一道三角恒等式证明的五种方法

2019-03-11 06:34孙风仪
学校教育研究 2019年6期
关键词:恒等式证法等式

孙风仪

三角恒等式的证明是高中数学学习中的一块重要知识点。由于其分析思路复杂多变,不少同学难以掌握和灵活运用。本文以高中数学中的三角恒等式的证明方法为例,尝试一题多解,能开拓解题思路,激发解三角恒等式的灵感, 培养数学学习兴趣。以期对该类知识点的掌握和灵活运用有所帮助。

该题是:证明: =

证法一:比较法。比较法是证明等式或者不等式常用的方法,也是比较两个实数大小的一种方法其理论依据是: ; ; .

- =

= = = 0

=

小結:根据要证 ,需证 。

证法二:切割化弦。切割化弦是处理三角题常用方法,尤其是同角三角函数之间的基本关系,一般地,一个式子有正切,余切或者正割,余割时,选择切割化弦。

左边 = = = = ①

右边 = = = = ②

= = = .

左边=右边。 =

小结:在证法二中的 ,这个等式: = 类似于人教版必修4第19页的例7,其证明方法也有很多种,下面给出一个利用正余弦倍角公式的方法,我们姑且称之为证法三。

证法三:利用倍角公式。由上法二得

= = = = =

= = = = =

=

小结:其中 = = 是正切半角公式的另外两种形式。

证法四与证法五:左到右或右到左:这也是证明等式的一种常用方法,即从一边推到另一边,一般都是从难到简,因为这道题左右两边形式一样,难易程度相同,故从左到右与右到左

都可。只需看清结论找准方向即可。

证法四:左边右边。

左边 = =

= =

= =

= = 右边

=

小结:方法四和方法五都是左边到右边,但分子分母原来的因子是不一样的,方法四是看看右边的分子部分寻求思路的。而方法五是根据右边的分母部分选择所配的因式,当然,这个题也可以从右边往左边证明,方法同上。

证法五:比例的性质。此种方法运用了初中学过的分比合比的性质.

∵tanx ∴ = --------③

∴ = = =

∴ =

再由③得 : = 得:

= = =

∴ =

由于: = 前面在证法二中已证.

故: =

小结:在学习的过程中,进行解题训练时,可以偏重于某一个或某几个思路进行,待熟练掌握后,可以尝试着寻求另外的一些分析方法,拓展自己的思维空间,改善自己的思维方式,同时也有助于更好的掌握这方面的知识点,增强自己的解题能力。

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