数学教材内容的螺旋式编写方式研究——以“平行四边形”为例

宋运明，邝孔秀



数学教材内容的螺旋式编写方式研究——以“平行四边形”为例

宋运明1，邝孔秀2

（1．贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550025；2．湖州师范学院 教师教育学院，浙江 湖州 313000）

螺旋式是课程与教材内容组织的重要形式，采用内容分析法对现行6个版本义务教育阶段数学教材中平行四边形内容的螺旋式编写特点的研究表明：现行教材中平行四边形内容螺旋间隔差异较大，广度和深度总体上随着学段升高而增加．教材螺旋式编写在对数学知识点进行螺旋组合时要考虑知识和学生认知发展的适应性、知识间的逻辑联系与数学思想的渗透；螺旋的数量和间隔、每一螺旋的时间选择和呈现方式等需要结合学生不同阶段的认知水平和知识的特点来确定；对于较为重要、复杂且抽象的知识，教材需要设计合理的螺旋；对于比较直观、学生有一定生活经验基础的知识，不必要安排螺旋．

数学教材；平行四边形；螺旋式；编写特点；内容分析法

1 问题提出

螺旋式作为课程与教材内容组织的重要形式[1]，意指课程内容要在不同阶段重复出现，但逐渐扩大范围和加深程度．相对于另一组织形式——直线式，它的内容尽管有一定重复，但容易照顾到学生的认识特点，有利于加深对学科的理解[1]．螺旋式兴起于20世纪60年代布鲁纳提出的“螺旋式课程”．他认为，课程内容的核心是学科的基本结构，应该从小就开始教各门学科最基本的原理，以后随着学年的递升而螺旋式地反复，逐渐提高[1]．然而，对于如何组织和编写螺旋式教材，迄今为止还在探索之中，甚至还存在一些争议[2]．但螺旋式编写方式还是得到了广泛认可，如宋乃庆、邝孔秀通过对美国、英国、法国、德国、俄罗斯、澳大利亚、韩国、日本、新加坡9个发达国家的12套小学数学教材比较研究发现，当前发达国家小学数学教材在编写方式上普遍以螺旋式为编排方式[3]．我国现行的《义务教育数学课程标准（2011年版）》[4]（以下简称2011课标）和《普通高中数学课程标准（实验）》[5]均在“教材编写建议”中明确了螺旋式的地位．课程标准是教材编写的主要依据，相应地，螺旋式在我国的中小学数学教材编写中也得到了很好的体现．总结现行数学教材内容螺旋式编写的经验与不足，对于丰富布鲁纳的螺旋式课程思想具有重要意义．

一些学者从数学课程、教材[6-9]和学生认知[10]等方面对螺旋式编排进行了研究．这对于澄清“螺旋式”的认识和构建分析框架很有启发意义；但对于数学教材内容的螺旋式编写如何避免知识的跳跃杂乱，如何适应不同发展阶段学生的学习，比如如何考虑哪些数学知识适合组成一个螺旋、同一知识点需要多少次螺旋、不同螺旋之间的间隔时间多长合适、如何选择螺旋时间和呈现形式等，还缺乏结合具体教材和内容的研究，因此还不能满足数学教材螺旋式编写和数学课堂教学的实际需要．

平行四边形内容是义务教育阶段“图形与几何”学习领域的重要组成部分，涵盖直观几何、度量几何（如平行四边形面积）、演绎几何、变换几何和坐标几何（分布在教材习题中）等多个领域，是培育学生空间观念、运算能力、推理能力、几何直观与符号意识等数学素养的良好素材．它的教材内容分布在义务教育的3个学段，较好地体现了“螺旋式”编排理念．因而研究者拟以平行四边形内容为例，采用量化分析与质性描述相结合的方式，力求较为精准地刻画现行中小学数学教材内容的螺旋式编写特点，分析其螺旋式编写的经验、不足及改进方式，期望能为数学教材建设、改进教学，进而增强学生数学学习效果的累积效应提供参考．

2 研究设计

研究方法主要采用内容分析法．其核心是根据既有理论，发展系统的分析框架，将待分析的教材文本登录为一定的类属，再加以统计，以量化数据来描述该文本特性[11]．

2.1 研究对象

教育部公布的《2016年义务教育教学用书目录》中的六三制数学教材，1~6年级（小学）有7个版本，7~9年级（初中）有10个版本[12]．据教育部通知，2017年义务教育阶段仍使用2016年目录公布的数学教材[13]．在这些数学教材的出版单位中，既出版7个版本的小学数学教材，又出版10个版本的初中数学教材的出版社有6家．为保持所研究数学教材内容的连续性，更好刻画其螺旋式编写特点，研究者从上述教材中选择这6家出版社出版的义务教育数学教材作为研究对象．它们分别由北京出版社、北京师范大学出版社、河北教育出版社、凤凰出版传媒股份有限公司（江苏凤凰教育出版社和江苏科学技术出版社是其旗下成员，分别出版小学和初中数学教材）、青岛出版社和人民教育出版社出版．相应地，将其分别简称为北京版、北师版、冀教版、苏教版、青岛版和人教版．1~3年级、4~6年级、7~9年级分别为第一学段、第二学段和第三学段．具体版本及其含“平行四边形”内容的册次等信息见表1，其中一年级下册，简称“一下”，其它册次类推．

课堂教学是学校教育的主阵地．限于篇幅，教材分析仅限于课堂教学中使用率较高的内容，即表1各册教材正文中的“平行四边形”内容，不包括相应的章前言、课堂练习、习题、复习题、特色栏目等，也不包括编写于其前后的“长方形（矩形）、正方形、三角形和梯形”等内容．

表1 所选数学教材的基本信息

2.2 分析框架

分析框架是以“螺旋式”组织形式为指导思想，在对研究对象与相关文献反复对照分析的基础上，主要将孔凡哲提出的“教材运用‘螺旋式上升’可以从深度、广度和应用等维度予以实现”[6]与李卓、于波研究小学数学教材螺旋式结构编排的“螺旋的时间间隔”等维度[9]，综合化和具体化而成．具体包括3个一级维度：螺旋间隔、内容广度、内容深度．

（1）螺旋间隔．该维度可以从整体上刻画教材内容螺旋式编写的状况．具体包括含“平行四边形”内容的册数（螺旋数量）、间隔时间、平均间隔时间3个二级维度．每版教材18册，每册教材可为学生提供一个学期的数学学习线索．整个义务教育阶段共有18个学期．为叙述方便，在学习时间上，约定一册教材代表一个学期．以人教版为例，从一下到九上（采用“闭区间”，下同）共有16个学期，有5个学期出现平行四边形内容，4个间隔时间分别为4个学期、1个学期、6个学期、0个学期，则人教版平行四边形内容螺旋的平均间隔时间为(11÷4)=2.75个学期．

（2）内容广度．通过知识点的多少及其组合情况对各版本每个学段教材的内容广度进行量化分析与质性描述，具体包括知识点个数与知识点组合两个二级维度．史宁中等认为数学教材中的知识点可以分为概念及概念之间的关系，即命题．因此，知识点要么是概念，要么是命题[14]．通过对6个版本的有关平行四边形的知识点进行梳理与求并集，共得到14个知识点：Z1—平行四边形，Z2—对角线，Z3—高，Z4—底，Z5—面积公式，Z6—性质1（对边相等），Z7—性质2（对角相等），Z8—性质3（对角线互相平分），Z9—性质4（不稳定），Z10—性质5（是中心对称图形），Z11—判定1（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），Z12—判定2（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），Z13—判定3（对角线互相平分的四边形是平行四边形），Z14—判定4（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．前4个是概念，后10个属于命题．

（3）内容深度．该维度仅对重复的知识点在不同学段的深度变化进行分析，它们可以通过知识点的教材呈现所体现的知识或思维要求的高低变化来刻画．知识点的深度包括概念深度和命题深度两个二级维度．依据概念与命题教材呈现的一般过程，概念从引入、描述和应用3个3级维度，命题从发现、证明和应用3个3级维度进行深度变化分析[15]．需要说明的是，教材呈现的命题描述部分在学段之间的深度变化不明显，故分析时不涉及该部分．

综上，研究者结合相关成果构建了数学教材中螺旋式内容的分析框架，如图1．

图1 分析框架

3 研究结果

3.1 螺旋间隔

由表1可以看出，6个版本中，平行四边形内容首次出现在一下的有4个版本，即北京版、北师版、青岛版和人教版，首次出现在二上的是苏教版，出现在二下的是冀教版．在第一学段，平行四边形内容出现两个学期的有北师版和青岛版，其它版本出现一个学期；在第二学段，北京版的螺旋数量为1，其它版本为2；在第三学段，人教版的螺旋数量为2，其它版本为1．

螺旋数量最多的版本是北师版、青岛版和人教版，有5个；螺旋数量最少的是北京版，为3个．螺旋间隔时间最长的是6个学期，即3个学年，最短的是0个学期．

平行四边形内容的不同学段之间的间隔时间比同一学段内的间隔时间长，第二和第三学段之间的间隔时间（6个学期）一般比第一和第二学段之间（3~6个学期）的长．螺旋的平均间隔时间最长的是北京版，为6个学期；最短的是北师版和青岛版，为2.5个学期．详见表2．

表2 各版本教材内容的螺旋间隔

3.2 内容广度

3个学段，北京版、北师版、冀教版和人教版的平行四边形内容有13个知识点，苏教版和青岛版有11个知识点．其分布详见表3．

表3 平行四边形内容的知识点分布

在第一学段，冀教版含有3个知识点，北师版有2个，其它4个版本仅有1个，即平行四边形的概念．

在第二学段，6个版本知识点个数为4~7，北师版知识点数量最少，仅4个，冀教版知识点数量最多，有7个；6个版本均含有Z1、Z3、Z4、Z5等4个知识点，除北师版外的5个版本含有“性质1（对边相等）”，冀教版和青岛版含有“性质2（对角相等）”．

在第二学段中，6个版本的“面积公式”知识点均处于五上；北师版的“高”和“底”两个知识点与“面积公式”知识点编写在同一册的同一单元，而与“平行四边形的概念”处于不同的册别．冀教版、苏教版、青岛版和人教版4个版本将这两个知识点与“平行四边形的概念”编写在同一册的同一单元，而与“面积公式”处于不同的册别．北京版综合了上述两种情况，将这两个知识点与“平行四边形的概念”“面积公式”编写在同一册的同一单元．

在第三学段，6个版本中，知识点个数为8~9，均含有Z1、Z6、Z7、Z8、Z10、Z11、Z12、Z13这8个知识点．除人教版的“性质5（是中心对称图形）”知识点处于九上外，其它5个版本的平行四边形内容均处于八下．对于“性质5（是中心对称图形）”知识点，北师版、冀教版和苏教版将其编写在“平行四边形的性质和判定”之前，在呈现该知识点的同时，还把它作为探究发现或论证平行四边形性质的手段；其它3个版本，则将其编写在“平行四边形的性质和判定”内容之后．

纵观3个学段，6个版本教材中都出现了“平行四边形的概念”知识点．在第二和第三学段，除北师版外，其它5个版本均出现了“性质1（对边相等）”知识点；冀教版和青岛版都出现了“性质2（对角相等）”知识点．“高”“底”和“性质5（是中心对称图形）”等知识点与相关知识点组合情况在不同版本有较大差异．

3.3 内容深度

3.3.1 “平行四边形概念”在3个学段的深度变化

在第一学段，（1）概念引入，冀教版教材编写采取了从抽象图形到抽象图形、一般到特殊的编写顺序，其中渗透了分类思想．而其它版本教材编写则遵循了从具体实物到抽象图形的顺序；其中，北京版、人教版的具体实物是比照立体图形画的平面图形，青岛版是剪贴画，北师版和苏教版是日常生活素材（如衣帽架），北京版和人教版也渗透了分类思想．（2）概念描述，北师版一下结合实物给出概念名称，二下结合平行四边形图形给出概念名称．而其它版本均结合图形给出概念名称．（3）概念应用，青岛版呈现了含有平行四边形的剪贴画拼图，其它版本则均编写了有关七巧板的拼图．此外，北师版和冀教版还编写了把实物长方形拉成平行四边形内容，进一步引导学生感受平行四边形的整体特征．

在第二学段，（1）概念引入，北师版由对8个四边形分类引入，而其它版本均是由生活素材引入．6个版本均是在探究出平行四边形的元素关系特征，尤其是对边平行之后，得出平行四边形概念．（2）概念描述，北京版和人教版呈现了概念的文字定义，即两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．其它4个版本不仅有概念的文字定义，还辅以平行四边形的几何图形进行直观支撑．（3）概念应用，北京版、北师版、冀教版和人教版都编写了长方形、正方形和平行四边形的关系，北京版和人教版呈现了平行四边形的不稳定性．苏教版和青岛版没有明显地呈现概念应用．

在第三学段，（1）概念引入，6个版本均由生活素材引入概念，其中冀教版和青岛版在生活素材和抽象概念之间有“数学化”的过渡内容．（2）概念描述，6个版本均给出概念的文字定义，并结合平行四边形图形说明概念的符号表示方法．特别地，北京版和青岛版结合图形，以符号语言阐释了定义．（3）概念应用，6个版本均将平行四边形定义应用于部分性质、判定及相关例题的证明．

从概念引入素材看，第一个学段有3个版本是小学生较为熟悉的纸片图形、剪贴画和积木的表面图形，有两个是生活素材，一个是几何图形．第二学段仅有一个版本是几何图形，其它5个版本是生活素材．第三学段的6个版本全部是生活素材．第一学段与第二学段的素材选取较符合学生的认识特点，且在生活范围上有一定差异，而第三学段的素材与第二学段在生活范围上差异不大．有些版本在不同学段中使用了名称相同的素材（虽然图片所显示的具体实物不同），如北师版在第一和第三学段均呈现了“伸缩门”的素材，冀教版第二和第三学段均选用了“伸缩门”，苏教版在3个学段均采用了“楼梯扶手”，青岛版在第二和第三学段均有“楼梯扶手”．

从概念的引入过程看，第一学段的5个版本是对具体的平行四边形物体抽象、分类或概括，进而从整体上把握平行四边形的外部特征．第二学段的全部版本是在探究平行四边形元素之间关系特征的基础上，从内部特征方面进一步认识平行四边形．第三学段教材则多基于生活素材直接给出概念．

从概念的描述看，第一学段的6个版本是结合图形给出概念名称；第二学段是结合图形给出概念的文字定义；第三学段不仅给出概念的文字定义，还结合图形说明概念的符号表示方法．

从概念的应用看，第一学段主要在于做有关平行四边形的拼图，第二学段多运用平行四边形的文字定义，与长方形、正方形等图形建立联系，有一定的抽象和推理要求，第三学段则将定义应用于严格的演绎推理．

综上，平行四边形概念的引入过程、描述和应用对学生思维的要求，随着学段的升高而升高．

3.3.2 “平行四边形性质1和性质2”在第二和第三学段的深度变化

对于性质1，在第二学段，北京版、青岛版和苏教版均通过观察和度量发现性质，人教版没呈现具体的发现过程．冀教版则是将实物长方形拉成平行四边形，经由长方形的对边相等推出平行四边形的对边相等，体现了一定的形式推理要求．此外，6个版本中仅冀教版在第一学段具有性质的发现过程，与该版本第二学段的性质发现过程基本相同．在第三学段，北京版借助计算机或图形计算器，冀教版、苏教版和青岛版均通过几何变换，人教版则经由对具体平行四边形图形的观察和度量发现性质．证明中，苏教版在证实平行四边形中心对称性质的同时，证明了性质1．北京版、冀教版、青岛版和人教版均采用了相同的演绎几何的证明思路．此外北京版、冀教版和青岛版给出了证明过程的“已知”和“求证”．

对于性质2，冀教版和青岛版在第二学段均是通过度量发现对角相等．在第三学段均是通过几何变换发现性质，并对其进行了演绎证明，其中青岛版不仅提供了一种详细的证明过程，还呈现了另一种证明思路，体现了证明思路的多样化．

对于性质1和性质2，第二学段教材的正文，没有明显地呈现其相关应用，第三学段主要将其应用于证明和计算相关问题．

纵向看，北京版、冀教版、苏教版、青岛版的性质1与冀教版、青岛版的性质2，在第二和三学段教材中的发现过程，不仅活动内容不同，而且知识或思维要求也不同；它们仅在第三学段教材中具有证明和应用内容．可见，多数版本性质1和性质2发现、证明和应用的教材编写随着学段升高，思维要求在递升，深度在加深．当然，在第三学段的各版教材中，平行四边形的其它一些性质和判定的内容深度与相应教材的性质1、2基本一致．

4 研究结论

由研究结果可知，义务教育6个版本数学教材中平行四边形内容螺旋式编写的主要特点如下．

（1）6个版本螺旋数量范围是3~5个，间隔时间范围0~6个学期，不同学段之间的间隔时间比同一学段内的间隔时间长，平均间隔时间范围是2.5~6个学期．不同版本内容的螺旋间隔差异较大．

（2）第一学段知识点个数范围是1~3，第二学段范围是4~7，第三学段是8~9．一些知识点在不同版本中的组合情况不同．内容在3个学段有一定重复，随着学段升高，广度在“上升”．

（3）平行四边形概念的引入、描述和应用在3个学段的教材编写，性质1和性质2的发现、证明和应用在第二和第三学段的教材编写，绝大部分随着学段升高，所体现的思维深度在“上升”．

2011课标在“教材编写建议”中指出，螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求[4]．范希尔理论中的几何思维水平可以合并为从低到高的3个：直观水平——整体地认识几何对象；描述水平——通过几何性质认识几何对象；理论水平——利用演绎推理证明几何关系[16]．从研究结果可知，数学教材平行四边形内容的螺旋式编写在第一、二和三学段分别体现了直观水平、描述水平和理论水平的要求，从广度、深度上基本达到“质的上升”．

概而言之，6个版本义务教育数学教材中平行四边形内容螺旋间隔差异较大，广度和深度基本上随着学段升高而增加．

5 研究讨论

螺旋式的课程和教材组织一方面需要避免知识的跳跃杂乱，另一方面需要适应不同发展阶段学生的学习．为此，在螺旋式教材编写实践中，需要考虑哪些数学知识适合组成一个螺旋，同一知识点需要多少次螺旋，不同螺旋之间的间隔时间多长合适，如何选择螺旋时间和呈现形式．

（1）如何对数学知识点进行螺旋组合？平行四边形内容的知识点在3个学段有一定重复，随着学段的升高，知识点的个数逐渐增加，即体现了广度的“上升”．那么，在一个知识主题中，哪几个知识点组成一个螺旋较为合适，需要具体情况具体分析．

6个版本中，知识点组合情况有较大差异．例如，北师版将“高”“底”与“面积公式”知识点编写在同一册的同一单元；冀教版、苏教版、青岛版和人教版4个版本将“高”“底”与“平行四边形的概念”编写在同一册的同一单元，而与“面积公式”处于不同的册别．应该说，“面积公式”涉及“高”“底”，它们之间有紧密的联系：“高”“底”的应用之一即是“面积公式”，同时“面积公式”需要“高”“底”的知识基础．因此，按照直线式组织方式将它们组合在一个单元中，有利于加强学生对知识间逻辑联系的理解．而将“面积公式”与“高”“底”编写在不同册别中学习，虽然给“高”“底”的学习带来一次螺旋式认知的机会，但更多地淡化了知识之间的逻辑联系，一线教师对此意见较大，建议改进．

对于“性质5（是中心对称图形）”知识点，北师版、冀教版和苏教版将其编写在“平行四边形的性质和判定”之前，在呈现该知识点的同时，还把它作为探究发现或论证平行四边形性质的手段，不仅加强了知识间的联系，还凸显了变换几何的优势[17]．其它3个版本则将其编写在“平行四边形的性质和判定”内容之后，作为一个单独的知识点学习，虽然能为学生结合“平行四边形的性质和判定”理解“性质5（是中心对称图形）”打下经验基础，但割裂了知识之间的内在联结，弊大于利．

从6个版本“平行四边形”的螺旋式组织来看，螺旋式在避免知识的跳跃杂乱、进行知识点的螺旋组合时，不仅要考虑知识与学生认知发展的适应性，还要从保持知识间的逻辑联系与渗透数学思想，使学生能从高观点认识数学知识的角度考虑．

（2）螺旋数量、间隔时间多少合适？在平行四边形内容的6个版本的教材中，螺旋数量最多的是5个，最少的是3个，螺旋间隔时间最长的是6个学期，最短的是0个学期，5个版本教材的平均螺旋间隔时间是2.5~3.33个学期．那么，螺旋数量或螺旋之间的间隔时间究竟多少合适？这需要在教学实践中进一步调查．

相关地，同一知识点螺旋重复多少次合适？比如，“平行四边形概念”在4个版本中出现了3次，2个版本出现了4次．“性质1”在北师版中没有重复，冀教版中出现了3次，其余版本出现了2次．“性质2”在冀教版和青岛版中出现了2次，其它4个版本均没有重复出现．冀教版中的“知识点Z9”出现了2次，分别在二下、四下，其它5个版本均没有重复出现．

“平行四边形概念”作为整个“平行四边形”知识体系的核心，是体系中其他知识点的生长点，内涵和外延及其表征较为复杂、抽象．它在一套教材中螺旋学习3~4次是合理的，这较好地发挥了螺旋式组织的优势，让不同年龄和发展阶段的学生通过与之相适应的学习不断地丰富对“平行四边形概念”的理解．对于“性质1”和“性质2”，它们均涉及图形特点的分析、图形要素及数学概念之间的关系，是理解“平行四边形其它性质和判定”的基础，同样较为复杂、抽象，需要螺旋式学习，因而教材有必要设计螺旋．就此而言，对于“性质1”和“性质2”，没有设计螺旋的教材需要改进．“知识点Z9”对小学生来说是比较直观的，也有一定的生活经验基础，似乎没有螺旋学习的必要，特别是在四下时可能不需要再学习一次．

因此，螺旋的数量和间隔时间需要结合学生不同阶段的认知水平和知识的特点来确定．对于较为重要、复杂且抽象的知识，教材有必要设计合理的螺旋数量，让学生可以在不同层次、易于理解的素材中通过螺旋式学习逐渐理解、掌握它．对于比较直观、学生有一定生活经验基础的知识，不必要安排螺旋．此外，从以上也可以看出，课程组织不应该简单二分法，应根据具体知识的特点，合理利用直线式和螺旋式，发挥两种组织方式的各自优势，使课程的组织取得最大累积效应．

（3）如何选择螺旋时间和呈现形式？就时间选择而言，6个版本在一下至八下安排“平行四边形概念”、四上至八下安排“性质1”、在四下至八下安排“性质2”是比较合适的．对于“性质4”，北师版和冀教版教材安排在第一学段，北京版、冀教版和人教版在第二学段分别呈现，北师版的四下第二单元“认识三角形和四边形”与青岛版的四下第四单元“巧手小工匠——认识多边形”在单元正文编写了“四边形的不稳定性”内容，而这些内容在第三学段教材很少出现．考虑到小学生通过动手操作和观察就可以“了解四边形的不稳定性”，现行的2011课标在“课程内容”中将“了解四边形的不稳定性”安排在第三学段[4]值得商榷，建议将课程标准中“课程内容”的该内容下移至第二学段．

就每一螺旋的具体呈现方式而言，多个版本“平行四边形概念”在第三学段的引入素材与第二学段在生活范围上差异不大，有些版本在不同学段引入素材的选取中存在重复现象（如使用了名称相同的素材），值得商榷．对于“性质1”的发现，人教版在第二和第三学段的编写所体现的思维要求无明显差异，在八下经由对具体平行四边形图形的观察和度量发现性质，就初中生而言，思维水平要求偏低．冀教版在第一和第二学段均有“平行四边形性质1的发现”，但第一学段就编写“平行四边形的对边相等”，超出了“直观水平”的要求，与学生的实际认知水平可能存在差异．

由上可见，同一知识点每一螺旋的时间选择和呈现方式需要结合知识的特点和学生的认知发展而确定[18]，避免过低或过高地估计学生的知识理解能力．具体而言，可以依据相关的学习理论（如范希尔的几何思维水平理论）来设计适宜的螺旋时间及相应呈现方式．

6 研究贡献与展望

6.1 主要贡献

（1）理论贡献在于构建数学教材内容的螺旋式分析框架，提出若干编写策略，从而深化了“螺旋式”课程理论．布鲁纳虽提出了“螺旋式课程”，但并未对如何螺旋作深入具体说明，如螺旋数量和间隔、每一螺旋的时间选择和呈现方式等．文[6]和文[7]主要从理论层面阐述了实现数学课程与教材内容螺旋式上升的3个维度，深度、广度和应用（素材），后者还辅以例析．文[8]和文[9]主要从螺旋间隔维度对具体数学教材的螺旋式内容进行了量化分析．研究者结合相关成果将这些研究的维度综合化、具体化，其中将“应用（素材）”纳入深度维度之中，继而构建了研究的分析框架．此外，结合研究结果从螺旋组合、螺旋数量、螺旋间隔、每一螺旋的时间和呈现方式等方面对教材内容的螺旋式编写方式进行了初步探讨，并得出一些策略．

（2）实践贡献在于探析现行6版数学教材中“平行四边形”内容的螺旋式编写特点及存在问题，进而提出了相关教材编写建议．文[8]的研究对象是中韩高中数学教材中的全部内容，文[9]聚焦于国内北师版和西师版小学数学教材中的“统计与概率”．研究者选取小学和初中连续的6个版本义务教育数学教材内容中的“平行四边形”，从某种程度上讲，所分析的教材囊括了中国现行义务教育数学教材的所有版本．

6.2 研究展望

6.2.1 拓展数学教材螺旋式内容的研究范围

限于篇幅，本研究仅涉及了数学教材中平行四边形内容的正文，其实习题等内容的难度[19-20]也和螺旋式内容的广度、深度变化有着重要关联．如苏教版四下的相应练习中，就暗含了“平行四边形的对角相等和不稳定性”内容．

螺旋式编写在现行中小学数学教材中已经比较普遍，研究者还需拓展螺旋式知识内容的研究范围，包括数与代数、图形与几何、统计与概率等领域．

此外，2011课标在“教材编写建议”中指出，数学中有一些重要的内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等[4]．因此，数学教材螺旋式知识内容不仅包括概念、命题，还包括数学思想方法等．如北京版和人教版在第一学段平行四边形概念引入的编写中渗透的分类思想，在初中的“圆”、高中的“解析几何”等诸多内容中都有渗透．

6.2.2 加强数学教材螺旋式内容的教与学研究

教师在现实教学中常常遇到以下问题：（1）由螺旋式编写的内容，对前一螺旋让学生学到什么程度才不会影响到他们对后一螺旋的把握？（2）学生稍一问个为什么，就要等待螺旋的下一个循环[21]．（3）有关研究表明，在学习初中“平行四边形及其性质”前，大多数学生可以猜测、计算或回答出：平行四边形的对边平行、对边和对角相等[22]．既然如此，教师应如何进行这一内容的教学呢？也即是，对于螺旋式内容，教师的教和学生的学如何有效地保持每个螺旋的相对独立性，又能与其前后的螺旋（如果有）做好衔接，以使教学的累积效应最大化，进而促进学生数学素养的培育[23]？比如，除了从整体视角研读数学课程标准[24]和教材[25]的策略外，还有无其它方式？等等．上述问题需要理论研究者和一线教师共同努力，加强螺旋式内容的教与学研究，以寻求有效的解决路径．

[1] 施良方．课程理论——课程的基础、原理与问题[M]．北京：教育科学出版社，1996：118-119．

[2] 姜伯驹．新课标让数学课失去了什么[N]．光明日报（教育周刊），2005-03-16（5）．

[3] 邝孔秀，宋乃庆．发达国家小学数学教科书编写改革趋势及其启示[J]．比较教育研究，2016，38（5）：63-70．

[4] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：62，34．

[5] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003：118．

[6] 孔凡哲．基础教育新课程中“螺旋式上升”的课程设计和教材编排问题探究[J]．教育研究，2007，27（5）：62-68．

[7] 顾继玲．关于数学教材内容的选择与组织[J]．数学通报，2017，56（2）：3-4．

[8] 崔英梅．课程组织的量化分析研究——以中韩高中数学教科书为例[D]．长春：东北师范大学，2014：68-102．

[9] 李卓，于波．小学数学教科书螺旋式结构编排比较研究——以北师版和西师版“统计与概率”为例[J]．内蒙古师范大学学报（教育科学版），2012，25（2）：106-108．

[10] 李耀光，何小亚．新课程数学概念“螺旋式”上升编排的认知审视[J]．数学教育学报，2010，19（4）：12-14．

[11] 张倩，黄毅英．教科书研究之方法论构建[J]．课程·教材·教法，2016，36（8）：41-47．

[12] 中华人民共和国教育部．教育部办公厅关于2016年中小学教学用书有关事项的通知[EB/OL]．（2016-04-11）[2017-07-29]．http://www.moe. gov.cn/ srcsite/A26/moe_714/201604/t20160428_241261.html.

[13] 中华人民共和国教育部．教育部办公厅关于2017年中小学教学用书有关事项的通知[EB/OL]．（2017-04-24）[2017-07-29]．http://www. moe.edu.cn/srcsite/A26/moe_714/201705/t20170502_303533.html.

[14] 史宁中，孔凡哲．十国高中数学教材的若干比较研究及启示[J]．外国教育研究，2015，42（10）：107．

[15] 宋运明．中国初中数学教材中勾股定理内容编写特点研究[J]．数学教育学报，2017，26（3）：44-48．

[16] 鲍建生，周超．数学学习的心理基础与过程[M]．上海：上海教育出版社，2009：5．

[17] 张奠宙，沈文选．中学几何研究[M]．北京：高等教育出版社，2006：118．

[18] 任旭，夏小刚．问题情境的创设：基于思维发展的理解[J]．数学教育学报，2017，26（4）：15-18．

[19] 曹一鸣，吴立宝．初中数学教材难易程度的国际比较研究[J]．数学教育学报，2015，24（4）：3-5．

[20] 蒲淑萍，宋乃庆．21世纪小学数学教材的国际发展趋势研究——基于对10个国家12套小学教材的分析[J]．教育研究，2017，37（5）：149．

[21] 姜伯驹．关于初中数学课程标准的基本理念[J]．数学通报，2005，44（8）：3．

[22] 杨小丽．“平行四边形及其性质”怎么教[J]．数学通报，2016，55（8）：40-43．

[23] 史淑莉．数学素养视阈下初高中数学衔接问题研究[J]．数学教育学报，2017，26（4）：30-33．

[24] 陈行，黄翔．寻求课程总目标的一致性——基于《义务标准》与《高中标准》的衔接研究[J]．数学教育学报，2012，21（3）：60-62．

[25] 温建红，汪飞飞．从整体视角研读数学教科书：理据与方法——以“视图”为例[J]．数学教育学报，2017，26（6）：80-85．

Research on the Spiral Writing Way of Mathematical Textbook Content——Taking Parallelogram as an Example

SONG Yun-ming1, KUANG Kong-xiu2

(1.School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guizhou Guyang 550025, China;2. College of Teacher Education, Huzhou University, Zhejiang Huzhou 313000, China)

Spiral was an important form of organization of curriculum and teaching materials. The research on the spiral writing characteristics of mathematics textbook content was carried out, in which parallelogram content in the 6 editions mathematics textbooks being used in compulsory education stage was the study object and content analysis was adopted mainly. The results showed that the differences in spiral spaces of parallelogram content were greater, the breadth and depth almost increased with the increasing in the study section. In order to avoid the fragmentation of knowledge and play spirals’ role in the compilation of textbooks, it was necessary to consider the adaptability of knowledge and students’ cognitive development, the logical relations among knowledge and the penetration of mathematical thought when the mathematical knowledge points were combined in a spiral way. The number and the interval time of the spirals, the time choice and presentation of each spiral need to be determined according to the cognitive level of students in different stages and knowledge characteristics. For the more important, complex and abstract knowledge, the textbook needs to design reasonable spirals. But it was unnecessary to arrange the spiral for the more intuitive knowledge about which students have some life experience.

mathematical textbook; parallelogram; spiral; writing feature; content analysis

G423

A

1004–9894（2018）06–0044–06

宋运明，邝孔秀．数学教材内容的螺旋式编写方式研究——以“平行四边形”为例[J]．数学教育学报，2018，27（6）：44-49．

2018–08–29

贵州省教育科学规划课题——初中数学教材中变式素材编写特点研究（2016B272）；贵州师范大学2015年博士科研启动项目——我国小学数学新教材中例题编写特点与使用研究

宋运明（1980—），男，山东曹县人，教育学博士，副教授，贵州杨跃鸣省级名师工作室成员，主要从事数学教材研究．

[责任编校：陈汉君、陈隽]