浅谈点差法在高中数学中的应用

汤伊静

(浙江省杭州市学军中学 310000)

一、点差法解答圆锥曲线基本原理

二、点差法的基本应用

与弦中点相关的问题有三种：平行弦的中点轨迹；过定点的弦的中点轨迹；过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.

1.已知弦中点求弦所在直线方程

解设弦是AB，由点差法的小结论可知：

由此可见，具有斜率的弦中点问题，常常用点差法作答，设而不求，消去多个参数，得出最终答案.注意，如果是曲线的存在性问题，判断点M的位置至关重要，如果点M在曲线外，中点弦将不存在.

2.巧用点差法解对称点题型

解当直线AB斜率不存在时且与椭圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有两条.

点评此题看上去偏难偏怪，初看题让人无从下手，不知道怎么对“满足M为线段AB中点的直线l有4条”的条件下手，但只要抓住中点在椭圆内，一定会有4条直线，可以快速求得范围.

3.运用点差法证明定值存在性问题

此类问题中，一般是已知中点，运用点差法证明问题，同样的，设点坐标，写出两定点过直线的方程，相加减即可得出答案.同时，如果是二次曲线与直线相交，韦达定理也为我们提供解题的途径.

以2018年高考数学题为例：

如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A、B满足PA、PB的中点均在C上.设AB的中点为M，证明：PM垂直于y轴.

4.利用点差法求解取值范围

在高中数学中，求取值范围都是热门考点，一般题目设直线方程即可求解，但遇到两种二次曲线共存的题目或是有n个交点的题目，设直线方程的方法就很繁琐，此时，设点坐标求解较为便捷，同时注意中点的构造.

若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

此题有一个陷阱：许多学生会想当然的把圆与椭圆交于(0,1)，(0，-1)的点当做临界条件，但这么做是不对的.运用“正难则反”的思想，最多有3个公共点等同于求4个公共点范围.

点评此题运用设直线方程法也能求解，但是比较慢，容易出现计算错误，此处自己构造中点，熟练运用基本数学思想，大大简化的计算步骤，提高了正确率.

5.点差法与其他方法的联系

在点差法的记忆中，笔者发现它与隐函数求导有着千丝万缕的联系，对圆锥曲线进行求导，代入x0,y0(x0，y0为中点),把y′换成k，可以得到点差法的式子.下面给出隐函数求导过程：

由此可见，虽然隐函数求的是切线的斜率，点差法求的是中点弦的斜率，但仍有较大相似处.其中，隐函数求导的方法，在计算二次曲线与直线相切的题目中有着广泛应用.

综上所述，点差法在各式各样的题目中均有较大应用，同时作为一种基础数学方法，它与其它数学方法之间有着极大的相关性，这是我们在解题过程中所不能忽视的，要学会融会贯通，举一反三，在学习点差法的解题技巧过程中熟练掌握运用其它方法，高中数学学习才能达到事半功倍的效果.