电场中v-x图像的斜率最大场强最大吗

倪 娜

(哈尔滨德强高中 黑龙江 哈尔滨 150036)

【题目】一带正电的检验电荷q，仅在电场力作用下沿x轴从x=-∞向x=+∞运动.其速度v随位置x变化的图像如图1所示，x=x1和x=-x1处，图线切线的斜率绝对值相等且最大.则在x轴上( )

A．x=x1和x=-x1两处，电场强度相同

B．x=x1和x=-x1两处，电场强度最大

C．x=0处电势最低

D．从x=x1运动到x=+∞过程中，电荷的电势能逐渐减小.

原答案：B,D.

图1 题目题图

该题在各教辅资料里经常遇见，而且流传已久，甚至在模拟题中也常常出现.对于选项B，不论在网络中还是在各资料中所有答案都是定性的说明，“在x=x1处，斜率最大，所以场强最大”，而大家多又随波逐流，为了不使谬误永传，在此对本题做出定量分析，与大家探讨.

1 建立模型辩对错

结合题意和图1，可建立模型.在竖直线上有相距2R的等量正电荷，x轴为等量正电荷连线的中垂线(或均匀带电圆环中轴线)，以两电荷连线中点为原点，带电粒子q从无穷远处沿x轴正向运动，如图2所示.

图2 模型图

由等量正电荷的电场分布可知，在中垂线上有两个场强最大的点，而场强最大的点处加速度最大，加速度对应的是v-t图像的斜率，而不是v-x图像的斜率.从而定性说明选项B是错的.

2 数学论证定是非

2.1 写出在中垂线上各点的场强表达式

场强大小表达式

式中x为坐标的绝对值.

由于

由以上两式整理得

(1)

2.2 建立速度与场强的关系

设：检验电荷在无穷远处速度为v0，取无穷远电势为零，检验电荷位于x处时电势能为

由能量守恒

整理上式得

(2)

2.2.1 建立v2对位置坐标x的导函数关系

若以v2为函数，x为自变量，将函数v2对x求导数得

(3)

由式(1)和式(3)联立得

(4)

由此可见，若以v2为纵坐标x为横坐标，其斜率大小与场强成正比，即斜率最大电场强度也最大，符合原答案.

2.2.2 建立v对位置坐标x的导函数关系

若以v为函数，x为自变量,将函数v对x求导数(即对式2求导),得

(5)

3 讨论

将式(1)、(2)代入式(5)整理得

(6)

由式(6)可见，速度对x的导数(即v-x图线的斜率)，显然不与场强成线性关系，也就是原图线斜率最大时，并不能说明场强最大，而场强最大时，v-x图像的斜率并不一定最大.所以说，这是一道病题，如果原图(图1)的纵坐标改为v2，该题才能定性符合实际.

综上所述，对此题的处理，建议大家要么否定原答案，要么把纵坐标改为v2，才能保证试题的严谨性和科学性.