规律探索题面对面

戴敏

[摘   要]规律探索问题频频出现在中考试题中，成为中考的一大亮点.研究规律探索问题，可以培养学生的观察能力和归纳能力.

[关键词]初中数学;规律;探索;问题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0008-02

数学教育既要使学生掌握现代生活中需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面不可替代的作用.近年来，规律探索问题频频出现在中考试题中，成为中考的一大亮点.规律探索问试题旨在考查学生的观察能力和归纳能力，它要求学生能从具体的、特殊的数据或图形中，找出隐含的内在的规律，然后依规律解决相关的问题.

一、数式规律探索

数式规律探索，是指先给定一列数或代数式，要求学生通过观察已知的数或式，发现其中蕴含的规律，然后运用规律写出第n项的数或代数式.它包括数字规律探索与代数式规律探索两种类型.在中考中，以选择题或填空题的形式考查较为常见，偶尔也会在解答题中出现.通过数与式的规律探索，可以培养学生的发散性思维.

[例1]一列数[a1 ， a2 ， a3]…其中[a1=12]，[an=11+an-1] （n为不小于2的整数），则[a9]的值为           .

解析：由[an=11+an-1]可知[a2=11+a1]，[a3=11+a2]，[a4=11+a3]，…又因为[a1=12]，通过代入，可知[a2=11+12=23]，[a3=11+23=35]，[a4=11+35=58] .  倘若一直这样计算下去，是不是有些麻烦？认真观察就会发现，每一个数都是分数，它们的分子排列顺序是1，2，3，5 … 它们的分母排列顺序是 2，3，5，8 … 这不就是著名的斐波那契数列吗？即从第三项开始，每一项都等于前两项的和.按此规律，分子与分母都写到第9项，就可以得到[a9]的值，即[a9]= [5589] .

[例2]有一组多项式：[a+b2]，[a2-b4]，[a3+b6]，[a4-b8] … 请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为            .

解析：观察每个多项式的首项：[a]，[a2]，[a3]，[a4]  …  显然第10个多项式的首项为[a10];观察每个多项式的末项：[b2]，[-b4]，[b6]，[-b8] … 显然第10个多项式的末项为[-b20]，所以第10个多项式为[a10-b20].

评注：在数与式中探索规律，要认真观察已有的数与式，观察相邻两项的关系（如例1中[a1]与[a2]），或项与对应序号的关系 （如例2中[a+b2]与1， [a2-b4]与2），规律能用含n的代数式表示的用式子表示出来，困难的就用语言表达出来.这样能使我们的结论清晰化，然后用后面的某一项或两项进行验证.最后再推广到其他各项.它很好地体现了“特殊——一般——特殊”的数学思想.需要熟记的数列是：（1）奇数列：1，3，5，7，…，2n-1;（2）偶数列：2，4，6，8，…，2n;（3）1，4，9，16，…，n2;（4）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…（5）正整数前n的和：1+2+3+4+…+n = [n（n+1）2].

二、图形规律探索

图形规律探索问题，是指给定一列图形，这列图形按一定的规律增长，要求学生观察图形，写出第n个图形中某个元素的个数.这需要学生观察图形的组成，所关注的元素在每个已知图形中的个数，从而发现增长的规律.这类问题因其图文并茂，变化多样，备受中考命题人的喜爱，它常以选择或填空题考查.

[例3]如图1，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小正三角形的个数是          （用含有n的代数式表示）.

解析：第一个图案中有2个正三角形，第二个图案中有6个正三角形，第三个图案中有10个正三角形，第四个图案中有14个正三角形 ……发现后面的每一个图案比前一个图案多4个正三角形，所以第n个图案中就有[2+4（n-1）]个正三角形，2+4（n-1） = 4n-2，故填4n-2或2+4（n-1）.此题也可以这样去观察图案，把每个图案中的小正三角形分为两部分，一部分是上、下小正三角形之和，它们的个数分别为：0，2，4，6，…，（2n-2）;另一部分是中间的小正三角形数，它们的个数分别为：2，4，6，8，…，2n，所以第n个图案中小正三角形的个数是4n-2.

评注：在图形中探索规律，首先在已知的每个图案中，数得所关注图形的个数，看看这些个数之间有什么关系（如例题中6-2 = 4，10-6 = 4），或有什么共同点.因为每个图案都有不变的部分与变化的部分组成，所以用不变部分的个数加上变化部分的个数，也可获得规律，实际上，图形的变化规律最终要转化为数与式的变化规律.

三、數与图结合规律探索

在数与图形结合中探索规律，是指用图形来研究数字的规律，从而使我们直观地看到数字的变化规律，实现数与形的完美结合.用图形表示数字方面的规律，在教材多次出现，例如用图形面积法证明代数恒等式，用图形面积法证明勾股定理，用数轴观察实数的大小等.

[例4]图2中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+…+（2n-1）=         （用n表示，n是正整数）.

解析：观察图形可得，当n = 2时，图形面积=1+3 = 4 = 22，而最后一个加数3 = 2 × 2 - 1;

当n = 3时，图形面积= 1 + 3 + 5 = 9 = 32，而最后一个加数5 = 2 × 3 - 1;

当n = 4时，图形面积= 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42，而最后一个加数7 = 2 × 4 - 1;

……

所以，当边长为n时，图形面积 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + （2n - 1） = n2.

评注：在数与形的结合中探索规律，图形往往是为数字服务的，图形能很直观呈现数的规律，是数形结合思想的一个生动体现.例如，计算[12+14+18+116]+…+[1256]时比较困难，但观察图3可以很容易地得到[12+14+18+116] +…+[1256] =1- [1256] = [255256] .

规律探索问题没有固定的模式可以套用，唯一不变的方法就是观察再观察，思考再思考，尝试再尝试.只有经过一定量的训练，才能提高观察能力与归纳能力.

[  参   考   文   献  ]

[1]  陈芳.拨开云雾见月明：解初中数学规律探索题[J].中学生数理化（教与学），2018（4）：86-87.

[2]  杜玉成.初中数学规律探索型问题的解答策略[J].甘肃教育，2017（19）：123.

（责任编辑 黄桂坚）