实频率灵敏度的唯一性研究

于 澜，张 淼，张 欣

(1.长春工程学院理学院，长春130012； 2.长春工程学院电气与信息工程学院，长春 130012)

0 引言

设计参数取某一数值时，系统的状态可能为重频、单频或密频，而设计参数发生变化时，预测系统的变化状态及程度是非常必要的。例如，研究飞机或其他航天器等拥有大量柔性子结构的结构系统时，它们的结构参数很可能因为环境等因素的变化而产生微小变化。为了更清晰直观地研究这些变化的特点及规律，文献[1-2]中首先提出了特征曲线法，文献[3-4]利用特征曲线法在大型复杂阻尼结构中进行了振动控制分析和结构设计研究，文献[5-6]分析了模态跳跃现象并解释了其原因。据此，研究者可以更为灵活地利用实模态参数及其各种灵敏度，为模型修正、结构优化及损伤识别等技术在工程应用中的实现提供帮助。近年来灵敏度分析的算法公式得到充分的发展，主要有直接法[7-8]、代数法[9-10]和模态法[11-12]，它们所求得的灵敏度的正确性在其应用范围内一般都能得到很好的验证，但是灵敏度的唯一性问题却从未得到重视。本文将讨论在两种不同的规范化条件下，由两种最常见的代数法和模态法公式计算出来的实频率的灵敏度的唯一性问题。

对N自由度的线性离散振动系统的运动方程为：

(1)

式中M，C和K∈RN×N分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵。实频率与实模态对(λi，ui)(i=1，2，…，N)满足方程

(K+λiM)ui=0 。

(2)

1 实频率的一阶灵敏度分析

引入设计参数向量b=(b1，…，bq)T，相应的方程(2)应为

K(b)u(b)+λ(b)M(b)u(b)=0，

为了讨论方便，以下我们仍记为原来的形式考虑灵敏度问题。

1.1 Rusdisill和 Chu的方法[13]

此方法是解一个带有加边条件的非对称的线性代数方程组，它所要求的实模态满足规范化条件为

(3)

式中φi=aiui，ai为规范化常数。那么由式(2)可得

(K+λiM)φi=0。

(4)

定义1 第i(i=1，…，N)阶实模态向量φi关于第j(j=1，…，q)个设计参数bj的一阶灵敏度为

定义2 第i(i=1，…，N)阶实频率λi关于第j(j=1，…，q)个设计参数bj的一阶灵敏度为

对式(4)中的第j个参数bj(j=1，…，q)求导得一阶灵敏度的支配方程为

(K+λiM)φi，j+λi，jMφi=-(K，j+λiM，j)φi，

(5)

然后对规范化条件式(3)两边对第j个参数bj(j=1，…，q)求导得

(6)

将式(5)和式(7)联立得

(7)

解此方程组即可得实模态参数φi和λi对第j个参数bjj=1，…，q的一阶灵敏度φi，j和λi，j。

1.2 Fox and Kapoor的方法[10]

此方法是解一个关于线性组合展开式系数的方程组[14]，它所要求的实模态满足规范化条件为

(8)

式中φi=diui，di为规范化常数。那么由式(2)可得

K+λiMφi=0。

(9)

对单频对称系统来说，由于不同的实频率所对应的实模态向量φ1，…，φN线性无关，可作为N维空间的基底，因此N维实模态向量的一阶灵敏度向量φi，j(j=1，…，q)一定可以表示为基底的某一线性组合，即

(10)

(11)

其中

2 实频率的一阶灵敏度的唯一性

从理论上讲，对单频系统来说，在设计参数取可行域中的任意值时，所对应的系统的实频率都是唯一的，与规范化方法无关，因此，实频率的灵敏度也是唯一的。

在上文中式(4)和(9)中的实模态是不一样的，因为它们所使用的规范化条件分别为式(3)和式(8)，所以它们对应的模态灵敏度是不一样的，观察两种规范化条件下计算实频率灵敏度的式(7)和(11)，它们所使用的实模态也是在不同规范化条件下的实模态，那么实频率的灵敏度能否保持唯一性？下面我们用两个数值算例来回答这个问题。

3 数值算例

3.1 数值算例1

文献[15]中提供了一个阻尼弹簧质量系统，如图1所示。

图1 3-DOF弹簧质量系统

本文取k2作为设计参数。首先将k2从80 N/m变化至120 N/m，利用式(2)每隔5 N/m作为节点采样系统实频率λ1、λ2和λ3的数据，根据特征曲线法绘制这些实频率的拟合曲线图，如图2所示。

图2 实频率的特征曲线图

观察图2可见，各阶实频率的分区良好，没有与其他实频率重复的现象。利用式(7)在各节点处计算当前系统的各阶实频率的一阶灵敏度列于表1的第3、5和7列，利用式(11)在各节点处计算当前系统的各阶实频率的一阶灵敏度列于表1的第2、4和6列。

由表1可知，表中第2列和第3列，第4列和第5列，以及第6列和第7列的数值完全相同，因此，即使代数法公式(7)和模态法公式(11)使用的是不同规范化条件下的实模态来计算实频率灵敏度，它们的数值也是唯一的，因此，实频率的灵敏度是具有唯一性的。

表1 模态法和代数法计算各阶实频率的一阶灵敏度对比值

3.2 数值算例2

考虑文献[11]给出的一个5自由度的非比例阻尼质量弹簧系统，设只在垂直方向上产生振动，如图3所示。

图3 5-DOF非比例阻尼系统

本文取设计参数为k5，从960 N/m至1 040 N/m，每隔10 N/m按式(2)采样实频率λ1，…，λ5，根据特征曲线法绘制这些实频率的拟合曲线图，由于前三阶实频率的分区良好，没有与其他实频率发生重复的现象，但第4和第5阶实频率却有重复现象发生，如图4所示。

图4 第4阶和第5阶实频率的特征曲线图

利用式(7)在各节点处计算当前系统的前三阶实频率的一阶灵敏度列于表2的第3、5和7列，利用式(11)在各节点处计算当前系统的前三阶实频率的一阶灵敏度列于表2的第2、4和6列。需说明的是，节点不包括实频率重复的那个节点，即k5=1 000。

表2 模态法和代数法计算前三阶实频率的一阶灵敏度对比值

由表2数据可知，第2和3列，第4和5列，第6和7列的数值完全相同，因此可证明实频率的灵敏度是具有唯一性的。