巧解“最短距离”问题

（合肥五十中新校 安徽合肥 230000）

先看这类问题最基本的例子：

要在河边修一个水泵站向A、B两个村庄供水（如图1），村庄A、B在河道两侧，那么水泵站应该建在什么地方，才能使它到A、B两个村庄的距离之和最小？

分析：这个问题可以直接应用基本事实“两点之间，线段最短”来解决，连接AB交于点P（如图2），此时AP+BP=AB，故点P就是应该建水泵站的位置。

图1

图2

下面来看这个问题的一些变式。

一、利用轴对称进行转化并求最短距离

例1 如图3，点A、B在直线l的同侧，在直线直线l上求作一点P，使得AP+BP最小.

分析 解决这个问题的关键是将同侧的两点转化为异侧的两点，就可以运用“两点之间线段最短”来找到使距离最短的点。利用轴对称的知识，若作点A关于直线l的对称点A’（如图4），则直线l上任意一点到A和A’的距离相等，点A、B到直线l上一点距离之和最短问题就转化为A’、B到直线l上一点距离之和最短的问题，也就是我们最开始看到的基本问题。

图3

图4

解：如图4，作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线l于点P，则点P即为所求做，此时AP+BP最小.

例2 如图5，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家.l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流。每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处.请为牧民设计一条最短路线。

图5

分析 我们需要在l1上找到一点M，在l2上找到一点N，使得AM+MN+BN最小，若作点A关于直线l1的对称点A′，点B关于直线l2的对称点B′（如图6），则根据轴对称的性质A’M=AM，B’N=BN，要使得AM+MN+BN最小，只要让A’M+MN+B’N最小即可，这便转化成了“两点之间距离最短”的问题。

解：作点A关于直线l1的对称点A′，点B关于直线l2的对称点B′，连接A′B′交l1于点M，交l2于点N，则A→M→N→B的路程最短.

练习1 （2012·兰州中考）如图7，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，求∠AMN+∠ANM的度数.

图6

图7

二、利用平面展开进行转化并求最短距离

例3 如图8，有一个长方体盒子，长4，宽2，高8，盒子的A点处有一只壁虎，B点处有一只苍蝇，壁虎想沿着长方体盒子地表面去捕捉苍蝇，请你计算出壁虎爬行的最短距离.所有

分析 若能将A点和B点放到一个平面内，问题就转化成我们熟悉的“两点之间线段最短”的问题了。

图8

思考：怎样将A点和B点放到一个平面呢？有几种不同的方案？哪种方案最佳呢？

解：展开长方体的侧面（如图9），连接AB.

图9

练习2 如图10是一个圆柱形储油罐，底面半径为2米，高为5米，在底部A处准备修一个绕油罐的螺旋式楼梯到达位于上底面B处，则楼梯至少多长？

图10

图11

练习3 （2012·青岛中考）如图11，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离.