北斗区域Klobuchar改进模型及其修正精度分析

刘瑞华 ，薛凯敏，王剑

1.中国民航大学 电子信息与自动化学院，天津 300300

2.中国民航大学 民航航空器适航审定技术重点实验室，天津 300300

随着全球导航定位技术的不断发展和基于性能的导航在中国民航领域的逐步推广实施，卫星导航将成为未来民用航空的主要导航手段［1］。为进一步提高导航定位精度，需要消除或减少导航定位中的各类误差，导航信号传播路径中的电离层延迟是其中重要一项［2-3］。

北斗卫星导航系统采用基于长期观测数据的经验模型Klobuchar模型来修正电离层延迟误差［4］，但其应用于某一特定区域的有效性和修正精度有限。基于此，在借鉴章红平等人提出的14参数模型［5］、徐李冰等人提出Klobuchar13参数模型［6］以及李维鹏等人提出的 Klobuchar10参数模型［7］基础上，采用与以上修正模型算法不同的松弛迭代与直线搜索法中的黄金分割法相结合的算法，在导航电文播发的8个改正参数的基础上增加了5个参数，提出适用于天津及其附近区域的北斗区域Klobuchar改进模型。这不仅有效提高了北斗卫星导航系统在天津地区的电离层延迟修正精度，同时也为其他地区的电离层延迟误差修正提供了重要参考。

1 北斗Klobuchar基本模型

北斗B1频点信号的电离层垂直延迟改正值［8］(单位为 s)计算如下:

式中:t是电离层穿刺点处的地方时(取值范围为0～86400s)，计算公式如下:

式中:tE为用户测量时刻的北斗时，取周内秒计数部分;λM为穿刺点的地理经度，单位为 rad;A2为白天电离层延迟余弦曲线的幅度，用 αn(n=0，1，2，3)系数求得:

A4为余弦曲线的周期，单位为 s，用 βn(n=0，1，2，

3)系数求得:

式中:φM为电离层穿刺点的地理纬度，单位为rad。综上可知，在Klobuchar模型中，电离层延迟由广播参数、用户接收机经纬度、卫星高度角和地方时共同决定。计算用到的8个改正参数αn(n=0，1，2，3)和 βn(n=0，1，2，3)在北斗导航电文中播发。

2 区域Klobuchar改进模型

北斗Klobuchar模型将电离层夜间平场设置为定值，但实际观测数据显示电离层夜间延迟与太阳活动紧密相关，在一个太阳活动周期内，其变化范围为6～20TECu(1TECu=1016电子数/m2)［9］。研究指出，固定夜间平场值会给模型带来20%～30%的误差［10］。

此外，该模型还将电离层电子总数的峰值出现时间固定在地方时下午14时，而实际情况下，在不同的年积日(从当年1月1日起开始计算的天数)和经纬度电子总数的峰值出现时间并不一样，通常在地方时下午12～16时之间。研究表明，固定模型的初始相位即电离层电子总数峰值出现时间会带来3%～14%的模型误差［11］。

为满足导航和定位精度需要，在原有模型8个参数基础上增加5个参数。改进后的新模型如下:

式中:A和B是与夜间电离层延迟相关的参数，将原来的夜间固定值设置为电离层穿刺点处地理纬度的一次函数;C为初始相位参数用于取代原模型中的定值;A'2和A'4分别为新模型的振幅和周期，计算方法如下:

常数项D和一阶项系数E是和振幅、周期相关的参数，从而更好地描述振幅和周期在测站附近区域的变化。使用新模型时，先以导航电文中播发的电离层参数为初始值，然后带入实际观测数据，即可求得新参数。新模型中其他物理量的计算方法均与原模型相同。

3 参数求解算法

为求解新增参数，本文将松弛迭代法与直线搜索法中的黄金分割法相结合，把高维问题转化为一维迭代搜索，避免了繁琐的矩阵运算和方程组求解，同时参数结果相比于单独使用松弛迭代法更加精确。图1所示为算法流程，具体步骤如下:

(1)引入目标函数

式中:X为所要求解的电离层参数矩阵;n、fi(X)、Ti分别为测试时间段内的数据量、电离层时延的拟合值及实测值。

(2)求解目标函数的一阶、二阶导数

假设fi(X)的一阶导数及二阶导数均存在，则可求出目标函数的一阶导数和二阶导数:

图1 参数求解算法流程Fig.1 Flow chart of algorithm for parameter solving

式中:λk为松弛因子。在松弛迭代算法中，松弛因子的选择必须满足公式若在实际计算中只考虑这一条件，并不能求得最佳松弛因子。因此，本文在松弛迭代法的基础上引入精确线搜索中的黄金分割法。所谓黄金分割法，即求λk＞0使得目标函数Ψ(X)沿着搜索方向达到极小值［12-13］:

首先，根据数据分析确定松弛因子最优解所在的搜索区间，然后采用黄金分割法逐步缩小搜索区间，从而求得最佳松弛因子。黄金分割法流程如图2所示。

图2 黄金分割法流程Fig.2 Flow chart of golden section

求得最佳松弛因子后进行计算并判断式(15)是否成立。

式中:σ为预先设定的计算精度。若上式成立，则结束计算，否则返回上一步继续进行迭代。

4 实例分析

为更好地对比北斗Klobuchar原模型与改进模型的修正效果，以在天津地区的测试点NovAtel GPStation6接收机采集到的北斗GEO1号卫星实测数据进行计算(实际测试中发现1号卫星可观测时长最为稳定且穿刺点固定于天津地区上空附近，便于长时间观测并进行计算分析)，以IGS发布的精度为2～8TECu的全球电离层精密格网数据作为参考值比较新旧模型修正精度。

IGS 按照纬度间隔 2．5°、经度间隔 5°，将全球划分为5183个格网点。利用全球范围内的监测站双频GPS接收机的码相位观测数据，计算出全球电离层TEC分布图，并以IONEX格式文件给出。一天中从UTC 0时到24时，每2h产生一幅全球电离层TEC数据图，共13幅［14-16］。

为保持数据一致，方便比较，将IGS提供的格网数据进行双线性内插，即空间内插和时间内插(见图 3)，即

图3 空间内插法示意Fig.3 Spatial interpolation diagram

可得到测站附近区域电离层数据的同时将采样时间分辨率从原始数据的2 h缩短为60 s。图4所示分别为利用2017年2月14～20日，4月14～20日、6月14～20日以及2016年12月14～20日共28天实测数据对Klobuchar改进模型与原模型计算得到的北斗GEO1号卫星B1频点信号的垂直电离层距离延迟结果与IGS发布 数据的对比。

图4 改进模型和原模型电离层距离延迟与IGS的对比Fig.4 Comparison of the ionospheric distance delay between the improved model and the original model with IGS

由结果可知，长时间观测情况下，Klobuchar原模型均表现为白天修正效果较好，但在夜间修正效果明显下降。而Klobuchar改进模型有效地改善了这一状况并进一步提高了白天的电离层修正精度。为进一步比较两种模型的修正精度，给出两种模型每天相对于IGS的平均修正精度统计结果，如表1所示。精度评估公式如下:

P=(1－|K－S|/S)×100% (18)式中:K为由北斗Klobuchar原模型或北斗区域Klobuchar改进模型计算得到的任意采样点的电离层距离延迟值;S为IGS发布的与K对应采样点的电离层距离延迟值。表1统计结果为在测试时段内每一天中P的平均值。

由数据统计结果可知，以IGS发布的全球电离层格网数据为参考值，区域Klobuchar改进模型在测试时间内每天的平均修正精度均高出原模型10%左右，进一步验证了改进模型的修正效果。

表1 Klobuchar改进模型与原模型精度统计Table 1 Precision statistics of improved Klobuchar model and original model

续表1Table 1 Continued

5 结束语

本文针对北斗Klobuchar模型在特定区域内应用的局限性，采用松弛迭代与直线搜索法中的黄金分割法相结合的算法，提出基于实测数据的天津及其附近区域的Klobuchar改进模型，然后对原模型及改进模型的修正效果进行对比分析。

1)计算结果显示，Klobuchar原模型与改进模型在白天的电离层延迟修正效果相差较小，夜间时改进模型计算结果与IGS数据吻合度明显高于原模型;

2)以IGS发布的全球电离层格网数据为参考值，改进模型每天的平均修正精度平均高出原模型 10．46%，最高达到 79．97%;

3)不同于只采用松弛迭代一种算法，结合直线搜索中的黄金分割法后可得到更加精确的松弛因子，参数求解结果更加准确，对比分析结果验证了本文所用算法的可行性和可靠性。

综上，本文提出的北斗区域Klobuchar改进模型有效改善了天津及其附近区域的电离层延迟修正效果，为其他地区修正电离层延迟、提高导航定位精度提供了有益参考。此外，相比于不能及时获取精密数据的IGS格网模型，区域Klobuchar改进模型能够为民用航空飞行提供及时有效的电离层延迟数据，对于增强卫星空间信号完好性、更好地保障飞行安全具有重要意义。