也谈中考数学中的“K形相似”

摘 要：通过对中考数学试题的分析，在常见几何图形和函数图像中抽象分离出 “K形相似”模型，研究解决问题的方法策略，理解模型的本质，并落实在日常的教学之中.

关键词：K形相似；显性与隐性；展望与思考

作者简介：张新尚（1970-），男，江苏睢宁人，本科，中学高级教师，研究方向：初中数学教学和命题研究.

“K形相似”问题也称“一线三等角”问题，其独特的条件和结论，为我们所熟知，并从不同的角度对其进行了研究它通常融于常见的几何图形和函数图像中，能够有效地考查学生对核心知识的掌握程度以及分析问题、解决问题的数学能力由于其立意新颖、综合性强、可信度高、数学思想丰富等特点，受到各地中考命题专家的持续青睐笔者对徐州市2010-2018年连续九年的中考数学试卷进行了分析，发现“K形相似”问题考查了8次之多！以翻折、旋转等变换方式和常见的一次函数、二次函数和反比例函数等为背景，综合直角三角形、等腰三角形、圆、矩形、菱形、正方形等基本几何图形，对该类数学模型的应用进行考查 本文从中选取部分试题，从“显性和隐性”两个方面对“K形相似”问题进行赏析，探寻分析、解决问题的方法，以期发现某些共性，更好地服务于教学.

当PB与⊙C相切时，PB与y 轴的距离最大，OE的值最大，

赏析 本题以学生熟悉的、简单的二次函数和圆为背景，求函数图像与坐标轴的交点坐标、直角三角形的存在性以及线段的最值，题目易于入手，也给学生一定的亲切感正是直角三角形的存在性，使得“K形相似”模型逐渐浮出水面，随着问题的深入，思维含量也越来越高，可以说是近年来压轴题中的优质试题.题目考查了二次函数的图像与性质、直角三角形、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质以及三角形的中位线等同时，又包含着丰富的数学思想，诸如函数思想、模型思想、转化、分类讨论和数形结合等等，考查学生的综合运用知识的能力例6、例7和例8实质都是直角三角形的存在性问题，解决的方法上都是利用直角构造“K形相似”模型，有着异曲同工之妙.

从复杂的图形中分离出“ K形相似”模型就是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律纵观徐州市连续多年的中考试题，既有把模型融入在图形的变换方式中，又有在几何图形和函数图像中 若三个相等角（更多的是直角）的顶点在同一条直线上时，易于找出相似三角形；若只有一个或两个直角时，可以构造出“K形相似”当点在几何图形上时，根据相似模型，利用相似三角形的性质求出相应的数量关系；当点在函数图像上时，不妨根据函数表达式设点的坐标，利用相似三角形的对应边成比例求出点的坐标 当然，在运用模型解决问题时，常常会借助勾股定理等知识进行求解，同时注意数形结合、分类讨论、转化、方程、参数等数学思想方法的恰当运用

三、展望与思考

从复杂图形中分离出基本图形是学生必备的重要能力之一近年来的各地中考数学，几乎每一份试卷都有运用“K形相似”模型解决问题的试题，既要求学生有敏锐的几何直观能力，把模型从复杂的图形中抽象分离出来，又能综合运用其它的知识以及数学思想方法解决问题的能力，在掌握知识与技能的同时，积累思维和实践经验，形成数学核心素养.

展望未来，这类问题依然会受到命题专家的青睐. 这类问题中的直角还有进一步隐蔽的趋势，例如利用直线与圆相切、直径所对的圆周角、等腰三角形的“三线合一”等方式呈现，重点考查学生对初中核心数学知识掌握情况以及分析问题、解决问题的能力当然，也可以是其它的特殊角，例如把30°、60°、45°角等融入其中，综合锐角三角形函数、勾股定理、相似三角形等知识，充分体现“抽象、推理、模型、运算能力、直观想象” 等方面的能力要求.

各地的中考命题对教学起到了导向的作用在平时的教学中，要注重基础知识的教学，引导学生对所学知识的理解运用，体会知识之间的相互联系，还要有意识的培养学生对基本题型和基本图形的敏锐观察力，借给学生“数学慧眼”，發展基本模型识别和提炼的能力，积累和展现数学活动经验，从过程中提炼方法，从方法中感悟思想，最终实现数学思维品质的提升，只有这样才能有利于学生的发展.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 王烁2017年中考“函数”专题解题分析[J].中国数学教育（初中版），2018（1/2）：66-77.

[3] 张新尚“变幻能测”的三角板[J].中学数学杂志（初中版），2009（2）：48-51.

[4] 李玉荣走进压轴题的“一线三等角”[J].中学数学教学（初中版），2017（5）：55-58.