构建表格 剖析结构 巧妙获解*

福建省厦门第一中学 (361003) 王淼生福建教育学院数学研修部 (350025)

张 洁

我们知道数学选择题的信息不仅体现在题干中，更多隐蔽在选择支中．要使选择支中的信息清晰化、简单化、明了化，一种有效的策略就是列表，通过恰当构建表格将试题信息呈现出来，使得各种条件、关系及内涵一目了然．对于一些复杂问题，列表容易将错综复杂关系简单化，便于我们发现其中的规律，明确解题方向．本文通过三个具体案例来展示这一策略的美妙与实用．

1.三个经典案例

图1

案例1 四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA之长分别为1，9，8，6，如图1所示．对于以下命题：

①四边形ABCD外切于圆；②四边形ABCD内接于圆；③对角线不互相垂直；④∠ADC≥90°；⑤ΔBCD是等腰三角形．其中正确的是( ).

A．①真，②假，④真B．③真，④假，⑤真

C．③真，④假，⑤假D．②假，③假，④真

剖析：正常情况下，一般都是从头到尾直接判断命题①，②，③，④，⑤的真假性，相当于解答五道试题，这要花费大量的时间与精力，显然很不合算．对于选择题，我们当然希望只对其中个别命题加以判断，并且所判断的命题个数越少越好．怎样才能达到这种又快(节约时间)又省(节省精力)又少(命题个数少)呢？这就需要我们对上述选择支结构予以分析，现将选择支信息构建如下表格(注：“？”表示未作判断；“+”表示给予肯定判断；“—”表示给予否定判断，下同)：

命题号选择支 ①②③④⑤A+—?+?B??+—+C??+——D?——+?

观察上述表格可知，四个选择支仅仅只对命题④全部作出判断，因此涉及命题④所透露的信息最多，当然从命题④入手，成为我们破解问题的切入口．由三角形两边之和大于第三边可得ACAC2⟹∠ADC<90°．因此命题④为假命题，据此否定选择支A与选择支D，以下只要对选择支B与选择支C加以判断即可．再观察上述表格发现：尽管选择支B与选择支C，命题③都作出判断，并且都是给予肯定判断，因此命题③必然正确．再仔细审视表格发现：只有选择支B与选择支C对命题⑤作出了判断，而且是相反的判断，其中必有一对，必有一错，因此从命题⑤下手成为解决问题的关键所在．

依据三角形两边之和大于第三边可得：BD

评注：案例1为1986年全国初中数学联赛试题，距今已有三十多年，是一道经典试题．当年命题专家给出的参考解答就是选取其中三个命题进行判断，让人感觉突兀，其实也是盲目的．上述通过构建表格容易发现命题④信息最多，从而否定选择支A与选择支D；余下选择支B与选择支C，都对命题⑤作出了判断，而且判断结果相反，因此必有一对、一错，于是抓住命题⑤就立即破解案例1．这样绕过命题①，②，③，尤其避开棘手的命题②，达到不战而屈人之兵的奇效．

案例2 某校举行数学竞赛，甲、乙、丙、丁、戊五位同学获得前五名(注：没有并列名次).发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次.

甲说：乙第三，丙第五；乙说：戊第四，丁第五；丙说：甲第一，戊第四；丁说：丙第一，乙第二；戊说：甲第三，丁第四.

实际上每个名次都有人猜对，则正确的名次是( ).

A.第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁

B.第一名是丁，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丙

C.第一名是乙，第二名是丙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁

D.第一名是甲，第二名是乙，第三名是丙，第四名是戊，第五名是丁

名次猜测第一名第二名第三名第四名第五名甲??乙?丙乙???戊丁丙甲??戊?丁丙乙???戊??甲丁?

由上述列表可得，猜第二名的只有乙，依题意“每个名次都有人猜对”从而断定乙为第二名.由于没有并列名次，故乙不可能是第三名，由此否定C.以此为突破口，推知甲为第三名，从而否定D.又由表格推知丙为第一名，从而否定B.因此肯定A是正确的，由此得到第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁.故选A.

评注：案例2为2015年厦门市高三模拟试题.正常情况下都是对选择支逐个排除.但案例2涉及人数与获奖名次情况较为复杂，逐个排除显得非常麻烦.通过列表并将选择支结构特征进行分析，很快就能确定乙为第二，从而为解决问题寻觅到最佳的切入口.

案例3如果方程|3x|-ax-1=0的解是负数，那么a的取值范围是( ).

A.a>-3B.a≥3C.a<3D.a≤-3

剖析：为了便于分析，我们将实数集R依据上述选择支划分为以下区间并列表如下：

区间选择支 (-∞,-3)-3(-3,3)3(3,+∞)A??+++B???++C+++??D++???

从上述表格不难看出：选择支对每个区间信息(判断)是均等的(每个区间都是2个肯定判断)，我们无法得到某一个区间上更多信息，怎么办？如何寻找突破口成为破解问题的关键所在.当然从特殊值入手合情合理，即取a=-3时，原方程等价于|3x|+3x-1=0．当x为负数时是得到0=1，显然该方程无解，与题意矛盾，故应该否定a=-3，也就是说否定选择支C与选择支D.对于选择支A与选择支B来说，对照上述表格发现：在a=3及a∈(3,+∞) ，都是给予肯定判断，要么都对，要么都错，而选择题必有一个是正确选择支，否则试题错误.注意到选择支A与选择支B的包含与从属关系，如果选择支A正确，那么选择支B一定也是正确的，这样出现两个正确答案，与题意不符，因此从逻辑上否定选择支A，故只能是B正确.

评注：案例3为2016年全国初中数学竞赛试题，也是文[1]研究的案例.文[1]主要从“方程有负数解，而且只能是负数解”的层面上加以考量.上述解答从选择支结构特征加以剖析并构建恰当的表格，显得新颖别致．

2.两道训练习题

请读者模仿上述构建表格的方法并利用结构分析策略来解答以下两道训练题：

训练题1 (2014年厦门一中高三模拟试题改编)一个宿舍住着4名女大学生A，B，C，D，已知她们中有一人在修指甲，一人在做头发，一人在用早餐，一人在看书．又知道A没修指甲也没看书，B不用早餐也没修指甲，C没看书也没用早餐，D没看书也没用早餐，试问：大学生A，B，C，D各在做什么？(注：原题为选择题)

训练题2 (2007年武汉大学自主招生试题)某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人口供如下：

甲：作案是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我．

如果四人口供中只有一人是假的，那么以下判断正确的是( ).

A.说假话的是甲，作案的是乙

B.说假话的是丁，作案的是丙和丁

C.说假话的是乙，作案的是丙

D.说假话的是丙，作案的是丙

(参考答案：训练题1：A在早餐，B在看书，C在做头发，D在修指甲，注：本题答案不惟一；训练题2：答案B)

3.一点心得体会

表格既具有图形语言的直观性，又兼有符号语言的简洁性，更具有文字语言的通俗性，因此是一种值得推广的方法．构建表格只是一种手段而已，目的是通过列表呈现各类信息，并对信息结构、特征加以分析，从而化难为易、化繁为简、化隐为显，其中穿插特值法、逻辑法等多种方法，从而快捷、高效地解决问题．上述这些案例与训练题，绝大部分都是高考乃至名校自主招生试题，应该说难度较大．借助构建表格，运用剖析结构特征策略，使得问题迎刃而解.