素养导向的数学测评研究——以2018年高考为例

李作滨



素养导向的数学测评研究——以2018年高考为例

李作滨

（华东师范大学 课程与教学研究所，上海 200062）

中华人民共和国教育部于2014年启动了普通高中数学课程标准修订工作，并于2018年正式对外公布了新修订的《普通高中数学课程标准（2017年版）》．新的课程标准凝练了数学学科核心素养，包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．高考作为一种重要的数学测评方式，其形式和内容一直处于不断的改革之中．以2018年高考数学全国I卷试题为例分析高考中数学学科核心素养的考查情况．研究发现，2018年的高考数学试题在考查学科知识与技能的同时，强化了数学学科核心素养的考查．

课程标准；数学学科核心素养；测评；高考

1 问题提出

教育以育人为本，为实现教育现代化，学校教育在给学生传授知识和技能的同时，必须不断发展和提高学生的核心素养，以适应未来的工作与生活[1]．2014年，教育部印发了《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》，明确提出研制学生发展的核心素养体系和学业质量标准，在此基础上还要依据学生发展核心素养体系，进一步明确各学段、各学科具体的育人目标和任务[2]．2016年9月13日上午，中国学生发展核心素养研究成果发布会在北京师范大学举行，会上公布了中国学生发展核心素养总体框架及基本内涵，将学生核心素养定义为“学生应具备的，能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”[3]．紧接着于2018年1月，教育部正式印发了《普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版）》，新修订的普通高中数学课程标准体现了鲜明的育人导向，一个重要特点是突出了数学学科核心素养[4]．新修订的数学课程标准界定了数学学科核心素养的成分，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，这些数学学科核心素养既相互对立，又相互交融，是一个有机整体．新的课程标准还指出数学学业质量水平是6个数学学科核心素养的综合表现，并且把每一个数学学科核心素养划分成3个水平，其中水平二是高考的要求，也是高考数学命题的依据[5]．

2014年9月，国务院颁布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，随后浙江省和上海市率先开启了新一轮的高考改革．随着高考改革的实施与课程改革的不断推进，数学学科核心素养已经成为数学教育研究的热点，而数学学科核心素养测评又是其中的关键．以往的研究更多地关注数学学科核心素养的内涵[6-8]、核心素养的培养[9-10]及发展核心素养的教学[11-12]，关于核心素养测评的实证研究相对较少，而且大部分是关于中考的测评研究，研究高考的比较少．例如张惠英等以河北省2017年中考试题为例[13]，朱先东等以2017年浙江省中考试题为例[14]，通过分析各省市的中考数学试卷，来研究数学学科核心素养在中考中的考查情况；董林伟和喻平以江苏省2016年中小学生学业质量监测的测试题目为工具，测试全省82 319名初二年级学生的数学学科核心素养发展状况[15]；刘小慧以2017年高考数学全国II卷试题为例，分析高考命题中数学学科核心素养的考查情况[16]．

高考作为全国范围内影响最大的考试和一种重要的数学测评工具，近年来随着数学课程改革的不断推进，在命题导向上开始有所转变．在这样的背景之下，以2018年高考数学全国I卷（以下简称全国I卷）为例，通过对高考数学试题的分析，探究高考中数学学科核心素养的考查情况，拟解决的问题是：2018年高考数学试题中对数学学科核心素养的考查有什么特点？

2 全国I卷的特征

根据教育部公布的最新数据，2018年全国高考总人数达到了975万人，同比去年增长35万人．全国I卷适用的地区是河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建、山东10个省份．这10个省份的考生人数共计501.84万，占全国高考报名总人数的51.47%．在所有的高考试卷当中，全国I卷的适用范围是最广的，影响力是最大的，研究它的命题特点和素养考查情况对于提高数学测评的水平有着极其重要的意义．

从题型上看，2018年全国I卷试题与2017年保持了一定的联系性和稳定性，文理科试卷均为23道考题，其中1—12题为选择题，13—16题为填空题，17—21题为解答题，22、23题为选考题．试题重视对学生“四基、四能”的考查，其中“四基”是指数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；“四能”是指发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力，而且重点突出了对数学学科核心素养的考查．

3 试题素养考查分析

为了深入了解2018年高考中数学学科核心素养的考查情况，下面以全国I卷试题为例，基于《普通高中数学课程标准（2017年版）》中对数学学科核心素养的界定和水平划分，参考喻平的“核心素养评价框架”[17]，对高考数学试题素养考查情况作出分析．

3.1 考查数学抽象素养

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关联，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征[5]．在全国I卷中，有多个题目考查学生的数学抽象素养，以理科15题为例．

（2018理数15，5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____种．（用数字填写答案）

通过高中数学课程的学习，学生能够在具体的真实情境中积累经验，形成抽象思维，把握事情的本质，运用数学抽象的思维方式思考并解决实际问题．在2018年的高考数学命题中，对学生数学抽象核心素养的考查已经落实到具体的题目当中，凸显高考数学命题鲜明的素养导向和育人导向．

3.2 考查逻辑推理素养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其它命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[5]．全国I卷有多个题目考查学生的逻辑推理素养，以理科18题为例．

（2018理数18，12分）如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把△折起，使点到达点的位置，且⊥．

（1）证明：平面⊥平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

素养考查分析：该题以立体几何为知识载体，考查学生对“面面垂直”的判定定理、直线与平面所成角等几何学科知识的掌握，要求学生根据平面图形进行空间想象，结合已知条件进行逻辑推理，书写完整的几何证明过程，并进行相关计算．

解决第一问需要利用“转化”的数学思想方法，将“面面垂直”的判定转化到“线面垂直”的判定．直观想象能力较强的学生能够找出⊥和⊥这两个关键的判定条件，进而利用“线面垂直”的判定定理推出⊥平面，从而推出平面⊥平面，最后书写完整的证明过程，因此该题第一问主要考查了逻辑推理素养．第二问则主要考察了直观想象、数学运算素养，整个问题对学生的空间想象能力提出了一定的要求．

通过高中数学课程的学习，学生能够掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题，能够在复杂的情境中把握事物的关联和发展脉络．此类考题通常以命题、数学归纳、几何证明等学科知识为载体，要求学生能够利用题目中给出的已知条件，进行逻辑推理，进而判断正误或者写出证明过程．通过这类题目的考查，能够让高考在一定程度上落实逻辑推理素养的考查．

3.3 考查数学建模素养

数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题[5]．下面以理科20题为例，分析高考中数学建模素养的考查情况．

（2018理数20，12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为(0<<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

① 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求．

② 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

素养考查分析：这是一道数学应用题，综合考查了组合学、概率论、导函数、函数的单调性、函数的最值、数学期望等基本知识，以及运用组合公式、求函数的导函数，判断函数单调性、计算数学期望等基本技能．

所以该题其实是以“产品检验”这一实际问题作为载体，赋予问题以真实的情境，从中考查学生的数学建模素养，并对数学运算、逻辑推理等素养提出一定的要求，是一道综合性较高的题目，有较好的区分度，彰显高考命题育人导向．

通过高中课程的学习，学生能够有意识地用数学表现现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验．数学应用题是一类重要的考试题型，它以实际问题为背景，学生要能够发现和提出问题，建立和求解模型，进而检验和完善模型，分析并解决问题．这类题可以对数学建模素养进行全面考查．

3.4 考查直观想象素养

直观想象是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础[5]．在2018年的高考数学试题中，有多道题目考查了学生的直观想象素养，下面以理科第7题为例进行分析．

（2018理数7，5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）

通过高中课程的学习，学生在掌握了平面几何、立体几何、函数图象等数学知识的同时，进一步发展空间思维能力和直观想象素养．此类题较好地考查了学生直观想象、空间思维等素养，在直观想象核心素养的形成过程中，引导学生不断提高运用几何图形解决问题的意识，提升数形结合的能力，并感悟事物的本质，培养创新思维．

3.5 考查数据分析素养

数据分析是针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养．数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论[5]．下面将以文科19题为例进行分析．

（2018文数19，12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布

日用水量[0, 0.1)[0.1, 0.2)[0.2, 0.3)[0.3, 0.4)[0.4, 0.5)[0.5, 0.6)[0.6, 0.7) 频数13249265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布

日用水量[0, 0.1)[0.1, 0.2)[0.2, 0.3)[0.3, 0.4)[0.4, 0.5)[0.5, 0.6) 频数151310165

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率．

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

素养考查分析：该题考查了频数分布表与频率分布直方图之间的对应关系、平均数、概率等知识，以及纸笔作图能力、数据分析能力．做好这题，要求学生能够根据题目中提供的频数分布表进行数据分析与数学计算．如第三问中，为了求出一年能节省多少水，可先求该家庭使用节水龙头前后50天日用水量的平均数：

然后求出使用节水龙头后一年可节省水

分析发现，该题以使用节水龙头这一生活情境为问题背景，渗透了对数据分析素养的考查．

通过高中课程的学习，学生应该能够提升获取有价值的信息并进行定量分析的意识和能力，适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验．分析发现，类似的题目越来越多地出现在高考当中，这也体现了高考越来越重视数据分析素养的考查．

3.6 考查数学运算素养

数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段[5]．研究发现，2018年的高考试题中很多都涉及到对数学运算素养的考查，下面以理科数学16题为例进行分析．

素养考查分析：该题是2018年理科数学填空题的最后一题，为求解函数的最小值问题，题目非常的简短，看似简单，其实需要考生熟练掌握函数的单调性、函数求导运算、函数最值等相关知识，以及较强的数学运算求解能力．做好这题的关键是找准解题的方法，其中一种解法是利用函数的单调性求其最小值．

数学运算是贯穿整个学业生涯乃至人一生的素养，在高考中强化对数学运算素养的考查，有利于进一步发展学生的运算求解、有效借助运算方法解决实际问题的能力．因为数学是一门非常严谨的学科，因此对数学运算的准确性要求非常高，不容许有任何的差错，在某种程度上，这也决定了对学生的要求，要求他们养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，以及规范化思考问题的品质．

4 素养考查情况汇总分析

为了全面了解2018年全国I卷数学试题的素养考查情况，对文理科共46道试题素养考查情况进行了详细分析，并汇总如表1所示．

表1 核心素养考查试题信息汇总

通过分析表1中的数据可以发现，考查数学运算、直观想象素养的试题数量明显多于考查数据分析、数学建模素养的试题数量．2018年的文理科试卷对6个数学学科核心素养均有考查，而且对各个素养考查的试题数量没有显著性差异，此外文科卷中没有重点考查数学建模素养的解答题，而理科卷则没有重点考查数据分析素养的解答题，只是在选择题中有所考查．进一步分析还可以发现，正如上文第三节素养考查分析中所述，有些试题综合考查了两种以上核心素养，例如理科第5、8、9、17、18、19、20、21、22题，文科第17、18、20、21、22题等．

5 结论与建议

通过分析2018年高考数学全国I卷试题中数学学科核心素养的考查情况，可以大致得出以下几个结论．

（1）2018年高考数学全国I卷试题整体更侧重于创新，情境多样、思维灵活，不仅考查了学生的基本知识、基本技能，更考查了学生的基本思想和基本体验活动，以及学生灵活运用所学知识解决真实情境问题的能力．文理科试题均以学科知识为载体，以思维能力为核心，强化了对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等6项核心素养的考查．这在一定程度上也说明，随着课程改革与高考改革的不断推进，数学测评的价值取向正在由知识技能导向转变为核心素养导向．

（2）研究还发现，2018年的高考数学试题强化了试题的综合性，有很多题目综合考查了学生多个核心素养．但是目前的试题整体过分偏重于对数学运算素养的考查，而对数据分析、数学建模素养的考查相对较少．

（3）从试题考查情况来看，2018年的文理科试卷相同的试题数量为8题，并且有7题为选择题，1题为填空题．在对6个数学学科核心素养的考查试题数量上，文理科没有显著性差异，这说明文理科命题越来越趋向于统一化．

测评作为数学教育过程中的一个关键环节，肩负着提高数学教育质量、甄别人才的重要使命．高考作为一种重要的测评方式，在其中发挥着至关重要的作用，为了改善目前高考中数学学科核心素养考查的现状，基于上述分析提出以下几点建议．

（1）对于目前这种以学科核心素养为导向的高考命题形势，一线老师需要在教学中注重培养学生逻辑思维的系统性，提高学生的随机应变能力，让学生关注现实生活，发现生活中的问题，学着运用课堂上学到的知识来分析问题和解决实际问题．在这个变革的过程中，学校、教育部门、社会都需要树立长远的教育质量观，在日常的教学评价与考核中渗透素质教育的思想理念，进一步完善核心素养测评体系．

（2）在高考数学命题中聚焦数学学科核心素养的考查既符合数学课程改革的方向，也有利于引导高中数学教学回归到正确的育人轨道上来．随着以大数据、人工智能技术为代表的一系列现代科学技术的兴起，数据分析早已经深入到科学、技术、工程等各个领域．为适应未来的工作与生活，高中学生必须具备一定的数据分析、数学建模素养．建议在高考命题中适当调整数学运算素养考查权重，加强对数据分析、数学建模素养的考查，设置更为真实的情境，把对数学核心素养的考查融入到具体的学科知识内容和思想方法当中．

（3）2014年9月，国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，在高考综合改革试点省市进行考试科目设置改革，高考数学考试将不分文理科，所有考生使用相同的试卷．随着这项政策的落实，越来越多的省份将不分文理科，今后的高考数学命题将更加统一化、科学化．研究发现，高考数学全国I卷文理科试题越来越趋向于统一化．为了进一步落实新高考政策，积极推进由文理分科命题转向统一命题的教学转变，一线数学教师要及时更新知识体系，调整数学教学方法，适应教育新时代背景下的数学教学工作．

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Research on Mathematical Assessment of Literacy Orientation——Taking the 2018 College Entrance Examination as an Example

LI Zuo-bin

(Institute of Curriculum and Instruction, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

In 2014, the Ministry of Education initiated the revision of the standard for high school mathematics curriculum, and in 2018 officially announced the revised new high school mathematics curriculum standards (2017 edition). The new curriculum standards consolidated the core literacy of mathematics, including: Mathematics abstraction, Logical reasoning, Mathematical modeling, Visual imagination, Mathematical operations and Data analysis. As an important mathematical evaluation method, the college entrance examination had been in constant reform. The research was based on the 2018 college entrance examination mathematics national I volume. The test questions were an example to analyze the examination of the core literacy of mathematics in the college entrance examination. The study found that this year’s college entrance examination mathematics test examines the subject knowledge and skills while strengthening the examination of core literacy of mathematics.

curriculum standards; core literacy of mathematics; assessment; college entrance examination

G632.474

A

1004–9894（2018）06–0033–05

李作滨．素养导向的数学测评研究——以2018年高考为例[J]．数学教育学报，2018，27（6）：33-37．

2018–07–08

华东师范大学教育学部大学生科研基金项目——基于核心素养的高考数学命题研究：以2018年高考为例（ECNUFOE2018KY097）

李作滨（1994—），男，江西吉安人，硕士生，主要从事教育测量与评价、课程与教学论研究．

[责任编校：周学智、陈隽]