高考函数审题易错点总结

耿海艳

（武功县普集高级中学 陕西咸阳 712200）

一、易错点：用错恒成立的条件

例1.已知函数f(x)=x2+ax+3-a若x∈[-2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

错解一：∵f(x)≥0恒成立，∴△=a2-4（3-a）≤0恒成立解得a的取值范围为-6≤a≤2；

错解二：∵f(x)=x2+ax+3-a若x∈[-2,2]时，f(x)≥0恒成立，

错因：对二次函数f(x)=ax2+bx+c当x∈R上f(x)≥0恒成立时，△≤0”片面理解为“ax2+bx+c≥0，x∈[-2,2]恒成立时，△≤0”；

二、易错点：函数单调性考虑不周致误

错解：(-∞，1)∪(1，+∞)

错因分析：忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小．

易错突破：分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性，还要考虑分界点上函数值大小．

三、易错点：混淆“过点”与“切点”致误

例3.求过曲线y=x3-2x上的点(1，-1)的切线方程．

错解：∵y'=3x3-2，∴k=y'|x=1=3×12-2=1，

∴切线方程为：y+1=x-1，即x-y-2=0.

错因分析：混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，-1)当做切点．

正解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为

解得x0=1，或x0=，故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1)。

易错突破：过曲线上的点(1，-1)的切线与曲线的切点可能是(1，-1)，也可能不是(1，-1)．本题错误的根本原因就是把(1，-1)当成了切点．解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．

四、易错点：函数极值点概念不清致误

例4.已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则a+b=______.

错解：-7或0。

错因分析：忽视了条件的等价性，“f'(1)=0”是“x=1为f(x)的极值点”的必要不充分条件。

正解：f'(x)=3x2+2ax+b，由x=1时，函数取得极值10，

当a=4，b=-11时，f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)在x=1两 侧 的 符号相反，符合题意。

当a=-3，b=3时，f'(x)=3(x-1)2在x=1两侧的符号相同，所以a=-3，b=3不符合题意，舍去。

综上可知a=4，b=-11，∴a+b=-7。

易错突破 ：对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是在x0点两侧导数异号，即f'(x)在方程f'(x)=0的根x0的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值，而不仅是f'(x0)=0.f'(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f'(x0)=0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．

总之，不要急于攻难度大的“综合题、探究题”，不要盲目地自己找题。精做题，审好题，才能做好题。要在解题的过程中，适时进行探究式、开放式题目的方法总结。明确自己在解题过程中运用到的知识点和整个解题思路。并加以自觉的应用。这样每做一题在解题方式和思路上，都获得积累。复习要真正地回到重视基础的轨道上来，搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。