凸函数Steiner对称化的光滑性

蔺友江

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆 400067)

Steiner对称化是Steiner[1]为了证明等周不等式而引入的概念.160多年来，Steiner对称化已经成为解决与等周相关的几何不等式的基本工具[1-3],并且在很多工作中扮演着重要角色[4-6].19世纪70年代，数学家们开始寻找函数不等式的几何证明，由此凸体的Steiner对称化被推广到Sobolev空间中函数的Steiner对称化.文中对泛函分析中的一个重要问题给出了肯定回答：C1凸函数 的Steiner对称化Sf仍然是C1光滑的凸函数.

1 准备工作和主要结论

2 定理1的证明

首先引入下面两个引理.

(3)

(6)

根据(5)和(6)式可得

(7)

f(s,x′)=f(t,x′)=Sf(r,x′)=h.

(8)

(9)

并且对于i=2,…,n，有

对于h=inf{f(x1,x′):x1∈R}，存在r1≥0和s1≤t1使得当-r1≤r≤r1,s1≤s≤t1时下面的等式成立：

对于(14)式关于x1在点(r,x′)处取偏微分可得

对(14)式关于xi(i=2,…,n)在点(r,x′)处取偏导数可得

因此

在(17)式中，

将(18)和(19)式代入(17)式可得

2)对于h=inf{f(x1,x′):x1∈R}，根据引理1可知等式(12)显然成立.

同(21)式的证明，可以得到

根据(21),(27)式可知(13)式成立. 】