重力坝抗震性能的POA-ETA评价方法

徐 强，徐舒桐，陈健云，李 静，钱 坤

（1.大连理工大学 海岸与近海工程国家重点实验室，辽宁 大连 116024；2.大连理工大学 工程抗震研究所，辽宁 大连 116024）

1 研究背景

混凝土重力坝作为水利工程中必不可少的一部分，在发电、防洪、灌溉和航运等中起到了极其重要的作用[1］。我国西部地区拟修建一批世界级混凝土高坝，西部是地震多发区，混凝土高坝一旦失事，将会关系到下游居民生命和财产安全，损失惨重。因此，混凝土重力坝在地震作用下的安全稳定问题十分重要，研究混凝土高坝在强震下的抗震性能评价迫在眉睫。

近年来，“基于性能的抗震设计”方法上取得了一定的成就，引起了广泛的关注[2-4］。Estekanchi等[5-6］首次提出了耐震时程分析法（Endurance Time Analysis，ETA），阐述了ETA法的基本原理以及ETA加速度曲线的优化合成过程，并以钢框架结构为例，在线弹性与非线性下进行分析，与增量动力分析法（Incremental Dynamic Analysis，IDA）作对比证明该方法的有效性。Valamanesh等[7］采用Fol⁃som和Koyna混凝土重力坝模型，以位移和应力作为评价指标，将ETA法与真实地震动作用下的动力响应作对比，得出ETA法可以预测混凝土重力坝在线性分析中的动力响应并有合理的精度。白久林等[8］基于我国抗震设计反应谱合成了ETA时程曲线，分析了钢筋框架混凝土结构的动力响应，得出ETA法能够有效地预测结构的抗震效应且计算效率高。谭皓等[9-10］采用以静力弹塑性分析法（Push-over Analy⁃sis，POA）为基础的能力谱方法，考察结构在地震作用下的弹塑性响应，并与IDA结果作对比。林世镔等[11］建立了POA法中能力谱与抗震能力指数的关系，提出滞回面积与结构绝对抗震能力的关系，分别评价结构在不同地震动作用下的相对抗震能力和绝对抗震能力，并以实例做验证说明该方法的有效性。钱稼茹等[12］详细叙述了POA法的基本原理以及求解过程中遇到的问题。叶燎原等[13］介绍了POA法的基本原理和实施步骤并给出计算实例。

本文结合ETA法和POA法各自的优点，提出POA-ETA法，并以此进行混凝土重力坝的抗震性能分析。通过对ETA法和POA法的各自基本原理分析，阐述POA-ETA法的基本原理以及实施的关键步骤，采用ETA时程作为坝体基底地震动输入，得到结构在不同峰值加速度下的动力响应，进而使用提出的POA-ETA法分析混凝土重力坝抗震性能，研究“中等破坏”、“严重破坏”两种损伤临界指标所对应的性能点（谱位移）值，从而对坝体结构抗震性能及抗震指标进行分析。

2 计算方法的提出

2.1 ETA法ETA法旨在生成ETA加速度时程曲线，ETA加速度时程曲线具有两个特性：（1）随着时间增加，ETA时程加速度峰值逐渐增加；（2）在目标时间下，ETA加速度时程的反应谱与标准谱匹配；在其他任意时间下，ETA加速度反应谱与标准谱成倍数关系。

ETA法需要在某一时程下，目标加速度反应谱与耐震时程成比例，如下式所示[5-7］：

式中：t为耐震时程；ttarget为目标时间；SaC(T )为标准谱（本文为由Koyna地震动反演得到的加速度反应谱）；为0～t时刻的目标加速度反应谱。

目标位移反应谱也有类似的关系，如下式所示：

在本文中，目标峰值加速度为0.6 g，从而得到0.6 g ETA下的标准目标谱。目标时间为ttarget，任意时间下的反应谱应与标准谱成t/ttarget倍，如式（1）所示。由于获取不同时程下的反应谱计算量较大，本文只选取0～5 s、0～10 s、0～15 s、0～20 s 4个典型时刻，分别得出4个典型时刻下的加速度反应谱拟合关系，加速度反应谱与目标谱的关系宏观地刻画了加速度随时间匀速变化过程。通过以上公式，可以初步得到一条峰值加速度随时间增大的地震动，等效不同峰值加速度的地震动。

式（1）、式（2）由标准目标谱生成了不同时间下的加速度、位移反应谱，还需要在时域上对初始生成的ETA时程进行调整，采用无约束程序对ETA加速度时程点进行调整，使不同时刻的目标加速度反应谱与标准谱在不同周期下拟合良好，公式如下[5-7］：

其中：ag为耐震加速度时程；为周期T下0～t时刻ETA生成的加速度反应谱；Su(T ，t)为周期T下0～t时刻ETA生成的位移反应谱；α为权重系数，在本文中取0，只考虑加速度反应谱的影响。

2.2 POA法POA法是在结构上施加某种分布形式的水平力，并逐渐增大水平荷载，使结构从“弹性”阶段到“弹塑性”阶段，最终达到“极限承载”阶段。通过逐级加载的方式，使结构在一定荷载下破坏，即达到了结构的极限位移，从而得到结构在荷载作用下的抗震性能。

POA法的关键是“两线一点”，即绘制两条曲线（能力谱曲线和需求谱曲线）和求解一个性能点。在地震荷载作用下，能力谱曲线代表结构抵抗地震作用的能力，即“抗震能力”；需求谱曲线代表结构受到的外加地震动作用，即“抗震需求”。能力谱曲线与需求谱曲线的交点是性能点，此性能点反映了结构在ETA时程作用下的最大响应。

（1）绘制能力谱曲线。以结构的第一振型为主导作用，根据结构的动力响应计算结构在第一振型下的谱位移-谱加速度曲线，绘制拟合关系良好的包络线，即可得到能力谱曲线。

（2）绘制需求谱曲线。需求谱分为弹性需求谱和弹塑性需求谱，首先绘制地震动加速度反应谱经过谱加速度-谱位移格式转换的一定阻尼比的弹性需求谱。在弹性需求谱下，谱加速度与谱位移存在以下关系：

式中：T为结构的周期；Sa为结构的加速度反应谱；Sd为结构的位移反应谱。

对于弹塑性需求谱，一般是在弹性需求谱的基础上进行折减，本文采用IG等效线性化方法对弹性反应谱进行折减，得到弹塑性需求谱，计算双线性体系等效参数（等效周期、等效阻尼比）[9］：

式中：T0为结构体系初始周期；μ为延性系数；Teq为等效周期；ξ0为弹性阻尼比；ξeq为等效阻尼比；a、b、c、f为待拟合的结构参数。

（3）求解性能点。将能力谱曲线与需求谱曲线绘制在同一坐标系下，根据式（5）、式（6）计算等效周期、等效阻尼比，确定结构的弹塑性需求谱，重复以上过程即可找到交点（性能点），获得结构的目标谱位移和谱加速度，通过目标谱位移检验结构的抗震性能。

2.3 POA-ETA法POA法是一种较为简单的弹塑性分析法，不能完全考虑地震动随机性及结构多阶振型的影响[12］。ETA法能够考虑地震动随机性及结构多阶振型的影响，但ETA法非线性时程分析计算耗时。在经典POA法中，水平侧向力加载的模式主要有倒三角加载、抛物线加载、均匀加载以及变振型加载方式，不同的加载形式会得到不同的能力谱曲线。对于不同的结构形式，并不能确定采用哪种加载方式。实际上，以一阶振型为主的结构，它们的加载形式也是不能确定的。倒三角加载模式主要适用于分布较为均匀的结构，考虑一阶振型的影响；抛物线加载可以较好地反映结构高阶振型的影响；变振型加载考虑了地震过程中惯性力的分布，计算方法比较合理但计算量较大；在一种固定荷载分布方式下，不易预测出结构的各阶振型的影响，因此以上加载形式只能粗略的估计。由于地震动包含的不同频率成分对于结构各阶振型的影响不同，在ETA时程下，可以大致等效不同的加载分布形式。因此，为了反映结构高阶振型的影响，采用ETA法加载方式更加合理。

ETA法具有地震加速度随时间逐渐增加的良好特性，可以看成不同峰值加速度下的地震动不断计算，可以得到在其作用下的包含多阶振型影响的结构动力反应，并将多阶振型映射到一阶振型上进而得出性能点。因此，综合以上两种结构抗震性能评价方法，结合POA、ETA各自的优点，本文提出POA-ETA法，根据文献[7，9，14］，POA-ETA法具体实现过程包括以下几个步骤。

（1）确定基本参数。混凝土材料在强地震动作用下的损伤体现在弹性模量的折减上，损伤因子与弹性模量的关系为：

式中：E为有损状态下的弹性模量；E0为无损状态下的弹性模量；d为损伤因子，损伤因子的取值范围为0～1，表示结构损伤的严重程度，当损伤因子d为1时，结构处于完全损伤状态，当损伤因子d为0时结构未发生损伤。

通过ETA时程，采用ABAQUS有限元分析软件进行非线性时程分析，得到不同峰值加速度下的机械能M0、损伤耗能MD、塑性耗能MP曲线。根据文献[15］，能量曲线的物理意义以及求解思想如图1所示，机械能M0、损伤耗能MD、塑性耗能MP的具体公式为：

式中：σ为应力；εel为弹性谱应变；εck为开裂应变；εpl为塑性应变。

ABAQUS有限元分析软件可自动输出其能量结果。根据输出的能量结果，通过下式计算等效阻尼比ξ曲线：

式中：ξ0为初始阻尼比，本文取0.05。

最后，输出动力响应分析结果，得出重力坝坝顶中点谱位移-谱加速度曲线。

（2）求解能力谱曲线。通过有限元模态分析，将谱位移、谱加速度值转化为第一阶振型下的谱位移-谱加速度曲线：

图1 应力-应变软化曲线

式中：Sa为能力谱加速度；Sd为能力谱位移；Δtop为坝顶位移；V为结构基底剪力；α1为第一阶振型参与质量比；G为混凝土重力坝的总重量；γ1为第一阶振型参与系数；Xtop，1为基本振型的坝顶位移。

继而确定屈服位移Dy、峰值点位移Dm、极限位移Dl，绘制包络线，得到能力谱曲线。

（3）曲线拟合。从能力谱曲线中，计算当前延性比（通过谱位移/屈服位移Dy计算）下的周期（通过斜率ω2进行换算）与初始周期的比值，得到延性比-等效周期比曲线；提取当前延性比下的等效阻尼比，得到延性比-等效阻尼比曲线。采用式（5）、式（6）拟合ξ/ξ0、T/T0曲线，得到相应的系数a、b、c、f。

（4）确定弹性需求谱。通过“中等破坏”、“严重破坏”两种损伤临界指标对应下的峰值加速度，确定ETA时程相对应的时长，计算5%阻尼比（ETA法计算时采用的阻尼比）的弹性需求谱。

（5）得到性能点。通过延长能力谱线性段与弹性需求谱的交点确定初始迭代点，采用延性比-等效周期比、延性比-等效阻尼比函数反复进行迭代，直至迭代点落到能力谱曲线上，终止迭代。

以上过程即为性能点求解过程，在此过程中需求谱由弹性需求谱通过参数（周期，等效阻尼比）变化，转化到弹塑性需求谱，实现了性能点（谱位移）与能力谱曲线（弹性阶段-承载能力强化阶段-承载能力劣化阶段）的对应关系。采用ETA法计算了结构的能力谱曲线、延性比-等效周期比曲线和延性比-等效阻尼比曲线，考虑了结构多阶振型的影响。采用ETA法计算了地震需求谱曲线，考虑了地震随机性的影响。

3 基于POA-ETA法的抗震性能分析

3.1 有限元模型Koyna混凝土重力坝是在地震作用下发生破坏的实例之一，国内外许多学者都采用此模型计算坝体的动力响应和抗震安全评价[16-17］。Koyna坝坝高103.0 m，坝顶宽度14.8 m，坝底宽度70 m，坝高66.5 m处坝体下游坡面折坡。有限元模型如图2所示，为了提高计算精度，在坝体下游折坡处和坝踵处进行了加密。混凝土本构模型采用混凝土塑性损伤模型，材料参数如下：混凝土弹性模量为31 GPa，泊松比0.2，密度2643 kg/m3，膨胀角36.31°，初始压缩屈服应力13 MPa，抗压强度24.1 MPa，初始抗拉强度2.9 MPa，断裂能为200 N/m，阻尼比为0.05。

图2 Koyna重力坝有限元模型

主要考虑的静态荷载有坝体自重、静水压力（静水压力水位为91.75 m），坝体动水压力按照Westergaard附加质量添加，地震动采用ETA法生成的耐震时程加速度曲线作为基底输入。

3.2 ETA时程本文采用Koyna地震动反演的场地谱生成20组ETA时程，其中水平向峰值加速度为0.6 g，竖直向地震动峰值加速度为水平向的2/3，即0.4 g的地震动。下面取一组ETA时程作为简要说明，图3为ETA时程。本文列出了0～5 s、0～10 s、0～15s、0～20 s 4个典型时刻的ETA反应谱进行拟合情况（如图4）。

图4 ETA反应谱拟合

由图4可以看出，水平向、竖直向ETA反应谱与目标反应谱拟合关系良好，均在目标反应谱周围有较小的振荡，在短周期下基本保持平稳状态，在长周期下有较小的晃动。通过图3、图4可以看出，此组ETA时程曲线既满足随时间增大，地震动强度逐渐增大；又满足不同周期下，ETA反应谱与目标谱有着成倍数拟合的良好关系。通过以上分析，ETA加速度曲线具有良好的精度，此算法满足要求，可以用于分析结构在不同地震动强度下的响应。

3.3 动力响应ETA法旨在随时间增大地震动强度逐渐增加，地震动在不同时刻具有不同的加速度值，作用于坝体基底，可以模拟坝体在不同地震动强度下的动力响应以及损伤破坏模式。

对Koyna混凝土重力坝进行模态分析，输出的前六阶固有频率、振型参与系数、振型质量比如表1所示，前六阶振型图如图5所示。通过ABAQUS软件模拟坝体在自重、静水压力、动水压力以及ETA时程（水平向峰值加速度0.6 g，竖直向峰值加速度0.4 g）下的动力响应，图6为Koyna混凝土重力坝在不同指标下的损伤情况。

混凝土重力坝在ETA时程下的动力响应逐渐增加，表现在损伤因子的增加以及损伤的扩展，通过有限元分析模拟坝体的非线性行为，坝体下游折坡处最先出现较小的损伤，由于时间与地震动强度成比例关系，随着时间增加，损伤逐渐扩展。“中等破坏”的临界指标定义为上下游面之间损伤发生贯穿，即损伤因子大于0并发生贯穿，此时峰值加速度为0.387 g，如图6（a）所示；损伤因子大于0.8并发生贯穿定义为“严重破坏”临界指标（损伤值大于0.8，一般认为发生了宏观裂缝），损伤分布情况如图6（b）所示，此时的峰值加速度为0.504 g。据此，本文定量地定义了两种评价指标——“中等破坏”和“严重破坏”。通过Koyna重力坝实例，坝体在水平向峰值加速度0.474 g的地震动作用下开始失效，因此本文选取的指标是合理、可靠的。峰值加速度0.6 g下的损伤分布情况如图6（c）所示，坝体损伤范围逐渐变大，坝头处损伤因子大于0.8的损伤范围已经完全贯穿上下游面，坝体损伤十分严重。

表1 前六阶固有频率、振型参与系数、振型质量比

图5 前六阶振型

3.4 抗震性能分析通过ETA时程曲线和有限元动力分析得到坝体的动力响应，图7为损伤耗散能、塑性耗散能时程曲线，通过此曲线计算等效阻尼比时程。利用IDA法验证ETA法的准确性，根据Koyna地震动的场地谱生成一组（一共6个不同峰值加速度的）10 s地震动时程，分别计算不同峰值加速度下的动力响应，并将响应结果与ETA法作对比，验证ETA法的合理性。通过输出的动力响应计算得到能力谱曲线，图8为谱位移-谱加速度曲线以及能力谱曲线。图9为ξ/ξ0、T/T0拟合曲线。

通过图7可以看出，IDA法与ETA法的响应时程曲线具有相似性，且ETA法可以很好地反映出任意地震动强度下的响应结果，而IDA法只能计算有限地震动强度（本次验证了6个峰值加速度）下的响应结果，结果验证了ETA法的合理性，具有一定的适用性。对于本文模型，一组10 s的IDA（一共6个不同峰值加速度）进行非线性时程计算需要3 h36 min，而一组20 s的ETA时程只需要1 h14 min，计算效率提高了65.7%；对于相对于有更多地震动强度要求的结构而言，ETA的效率将会大大提高。计算两种方法下指标的误差，得出平均误差为23.5%。

图6 不同指标下的损伤分布情况

从图8中可以看出，所生成的能力谱曲线能够较好的包络结构的动力响应。由于在POA-ETA法中，迭代过程需要结构的延性比-等效周期比、延性比-等效阻尼比函数，采用式（5）、式（6）找到与初始输入的等效阻尼比、等效周期比拟合关系良好的结构参数a、b、c、f（0.821、0.65、0.012、0.4），从而得到曲线图9。

图10为中等破坏和严重破坏下性能点求解迭代过程，在求解性能点时，需要反复迭代。通过计算分析得出，能力谱曲线屈服位移为0.011 37 m，峰值点位移值0.030 85 m，极限位移为0.064 36 m，在中等破坏下，性能点对应的谱位移值为0.026 m，中等破坏目标位移在屈服位移与峰值点位移之间，说明中等破坏下，结构处于能力谱强化阶段。在严重破坏临界点下，性能点值对应的谱位移为0.0316 m，严重破坏目标位移在峰值点位移附近，说明在严重破坏临界点下，结构处于能力谱承载能力即将发生劣化阶段，需要及时采取抗震加固措施。

图7 耗散能时程曲线

图8 能力谱曲线

图9 ξ/ξ0、T/T0拟合曲线

图10 中等和严重破坏下性能点求解迭代过程

4 结论

本文结合ETA和POA法各自的优点，提出了POA-ETA法，其能够考虑结构多阶振型和地震随机性的影响，并以此方法对Koyna混凝土重力坝中等破坏、严重破坏两种损伤指标的抗震性能进行分析。研究结果表明，本文提出的POA-ETA法能够有效地分析结构的抗震性态，具有较高的精度；在中等破坏指标下，Koyna混凝土重力坝结构处于能力谱强化阶段，还未发生灾难性的破坏；在严重破坏指标下，目标位移处于能力谱承载能力下降段，Koyna混凝土重力坝处于即将发生劣化状态，应及时采取加固措施。综上所述，本文使用提出得POA-ETA法对Koyna混凝土重力坝进行了抗震性能分析，结果验证了提出的POA-ETA法的适用性。