“动态圆”在有界磁场中的应用

易海玲

带电粒子在磁场中的运动问题是电磁学的核心内容，一直是高考的考查重点，而试题绝大多数都是以带电粒子在有界磁场中的运动类问题呈现。本类问题对知识考查全面，涉及到力学、电学、磁学等高中物理的主干知识，对学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识解决物理问题能力有较高的要求，是考查学生多项能力的极好的载体，因此成为历年高考的热点。

从试题的难度上看，多属于中等难度或较难的计算题。原因有二：一是题目较长，常以科学技术的具体问题为背景，从实际问题中获取、处理信息，把实际问题转化成物理问题。二是涉及数学知识较多（特别是几何知识）。

解决带电粒子在磁场中的运动问题的关键是做出粒子实际运动的轨迹圆，然而学生普遍感到学习困难，本文结合教学实践通过典型例题和拓展训练，由浅入深引导学生自主探究解决这类问题的两种常见方法，即“放缩动态圆”法和“旋转动态圆”法，并提高学生应用数学工具和物理规律相结合解决物理问题的能力。

带电粒子在有界磁场中的运动类问题可以分为两类：第一类是初速度方向一定，大小变化；第二类初速度大小一定，方向变化。

一、第一类问题——初速度方向一定，大小变化。

【例1】如图1所示，在沿x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xoy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角（0<θ<）以速率v发射一个带正电的粒子（重力不计）.则下列说法正确的是（ ）

A. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大

B. 若θ一定，v越大，则粒子离开磁场时与x轴正方向夹角越大

C. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短

D. 若θ一定，v越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远

解析：在有界磁场中运动的带电粒子一般仅受洛伦兹力作用，本题所有选择项的条件都是θ一定，v变大，即粒子入射的初速度方向一定，大小发生变化，由于粒子在磁场中做圆周运动轨迹半径r=，因此圓周半径随粒子速度的增大而增大；又因所受洛伦兹力提供向心力，所以所有沿同一方向入射的粒子做圆周运动的圆心都在过入射点且与初速度方向垂直的射线上，故可以先做一个半径任意大小的圆如图2中圆1，然后结合题意保持圆心在同一直线上，扩大半径，画出圆2和圆3，就得到图2中圆1、2、3组成一组动态内切圆。尽管半径不同，但是各个粒子运动的周期T=均相同。结合几何知识，可知粒子离开磁场时与x轴正方向夹角与入射时夹角相等，即关于直线边界对称，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角？琢=2π-2θ相同，离开磁场的位置距O点的距离L=2rsinθ不同，故本题正确答案为A.

【拓展1】如图3所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c、d四点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc、td，其大小关系是（ ）

A. ta

C. ta=tb>td>tc D. ta=tb>tc>td

解析：本题在例1的基础上从单边界上升为多条边界，因此可以参考例1的解法，先做一个任意半径的轨迹圆，然后在逐渐放大的过程中应特别关注圆与边界相交或相切的临界位置，并让轨迹圆依次经过给定的射出点，如图4所示。结合图4很容易确定各个粒子的实际运动轨迹分别是各个轨迹圆处在磁场区域的弧oa、ob、oc、od。各个粒子运动的周期T=均相同，利用粒子在磁场中运动时间公式t=T其中α为轨迹对应的圆心角，确定答案为D。

【拓展2】如图5所示长为L的水平极板ab、cd间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板间距离也为L，现有质量为m、电荷量为+q的粒子（不计重力），从左侧中心处以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则速度大小应满足什么条件？

解析：如图6所示，画出任意轨迹圆1后，将轨迹圆1进行放大得到轨迹2、3可以找出粒子恰好从极板右侧边缘射出的临界条件轨迹3；将轨迹圆1进行缩小可以得到轨迹4、5可以找出粒子恰好从左侧边缘射出的临界条件轨迹4；分析出临界条件，是突破本题的难点的关键。

综上所述，带电粒子在有界磁场中运动，若初速度方向一定，大小变化时，粒子圆周运动轨迹的圆心都在入射点位置所受洛伦兹力的射线上，但轨道半径在变化，通常先做一个任意半径的轨迹圆，再进行放缩，在放缩圆的动态变化中寻找“临界点”是解决问题的关键——放缩动态圆法。

二、第二类问题——初速度大小一定，方向变化。

【例2】（双选）如图7在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，质量为m，带电量为+q的同种离子a和b粒子，在

t=0时刻同时以相同的速率v从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打在O点左侧板上，不计重力，下列说法正确的有（ ）

A. a，b均带正电

B. a在磁场中飞行的时间比b的短

C. a在磁场中飞行的路程比b的短

D. a在P上的落点与O点的距离比b的远

解析：如图8所示，由于a、b粒子入射速度大小相等，方向不同，射入磁场的粒子均打在O点左侧，说明粒子均沿圆周逆时针方向运动，带正电，圆周运动的半径相同。由于洛伦兹力始终与初速度垂直，且指向圆心，若a、b粒子入射速度方向夹角为θ，可视为a粒子沿入射方向逆时针旋转θ角，故可先画出a粒子的轨迹圆，然后将a粒子的轨迹圆沿逆时针方向旋转相同角度θ即可确定b粒子的轨迹圆。因此，本题答案是AD。

【拓展1】若带电粒子以速率 v沿纸面任意方向由小孔O射入磁场，其运动轨迹如何？它们的圆心位置有什么特点？

解析：此题考查学生空间想象能力和应用数学知识解决物理问题能力，要求学生具有动态分析的思维能力。如图9所示，当同种粒子的射入速度大小确定，而方向不确定时，粒子运动轨迹圆具有以下特点：

①所有轨迹圆是一样的，半径都为R，只是位置不同。

②所有轨迹圆绕入射点，向粒子运动方向旋转，且旋转角度与入射方向旋转角度相同。

③轨迹分布在一个半径为2R的圆形区域内。

④所有轨迹圆的圆心在一个半径为R的圆上。

【拓展2】如图10所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板MN，板面与磁场方向平行，在距MN距离L=16cm处有一点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s ，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的粒子，求 MN上被α粒子打中的区域的长度。（不计重力）

解析：如图11所示，利用半径公式求出半径R为10cm，即2R>l>R，利用动态旋转圆寻找轨迹圆与单边界相交或相切的临界条件，画出对应的轨迹，其中P1、P2分别为粒子达到极板最左边和最右边的临界点，如图中较粗部分弧线所示，则线段P1P2即为所求长度。

α粒子带正电，沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径R为

R==10cm

即：2R>l>R。

NP1==8cm

NP2==12cm

故P1P2=20cm

本高考试题是在例1和拓展1定性分析的基础上，进一步深入定量研究，旨在在利用通过旋转动态圆找出临界条件的基础上，将运用数学知识和物理规律相结合解决具体问题。

【拓展3】如图12所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内.已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一. 求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦.

解析：如图13所示，本高考题在拓展2单边界定量研究的基础上，进一步拓展到多边界的定量研究，通过旋转动态圆寻找运动时间最长的粒子，由于速度大小相同，运动时间最长的粒子，一定是在有界磁场中运动轨迹弧长最长的粒子，因此与矩形边界上边界相切的轨迹应为最后离开磁场的粒子，几何关系如图14所示。

（1）设粒子的发射速度大小为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式，得

Bqv=m

当

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得：

Rsinα=R-

Rsinα=α-Rcosα

又sin2α+cos2α=1

联立以上各式得v=（2-）a

（2）解得sinα=

带电粒子在有界磁场中运动，若初速度大小一定，方向变化时，所有粒子圆周运动轨迹的半径相同，只是位置绕入射点发生了旋转，通常先做一个任意轨迹圆，再将轨迹圆绕入射点沿速度偏转方向转动，在动态旋转的过程中寻找“临界点”是解决问题的关键——旋转动态圆法。

通过对以上两类问题的分析，从中发现，利用“放缩动态圆”法和“旋转动态圆”法解决带电粒子在有界磁场中运动类问题的关键是找出运动轨迹圆与磁场边界相切时的临界状态。先假设成无界磁场来研究，画出一个任意的完整的运动轨迹圆，然后根据题目条件选择“放缩动态圆”法或“旋转动态圆”法，画出动态圆，特别注意动态圆与磁场边界相交或相切的“临界点”，正确的画出轨迹圆，结合数学知识和物理规律列式求解，是解决此类问题的有效方法。

責任编辑 李平安