）在点（1， f（1））处的切线方程为： y-（a+1）=（a+b）（x-1）， 即（a+b）x-y+1-b=0. ………3分

对比已知条件得：a+b=0，1-b=0，解得：a=-1，b=1.…………5分

（2）f（x）=-x+xlnx+1（x≥），由f（x）≥-x2+kx恒成立，即-x+xlnx+1≥-x2+kx，

（方法1）即k≤x-1++lnx在x≥上恒成立. ……7分

令g（x）=x-1++lnx （x≥），則g′（x）==

，令g′（x）=0，则x=，………9分

故当≤x<时，g′（x）<0，g（x）单调递减；x>时，g′（x）>0，g（x）单调递增. …………10分

故[g（x）]min=g（）=ln+-1.…11分

由此得k≤ln+-1.………………………12分

（方法2）即xlnx+x2-（1+k）x+1≥0在x≥上恒成立.…………………………………………………………………7分

令g（x）=xlnx+x2-（1+k）x+1（x≥），则g′（x）=lnx+2x-k.

令h（x）=lnx+2x，则h′（x）=+2>0. 故h（x）≥h（）=-1.

………………………………………………………………8分

①当x≤-1时，g′（x）≥0，g（x）单调递增，由g（）=≥>0，知g（x）≥0在x≥时恒成立，故k≤-1符合题意. …………………………………9分

②当k>-1时，易知g′（x）=lnx+2x-k单调递增，故g′（x）=0必有唯一的解，设为x0，且有lnx0+2x0=k.当≤xx0时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

[g（x）]min=g（x0）=x0lnx0+x02-（1+k）x0+1=x0（k-2x0）+x02-（1+k）x0+1= -x02-x0+1. ……………………………………10分

若要原命题成立，仅需-x02-x0+1≥0即可，即x02+x0-1≤0，即x0≤，此时，k=lnx0+2x0≤ln+-1. …11分

综上分析，k≤ln+-1.……12分

22.【解析】（1）l的普通方程为x-y-1=0，C的直角坐标方程为2x2+3y2=6. …………………………………………5分

（2）（方法1）在x-y-1=0中，令y=0，得x=1，则A（1，0），………………………………………………………6分

联立2x2-3y2=6x-y-1=0消去y得5x2-6x-3=0.……………………7分

设P（x1， y1）， Q（x2， y2），其中x1

│AP│=│x1-1│=-│x1-1│，│AQ│=│x2-1│=（x2-1），………………………9分

故│AP│·│AQ│=-2（x1-1）（x2-1）-2[x1x2-（x1+x2）+1]=.

……………………………………………………10分

（方法2）把x=1+t，y=t代入2x2+3y2=6得5t2+4t-8=0，……………………………………………………7分

则t1t2=-，………8分

故│AP│·│AQ│=│t1t2│=│-│=. ……10分

23.【解析】（1）当m=0时，f（x）=│x+│=│x│+││≥2=4，当且仅当│x│=││，即x=±2时等式成立，所以，当x=±2时， f（x）min=4. …………………………5分

（2）当x∈[1，4]时，函数f（x）≤5恒成立？圳│x+│-m≤5在x∈[1，4]上恒成立，？圳m≥│x+│-5在x∈[1，4]上恒成立. ……………………………7分

由函数y=│x+│在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增.且当x=1时，y=5，当x=4时，y=5，故函数y=│x+│在x∈[1，4]时的最大值为ymax=5，所以当m≥5-5=0时，函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，即实数m的取值范围是[0，+∞）.

……………………………………………………………10分

责任编辑 徐国坚