2018年高考函数与导数考点预测

蓝云波

函数是高中数学的主线，也是学好其它内容的基础，因此其重要性不言而喻.函数内容知识点多，考点丰富，解决问题的思想方法灵活多变，历来是高考的重点与难点. 导数是研究函数性质的重要工具，在高考中通常作为压轴题的形式存在，是高考亮丽的风景所在，是兵家必争之地.从最近几年的新课标全国卷高考试题来看，函数与导数压轴题主要以函数的单调性、极值、最值、函数的零点、函数不等式的证明为载体，考查考生的综合素质与能力，具有一定的难度. 本文通过预测高考函数与导数的核心考点，以期帮助同学们更高效地备考.

一、函数的概念与性质

函数的概念在高考中往往不直接考查，一般都是以考查求函数值、分段函数的相关问题为主. 对于函数的性质问题，高考则重点考查，考查方式繁多. 多以单调性、奇偶性、对称性、周期性为载体，综合考查考生运用函数知识问题的能力.特别要关注借助函数性质进行求解不等式、判断函数图像等热点问题.

预测题1 （1）已知函数f（x）=2018x-2018-x+log2018（+x），则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）>0的解集为（ ）

A. （-∞， 0） B. （0， +∞） C. （-∞， -） D. （-， +∞）

（2）已知函数f（x）=（e2018x-e2018x）x2017，f（log2018x）+f（logx）≤2f（1），则x的取值范围是 .

解析 （1）因为f（x）+f（-x）=2018x-2018-x+log2018（+x）+2018-x-2018-x+log2018（+x）=ln 1=0，即f（-x） = -f（x），显然f（x）在[0， +∞）上单调递增，由奇函数的性质知，f（x）在R上单调递增，不等式f（3x+1）+f（x）>0等价于f（3x+1）>-f（x），即f（3x+1）>f（-x）， 所以3x+1>-x， 解得x>-， 即不等式f（3x+1）+f（x）>0的解集为（-， +∞）.

（2）因为f（x）=（e2018x-e2018x）x2017. 所以f（-x）=f（x）成立. 故 f（x）是偶函数，且在[0， +∞）上单调递增，又因为f（logx）=f（-log2018x）=f（log2018x），故不等式f（log2018x）+f（logx）≤2f（1）等价于f（log2018x）≤ f（1），所以 | log2018x |≤1，即-1≤log2018x ≤1，解得≤x≤2018. 所以x的取值范围是[， 2018].

点评 利用函数的性质解不等式是高考的热门考点，考查频率颇高. 对于一些比较复杂的函数不等式问题，借助函数的单调性与奇偶性是解题的钥匙. 对于关于偶函数的函数不等式问题，利用偶函数的性质f（| x |）=f（x）往往可以避免繁杂的分类讨论，在备考中特别要引起重视.

二、函数与方程

函数与方程是高考的核心考点，每年都考查，且常考常新，对于不涉及导数的函数与方程问题，一般以客观题为主.随着高考命题的深入开展，形成了不少热门题型，如零点或方程的根之和问题、嵌套函数零点问题等，解题的关键是分离参数，或借助换元技巧各个突破，并结合数形结合、化归与转化等数学思想实现问题的求解.

預测题2 （1）若关于x的方程k（x-1）2 = 有4个不同的实数根，且其所有实数根的和为S，则实数S的取值范围为（ ）

A. （2， ） B. （3， ）

C. （2， ） D. （3， ）

（2）已知f（x）是定义在上R的偶函数，且当x≥0时，f（x） =| ln （x-1） |，x>13sin ？仔x， 0≤x≤1若关于x的方程f 2 （x）-2bf（x）=0有13个不同的实根，则实数b的取值范围是 .

解析 （1）显然x=1是方程的1个根，当x≠1时，

== x| x-1 |=x（x-1），x>1x（1-x）， x<1且x≠0由题意，函数y=x（x-1），x>1x（1-x）， x<1且x≠0与y=的图像有3个不同的交点，由图可知，0<<，故k>4. 不妨设方程的4个实数根分别为x1， x2， x3， x4，且x11时），得x=，所以1

（2）由f 2 （x）-2bf（x）=0，得f（x）=0或f（x）=2b.

如图所示，f（x）的大致图像为：

因为方程f（x）=0的根的个数，即为y=f（x）与y=0有交点个数，而y = f（x）与y=0有五个不同的交点. 故要使方程f 2 （x）-2bf（x）=0有13个不同的实根，则y=f（x）与y=2b必有8个不同个交点，所以0<2b<3，即0

点评 函数与方程是高考重点考查的内容，第一小题使用了分类讨论的思想，当时，使用了分离参数的方法，通过数形结合，结合局部的对称性，实现问题的求解.而第二小题是经典的嵌套函数问题，通过换元策略，分解成两个方程的解的问题，通过对内外层函数的深入分析，得出答案.

三、函数模型

近几年的高考，越来越重视数学建模的命题，新课标也明确把数学模型作为六大数学核心素养之一. 因此，以后的高考会加大这方面的试题的比重. 特别是以立体几何、数列、实际生活为背景，借助导数解决问题的试题更加要引起注意.

预测题3 如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器. 当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大.

解析 设被切去的全等四边形的一边长为x（如图所示），

则正六棱柱的底面边长为1-2x，高为x，所以正六棱柱的体积V（x）=6×（1-2x）2 ×x（00，V（x）在（0， ）上单调递增，当x∈（， ）时，V′（x）<0，V（x）在（， ）上单调递减. 所以当x=时，V（x）有最大值.

此时，正六棱柱的底面边长为.

点评 此题是一道与立体几何进行交汇的实际问题，应注意蕴含条件的挖掘. 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意得到的结果应与实际情况相符合. 在实际问题中，如果可导函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.

四、导数的概念及其计算

导数的几何意义是高考的重点，难度适中，在高考中常以小题或解答题的第一问呈现. 切线问题考查频率颇高，较为灵活命题时，往往考查隐切线问题. 而可导抽象函数问题是高考命题的一大热点，通过构造可导的抽象函数，可解决函数不等式、比较大小等问题.如何构造函数是解题的难点.

预测题4 （1）函数f（x）的定义域是（0， ），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tan x·f ′（x）>0在定义域内恒成立，则（）

A. f（）>f（） B. sin1· f（1）>f（）

C. f（）>f（） D. f（）>f（）

（2）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f（x）+xf′（x） >0， 则不等式f（）>f（）的解集为 .

解析 （1）因为x∈（0， ），所以sin x>0，cos x<0. 由f（x）+tan x·f′（x）>0可得cos x·f（x）+sin x·f′（x）>0. 令g（x）=sin x·f（x），x∈（0， ）.

则g′（x）=cos x·f（x）+sin x·f′（x）>0，所以g（x）在（0， ）上是增函数，所以g（1）>g（），即sin 1·f（1）>sin ·f（），即sin 1·f（1）>f（），故选B.

（2）设F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x）>0，所以F（x）在R上单调递增. 由f（）>f（），可得f（）>f（），即F（）>F（），所以>，所以x+1≥0，x2-1≥0，x+1>x2-1，解得1≤x<2.

故不等式f（）>f（）的解集为{x|1≤x<2}.

点评 本题是抽象可导函数问题，是近几年命题的一大热点. 下面是一些构造函数解决导数问题的常用模型：①条件：f′（x）>a，构造函数：h（x）=f（x）-ax；

②条件：f′（x） ± g′（x）>0，构造函数：h（x）=f（x） ± g（x）；

③条件：f′（x） + kf（x）>0，构造函数：h（x）=ekx f（x）；

④条件：f′（x） - kf（x）>0，构造函数：h（x）=；

⑤条件：xf′（x） + kf（x）>0，構造函数：h（x）=xkf（x）；

⑥条件：xf′（x） - kf（x）>0，构造函数：h（x）=.

五、定积分

定积分这块内容在近几年的高考中考查得比较少，但在高考备考中也应引起重视. 预计这部分内容主要以考查定积分的计算与借助定积分求解不规则图形的面积问题. 在解答题中，直接考查的概率较小. 但对于某些数列和型不等式问题，可借助定积分可化难为易、化繁为简.

预测题5 证明：++…+>n-ln （n+l）（n∈N？鄢）.

证明 如图所示，dx是曲线y=，x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而++…+是图中所示各矩形的面积之和.

所以++…+>dx.

而dx=（l-）dx==n-ln （n+l）.

所以++…+>n-ln （n+l）.

点评 证明形如f（i）>c（或g（n）（或

六、导数在函数中的应用

导数在函数中的应用，主要体现在函数的单调性、极值与最值方面. 特别是函数的单调性，是解决其它问题的基础.高考在这部分的命题中，考查频率高，考题灵活多变，对数学思想方法的成功运用是解题的关键.

预测题6 已知函数f（x）=a ln x-ax-3（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）函数的y= f（x）图像在x=4处的切线的斜率为，若函数g（x）=x3+x2 [f′（x）+]在区间（1， 3）上不是单调函数，求m 的取值范围.

解析 （1）依题意f′（x）=-a=（x>0）.

①当a=0时，f（x）=-3为常函数，不是单调函数；

②当a>0时，x∈（0， 1）时，f′（x）>0，x∈（1， +∞）时，f′（x）<0，所以f（x）的单调增区间为（0， 1），单调减区间为（1， +∞）；

③当a<0时，x∈（0， 1）时，f′（x）<0，x∈（1， +∞）时，f′（x）>0，所以f（x）的单调减区间为（0， 1），单调增区间为（1， +∞）.

（2）由f′（4）==，得a=-2，则f′（x）=-a=，所以g（x）=x3+x2 [f′（x）+]

=x3+x2 （+）=x3+ （+2）x2-2x.

所以g′（x）=x2+ （m+4）x-2. 因为g（x）在区间（1， 3）上不是单调函数，且g′（0）=-2<0.

所以g′（1）<0，g′（3）>0，即1+（m+4）×1-2<0，9+（m+4）×3-2>0，解得-

故m 的取值范围为（-， -3）.

点评 分类讨论要注意分类的标准，应做到分类合理，同时做到不重不漏.本题第二问考查了化归与转化的数学思想，同时考查了一元二次方程的根的分布这一高考高频考点.

七、导数与函数的零点

借助导数解决函数的零点问题是高考的一大热点，单调性与零点存在定理是确定零点个数特别要注意的两个方面. 高考对零点问题的考查，还经常结合参数进行考查，如何合理分类讨论与避免分类討论要根据具体问题而定.

预测题7 设函数f（x）=x2-m ln x，g（x）=x2-（m+1）x. 当m ≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图像的交点个数.

解析 令F（x）=f（x）-g（x）=-x2+（m+1）x-m ln x，x∈（0， +∞）. 所以函数f（x）与g（x）图像的交点个数等价于函数F（x）零点的个数.

①当m=0时，F（x）=-x2+x有唯一的零点2.

②当m≠0时，F′（x）=x+m+1+=-.

（i）当m=1时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，

注意到F（1）=>0，F（4）=- ln 4<0，所以F（x）有唯一零点.

（ii）当m>1时，当0m时F′（x）<0，当10，所以函数F（x）在（0， 1）和（m， +∞）单调递减，在（1， m）单调递增. 注意到F（1）=m+>0，F（2m+2）=-m ln （2m+2）<0，所以F（x）有唯一零点.

（iii）当01时F′（x）<0，m0，所以函数F（x）在（0， m）和（1， +∞）单调递减，在（m， 1）单调递增，意到ln m<0，所以F（m）=（m+2-2 ln m）>0，而F（2m+2）=-m ln（2m+2）<0，所以F（x）有唯一零点. 综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.

点评 两个函数的图像的交点问题与函数的零点问题常常互相转化，关键是观察函数的表达式的特征，利用数形结合的数学思想方法决定解题策略；利用零点存在定理证明含参的函数的零点的存在性是此类问题的一大难点，如何赋值以确定函数值的符号是关键.

八、导数与不等式

借助导数证明不等式是高考的常客，如何构造函数是解决这类问题的关键. 而根据具体的不等式如何作适当变形是构造函数的依据. 高考备考中特别要注意导数零点不可求问题.这个问题在近几年的命题中屡见不鲜.

预测题8 求证：当x>1时，·>.

证明 因为x>1，所以原不等式等价于·>.

设g（x）=，则g′（x）=

=.

再设？渍（x） = x-ln x，则？渍′（x） = 1-=. 因为x>1，所以？渍′（x）>0，所以？渍（x）在（1， +∞）上是增函数，所以？渍（x）>？渍（1）=1>0，所以g′（x）>0，所以g（x）在（1， +∞）上是增函数. 所以当x>1时，g（x）>g（1）=2，故>. 令h（x）=，则h′（x）==. 因为x>1，所以1-ex<0，所以h′（x）<0，所以h（x）在（1， +∞）上是减函数，所以当x>1时，h（x）h（x），即当x>1时，>得证.

点评 构造函数借助导数证明不等式，除了直接作差构造之外，还可通过下列技巧求解. ①分离参数后构造；②通过代数变形（如取对数）后构造；③换元构造；④构造双函数；⑤主元构造；⑥放缩构造；⑦多次构造.有时还要同时使用上述多种技巧.

责任编辑 徐国坚